Série 25

(1)

L.S.Marsa Elriadh

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M : Zribi

4 ^èmeSc Exercices

09/10 Exercice 1:

on considère la suite (In) définie sur IN par ₁¹

2

sin( )

n

In 



x x dx^.

1) a) calculer I₀ et montrer, en utilisant une intégration par partie que I1= ¹

²



 .

b) montrer que pour tout ; 0 ¹ 1 ¹

1 2

n

n IN In

n

   

 

          . 2) a) montrer que la suite (In) est décroissante.

b) déduire que la suite (In) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 2:

soit f la fonction définie sur IR par ( ) 2 ²

² 4 f x x

  x

 . on désigne par C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j}^{, ,}



^.

1) a) montrer que f est dérivable sur IR et que f’(x)=



^x^²⁸^⁴



³ ^.

b) dresser le tableau de variations de f.

2) a) donner une équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 0.

b)vérifier que I(0,2) est un centre de symétrie de Cf . 3) en annexe on donne Cf compléter la courbe par T et ces

asymptotes .

4) soit g la restriction de f à l’intervalle [0, + [ .

a)montrer que g réalise une bijection de [0, + [ sur un intervalle J que l’on précisera.

b) tracer dans le même repère la courbe C’ de g ^-1 .

5) calculer l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe C_f et les droites respectives : y=x ; x=0 et x=2.

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09/10 Exercice 3:

l’espace est munie d’un repère orthonormé direct



^{O i j k}^{, , ,}



. on donne les points A(-1,3,1) ; B(0,2,1) et C(1,1,0) et le plan P : 2x-y+z-1=0.

1) a) vérifier que les points A, B et C déterminent un plan.

b)calculer



^AB^^AC



; puis en déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2) calculer le volume du tétraèdre OABC.

3) a) calculer la distance du point B à la droite (AC).

b)déterminer les coordonnées du point H : projeté orthogonal de B sur (AC).

4) a) montrer que les plans P et (ABC) sont sécants.

b) donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection D.

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