SÉRIES - INTÉGRALES

Licence de Mathématiques. Université d’Artois. 2017-2018.

22/12/2017.

EXAMEN 1

SÉRIES - INTÉGRALES

Les calculatrices et les documents sont interdits.

La rédaction sera prise en compte dans la notation.

Cours. (4,5 points)

1) Enoncer le théorème sur le produit de deux séries numériques.

2) Enoncer et démontrer le test d’Abel dans sa version pour les intégrales:

Soientf :R^{`</sup> ÑRetg:R<sup>`}ÑRtelles que. . .Alors ż_`8

0

fpxqgpxqdx . . .

Exercice 1 (4 points)

Déterminer pour chacune des séries suivantes si elle converge ou diverge:

1) a_n“ p´1qⁿ 1`a

lnpn`1q pourn PN. 2)b_n“n²sin

´1 2ⁿ

¯

pourn PN.

3) u_n“ 2n³² `1 1`n²?

n pour nPN. 4)v_n“

´ n n`1

¯n²

pour nPN.

Exercice 2 (5 points)

Déterminer pour chacune des intégrales suivantes si elle converge ou diverge:

1) ż1

0

sin` t²˘

t⁹`7t<sup>52</sup> dt 2) ż<sub>`8</sub>

0

|sinp1{xq|

?3

x dx 3)

ż_`8

1

cos²pxq

?x dx

Exercice 3 (3,5 points)

Soit a ą0. On s’intéresse à Φpaq “

`8

ÿ

n“1

a

n²`2an`a²¨ 1) Justifier que Φ est définie surs0,`8r.

2) A l’aide d’une comparaison série-intégrale, justifier l’existence de lim

aÑ`8Φpaq et calculer sa valeur.

Exercice 4 (5 points=1+1+1,5+0,5+0,5+0,5)

1) SoitβPR. Rappeler quand l’intégrale ż_`8

1

1

x^β dxconverge et donner sa valeur (lorsqu’elle converge).

2) Soientα PR<sup>`˚</sup> etnPN. On considère In“ ż<sub>`8</sub>

1

1`sin²pxq

1`x² x^´nα dx.

a) Justifier que cette intégrale converge.

b) Montrer que pour toutnPN: 1

2pn^α`1q ďI<sub>n</sub>ď 2 n<sup>α</sup>`1 ¨ c) Montrer que pour toutnPN, on aIn`1 ďIn.

d) Quelle est la nature de la série de terme généralI_n ? e) Quelle est la nature de la série de terme généralp´1qⁿIn ?

2