Exercice 2. (Quelques remarques sur les

L3 – Alg` ebre 2 2013–2014 : TD 10

Quaternions

Exercice 1. (H est une R-alg` ebre quadratique)

On sait que q + ¯ q = 2a o` u a ∈ R, et donc q <sup>2</sup> = 2aq − q q, o` ¯ u q q ¯ = |q| ² ∈ R.

Exercice 2. (Quelques remarques sur les

polynˆ omes

` a coefficients dans H) 1. Si X = a + bi + cj + dk, on a iX − Xi + 1 = 2ck − 2dj + 1 6= 0.

2. D’apr` es l’Exercice 1, X <sup>2</sup> = αX + β o` u α et β sont des r´ eels. Et alors X ² iXi + iX ² iX − iXiX ² − XiX ² i = αXiXi + βiXi + αiXiX − β X − αiXiX − βiXi − αXiXi + βX = 0.

3. Soit q = a + bi + cj + dk ∈ H. Nous allons chercher les racines carr´ es de q dans H. Si X = A + Bi + Cj + Dk ∈ H, alors X ² = (A ² − B ² − C ² − D ² ) + 2A(Bi + Cj + Dk). Pour r´ esoudra l’´ equation X ² = q, il y a deux cas de figures :

(a) Si A = 0, alors X ² = −B ² − C ² − D ² ∈ R. L’´ equation X ² = q a des solutions si et seulement si q ∈ R ≤0 . Si q = 0 il n’y a qu’une solution, et si q ∈ R _<0 il y a une infinit´ e de solutions.

(b) Si A 6= 0, alors B = _2A ^b , C = _2A ^c et D = _2A ^d sont uniquement d´ etermin´ es par la valeur de A. Il suffit r´ esoudre l’´ equation en la variable A, qui est donn´ ee par A ² − ^b

^+c _4A

^+d

= a.

Exercice Montrer que cette ´ equation a toujours exactement deux solutions, l’une l’oppos´ ee de l’autre, pour tout q / ∈ R ≤0 .

Les discussions ci-dessus permettent de conclure : le nombre de racines carr´ ees dans H est infini pour les ´ el´ ements dans R <0 , 1 pour l’´ el´ ement nul, et 2 dans les autres cas.

Exercice 3. (“Well, Papa, can you multiply triplets ?” ) 1. a. Le fait |qq ⁰ | = |q| ∗ |q ⁰ | dans H nous donne la formule :

(a ² + b ² + c ² + d ² )(a ⁰² + b ⁰² + c ⁰² + d ⁰² ) =(aa ⁰ + bb ⁰ + cc ⁰ + dd ⁰ ) ² + (ab ⁰ − a ⁰ b + cd ⁰ − c ⁰ d) ² + (ac ⁰ − a ⁰ c − bd ⁰ + b ⁰ d) ² + (ad ⁰ − a ⁰ d + bc ⁰ − b ⁰ c) ² On v´ erifie facilement que cette formule est valable dans n’importe quel anneau com-

mutatif, ce qui montre le r´ esultat voulu.

b. On sait que les carr´ es dans Z sont congrus ` a 0,1 ou 4 modulo 8. Donc les nombres congrus ` a 7 modulo 8 ne peuvent par ˆ etre somme des 3 carr´ es. En particulier, 15 = 3∗5 n’est pas somme de 3 carr´ es. Or 3 et 5 le sont (3 = 1 ² + 1 ² + 1 ² et 5 = 2 ² + 1 ² + 0 ² ), ce qui montre que l’ensemble des sommes de trois carr´ es dans Z n’est pas stable par produit.

Remarque En utilisant la th´ eorie alg´ ebrique des nombres, on peut montrer que les sommes de trois carr´ es dans Z sont exactement les ´ el´ ements qui ne sont pas de la forme 4 ^d (8k + 7), o` u d et k sont dans N.

2. Si A est une R-alg` ebre de dimension trois contenant une sous-alg` ebre B isomorphe ` a

C, alors B est un corps commutatif, donc A est un B-espace vectoriel. le th´ eor` eme de

la base t´ el´ escopique nous dit que dim R A = dim B A ∗ dim R B = 2dim B A = 3, absurde.

Exercice 4. (Entiers de Hurwitz et th´ eor` eme des quatre carr´ es) 1. Lip = Z1 ⊕ Zi ⊕ Zj ⊕ Zk et Hur = Z1 ⊕ Zi ⊕ Zj ⊕ Z 1 + i + j + k

2 sont ´ evidemment des sous-groupes additifs de H contenant 1. Il ne reste qu’` a voir qu’ils sont stables par multiplication, ce qui est du reste ´ evident pour Lip.

Il est en outre manifeste que le produit de 1 + i + j + k

2 par i, j ou k reste un ´ el´ ement de Hur. Enfin, d’apr` es le th´ eor` eme de Cayley-Hamilton (qui implique que pour un quaternion q, on a q ² = 2 R´ e(q)q − N(q)), on a

1 + i + j + k 2

2

= −1 + i + j + k

2 . En

r´ esum´ e, Lip et Hur sont bien deux sous-anneaux de H.

2. Remarquons que la norme d’un ´ el´ ement de Lip ou de Hur est toujours enti` ere (c’est

´

evident pour un ´ el´ ement de Lip, et, pour un ´ el´ ement de Hur, cela provient du fait que si a, b, c et d sont quatre entiers impairs, a ² + b ² + c ² + d ² est un multiple de 4). Ainsi, un ´ el´ ement de Lip ^× ou de Hur ^× a une norme ´ egale ` a 1.

R´ eciproquement, si un ´ el´ ement q de Lip ou de Hur a une norme ´ egale ` a 1, son inverse q ⁻¹ = q est toujours dans l’anneau en question. Il s’ensuit que

Lip ^× = Lip ∩ S ³ = {±1, ±i, ±j, ±k}

Hur ^× = Hur ∩ S ³ =

±1, ±i, ±j, ±k, ±1 ± i ± j ± k 2

(groupe d’ordre 24), o` u S <sup>3</sup> = {q ∈ H | N(q) = 1} d´ esigne la sph` ere unit´ e des quaternions.

3. Tout nombre impair est ` a distance 1 d’un multiple de 4. Ainsi, tout quaternion de Hur \ Lip s’´ ecrit 2q ₀ + q ₁ , avec q ₀ ∈ Lip et q ₁ de la forme ±1 ± i ± j ± k

2 . En posant δ = q ₁ = q ₁ ⁻¹ ∈ Hur ^× , on a donc bien δq = δ(2q ₀ + q ₁ ) = 2δq ₀ + 1 ∈ Lip. ´ Evidemment, si q ∈ Lip, δ = 1 convient.

4. C’est la division euclidienne : on consid` ere l’´ el´ ement dans Lip le plus proche de ^a _b ∈ Lip ⊗ Q. Comme la distance entre tout nombre r´ eel et Z est au plus ¹ ₂ , la distance entre

a

b et Lip est au plus q

4 ∗ ( ¹ ₂ ) ² = 1. Si la distance est exactement 1, alors toutes les coordonn´ ees de ^a _b sont des demi-entiers, et alors ^a _b ∈ Hur, et on peut prendre q = ^a _b et b = 0. Sinon la distance est strictement inf´ erieure ` a 1, et il suffit de prendre q le point dans Lip le plus proche de ^a _b et b = a − bq. Le fait que |q − ^a _b | < 1 montre que N(r) < N(b).

5. Ceci r´ esulte du fait que tout anneau euclidien (non n´ ecessairement commutatif) est principal.

6. On sait que dans l’anneau Z/pZ il y a exactement (p+ 1)/2 carr´ es. Consid´ erons les deux ensembles A = {u ² | u ∈ Z/pZ} et B = {−1 − v ² | v ∈ Z/pZ}. On a #A + #B = p + 1, donc par le principe des tiroirs on sait que A et B sont d’intersection non vide, ce qui prouve le r´ esultat.

7. Les inclusions sont claires, et il faut montrer les in´ egalit´ es. L’in´ egalit´ e ` a gauche est claire aussi car q / ∈ Hur · p (les coordonn´ ees de q ne sont pas des multiples de p). Pour l’in´ egalit´ e ` a droite, il faut montrer que 1 ∈ / Hur · p + Hur · q. Supposons par l’absurde qu’il existe s, t dans Hur tels que 1 = sp + tq. Comme p | N(q) par la question 6), on a p | N(t)N(q) = N(tq) = N(1 − sp). En notant s = ^a+bi+cj+dk ₂ , on obtient

N(1 − sp) = 1

4 ((ap − 2) ² + (bp) ² + (cp) ² + (dp) ² ) = p

4 (a ² p + b ² p + c ² p + d ² p − 4a) + 1,

et alors p | 1, absurde.

8. D’apr` es la question 5), un tel b existe. Pour un tel b, comme p ∈ Hur · b, on peut ´ ecrire p = mb avec m ∈ Hur. Si N(m) = 1, alors m est inversible dans Hur, d’inverse ¯ m. Donc b = ¯ mp ∈ Hur · p, et alors Hur · p + Hur · q = Hur · p, ce qui est absurde par la question pr´ ec´ edente.

9. On a p ² = N(p) = N(m)N(b). On sait que N(m) 6= 1 d’apr` es la question pr´ ec´ edente. De plus N(b) 6= 1, car sinon b serait inversible, et alors Hur·p+Hur·q = Hur·b = Hur, ce qui est impossible par la question 7). Il ne reste plus qu’une possibilit´ e : N(m) = N(b) = p.

Donc il existe un ´ el´ ement dans Hur de norme p. En utilisant la question 3), comme les

´

el´ ements dans Hur sont de norme 1, on en d´ eduit qu’il existe un ´ el´ ement dans Lip de norme p, ce qui signifie exactement que p est la somme de quatre carr´ es.

10. Comme 2 = 1 ² + 1 ² + 0 ² + 0 ² est somme de quatre carr´ es, le th´ eor` eme r´ esulte de la question pr´ ec´ edente et la question 1) de l’Exercice 3.

Exercice 5. (Sous-groupes finis de H ^× )

Voir John Horton Conway, Derek Smith, On quaternions and octonions : their geometry,

arithmetic and symmetry.