D.M. DE MATHEMATIQUES (3)

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D.M. DE MATHEMATIQUES (3)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

I- Soit la fonction f définie sur ℝ\

{ }

⁻ ¹^,¹ ^par

1 ) 2

( ₂

2 3

−

= + x

x x x

f et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm)

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)= x³− 3x− 4. 1. Étudier la fonction g (limites, dérivée, variations).

2. Démontrer qu’il existe un réel α unique tel que g(α )= 0 , puis déterminer une valeur approchée à 10⁻² près du réel α .

3. Étudier le signe de g sur ℝ. Partie B : Étude de la fonction f.

1. Démontrer que, pour tout x de ℝ\

{ }

⁻ ¹^,¹ ^: ^f^'⁽^x⁾⁼

(

^x^xg² ⁻⁽^x¹⁾

)

² ^.

2. En déduire le tableau complet des variation de f.

3. Tracer C.

4. Déterminer, en fonction du réel k, le nombre de solution de l'équation f x=k. II-1. Calculer

(

¹⁻ ²

)

². Résoudre dans ℂ l’équation :^z² ⁻

(

¹⁺ ²

)

^z⁺ ² ⁼ ⁰^.

2. Résoudre dans ℂ les équations : + 1 = 1

z z et + 1 = 2

z z .

3. Soit P(z) le polynôme de la variable complexe z tel que :

(

¹ ²

) (

² ²

) (

¹ ²

)

¹

)

(z = z⁴ − + z³ + + z² − + z+

P .

a. Vérifier que pour tout z non nul, on a :

(

¹ ²

)

¹ ²

1 )

( ²

2  +



 

 + +

 −



 

 +

= z z

z z z

z

P .

b. En utilisant ce qui précède, résoudre l’équation P(z)= 0. III-Pour tout nombre complexe z≠−1 , on pose

Z=2z 1z , z=xi y et Z=XiY avec x, y, X et Y réels.

1. Calculer X et Y en fonction de x et y.

2. Démontrer que l'ensemble des points mz tels que Z soit réel, est une droite privée d'un point.

3. Démontrer que l'ensemble des points mz tels que Z soit imaginaire pur, est un cercle privé d'un point.

A rendre le lundi 13 octobre 2008.

Lycée Dessaignes