Une application des mathématiques à l’étude des tumeurs cancéreuses

(1)

` a l’´etude des

tumeurs canc´ereuses

1^`^ereS1 Lyc´ee Catherine et

Raymond Janot Présentation du problème Evolution de la taille d’une tumeur cancéreuse Etude de l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux Etude des métastases

Une application des math´ ematiques ` a l’´ etude des tumeurs canc´ ereuses

1 ^` ^ere S1

Lyc´ee Catherine et Raymond Janot

Mardi 31 mai 2011

Mardi 31 mai 2011 Une application des mathématiques à l’étude des tumeurs cancéreuses 1 / 74

(2)

application des math´ematiques

` a l’´etude des

(3)

` a l’´etude des

La mitose est un processus se produisant au sein des cellules et qui consiste `a en dupliquer l’ADN, de sorte que chaque cellule donne naissance `a deux cellules filles.

(4)

` a l’´etude des

La mitose est un processus se produisant au sein des cellules et qui consiste `a en dupliquer l’ADN, de sorte que chaque cellule donne naissance `a deux cellules filles.

Une cellule devient canc´ereuse `a la suite de mutations

g´en´etiques au cours de la mitose et ne poursuit plus alors pour

seul but que celui de se multiplier. Elle va ainsi produire un

ensemble de cellules filles appel´e tumeur.

(5)

` a l’´etude des

La mitose est un processus se produisant au sein des cellules et qui consiste `a en dupliquer l’ADN, de sorte que chaque cellule donne naissance `a deux cellules filles.

Une cellule devient canc´ereuse `a la suite de mutations

génétiques au cours de la mitose et ne poursuit plus alors pour seul but que celui de se multiplier. Elle va ainsi produire un ensemble de cellules filles appelé tumeur.

Le schéma suivant représente les premières étapes de ce processus.

(6)

` a l’´etude des

Cellule d’origine

Cellules filles

T

(7)

` a l’´etude des

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

(8)

` a l’´etude des

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Cet intervalle de temps est appel´e temps de doublement. Nous

l’avons noté T . Il dépend du type de cancer considéré.

(9)

` a l’´etude des

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Cet intervalle de temps est appelé temps de doublement. Nous l’avons noté T . Il dépend du type de cancer considéré.

Des observations cliniques ont permi d’´etablir le temps de doublement de certains cancers :

T ≈ 14 semaines pour un cancer du sein, T ≈ 90 semaines pour un cancer du colon, T ≈ 30 jours pour certains lymphones.

(10)

` a l’´etude des

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Cet intervalle de temps est appelé temps de doublement. Nous l’avons noté T . Il dépend du type de cancer considéré.

Des observations cliniques ont permi d’´etablir le temps de doublement de certains cancers :

T ≈ 14 semaines pour un cancer du sein, T ≈ 90 semaines pour un cancer du colon, T ≈ 30 jours pour certains lymphones.

Enfin, les observations montrent que le nombre de cellules de la

tumeur de ”ne double pas d’un coup”, mais augmente

(11)

` a l’´etude des

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

(12)

` a l’´etude des

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

1

décrire, à l’aide de formules mathématiques, l’évolution de

la taille d’une tumeur canc´ereuse,

(13)

` a l’´etude des

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

1

décrire, à l’aide de formules mathématiques, l’évolution de la taille d’une tumeur cancéreuse,

2

étudier l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux,

(14)

` a l’´etude des

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

1

décrire, à l’aide de formules mathématiques, l’évolution de la taille d’une tumeur cancéreuse,

2

étudier l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux,

3

corriger le modèle précédent en prenant en compte

l’existence de m´etastases.

(15)

` a l’´etude des

Raymond Janot Présentation du problème Evolution de la taille d’une tumeur cancéreuse

Modélisation Utilisation du modèle Etude de l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux Etude des métastases

E volution de la taille d’une tumeur canc´ereuse

(16)

` a l’´etude des

Modélisation Utilisation du modèle Etude de l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux

La première question à laquelle nous nous sommes intéressés

est de d´eterminer, `a chaque instant t, le nombre de cellules

dans la tumeur.

(17)

` a l’´etude des

La première question à laquelle nous nous sommes intéressés est de déterminer, à chaque instant t, le nombre de cellules dans la tumeur.

Nous avons appelé f (t) le nombre de cellules à l’instant t. Le problème est donc de trouver une formule pour la fonction f .

(18)

` a l’´etude des

La première question à laquelle nous nous sommes intéressés est de déterminer, à chaque instant t, le nombre de cellules dans la tumeur.

Nous avons appelé f (t) le nombre de cellules à l’instant t. Le problème est donc de trouver une formule pour la fonction f . Pour trouver cette formule, nous devons traduire

mathématiquement l’observation évoquée plus tôt :

le nombre de cellules de la tumeur double `a intervalle de temps

r´egulier.

(19)

` a l’´etude des

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

(20)

` a l’´etude des

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1

(21)

` a l’´etude des

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2

T

(22)

` a l’´etude des

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 4

T T

(23)

` a l’´etude des

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 2 ²

T T

(24)

` a l’´etude des

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 2 ² f (kT ) = 2 ^k

T T

(25)

` a l’´etude des

Nous avons donc ´etabli une premi`ere formule f (kT ) = 2 ^k .

(26)

` a l’´etude des

Nous avons donc ´etabli une premi`ere formule f (kT ) = 2 ^k .

Si on ´etudie un cancer du sein, pour lequel T ≈ 14 semaines, cette formule permet par exemple de calculer les valeurs

f (14) = 2, f (28) = f (2T ) = 4, f (140) = f (10T ) = 2 ¹⁰ = 1024.

(27)

` a l’´etude des

Nous avons donc ´etabli une premi`ere formule f (kT ) = 2 ^k .

Si on ´etudie un cancer du sein, pour lequel T ≈ 14 semaines, cette formule permet par exemple de calculer les valeurs

f (14) = 2, f (28) = f (2T ) = 4, f (140) = f (10T ) = 2 ¹⁰ = 1024.

Cependant, elle ne permet pas de déterminer par exemple f (100) qui est le nombre de cellules qui composent la tumeur 100 semaines après l’apparition de la première cellule

canc´ereuse.

(28)

` a l’´etude des

Pour compenser ce d´efaut, nous avons ´etabli la formule f (t ) = 2

^T^t

qui permet de caluler le nombre de cellules de la tumeur `a

chaque instant.

(29)

` a l’´etude des

Pour compenser ce d´efaut, nous avons ´etabli la formule f (t ) = 2

^T^t

qui permet de caluler le nombre de cellules de la tumeur `a chaque instant.

Par exmple, dans le cas d’un cancer du sein, on a f (100) = 2

¹⁰⁰¹⁴

≈ 141.

(30)

` a l’´etude des

Pour compenser ce d´efaut, nous avons ´etabli la formule f (t ) = 2

^T^t

qui permet de caluler le nombre de cellules de la tumeur `a chaque instant.

Par exmple, dans le cas d’un cancer du sein, on a f (100) = 2

¹⁰⁰¹⁴

≈ 141.

Nous avons utilisé cette formule pour répondre à des questions

(31)

` a l’´etude des

Nous nous somme tout d’abord intéressé à la question suivante :

”Une tumeur étant détectable à partir du moment o` u elle comporte 10 ⁹ cellules, combien de temps s’écoute-t-il entre l’apparition de la première cellule cancéreuse et le moment o` u la tumeur devient détectable ?”

(32)

` a l’´etude des

En termes mathématiques, répondre à cette question revient à résoudre l’équation f (t) = 10 ⁹ , c’est à dire qu’il nous faut trouver t tel que

2

^T^t

= 10 ⁹ .

(33)

` a l’´etude des

En termes mathématiques, répondre à cette question revient à résoudre l’équation f (t) = 10 ⁹ , c’est à dire qu’il nous faut trouver t tel que

2

^T^t

= 10 ⁹ .

Comme nous ne savions pas résoudre cette équation, nous avons dans un premier temps étudié l’exemple du cancer du sein. Ainsi, l’équation à résoudre devient

2

¹⁴^t

= 10 ⁹ .

Nous avons alors résolu graphiquement cette équation à l’aide de GeoGebra.

(34)

` a l’´etude des

y = 10 ⁹

C f

b

(35)

` a l’´etude des

Un cancer du sein se développe donc pendant environ 418 semaines, c’est à dire à peu près 8 ans, avant de devenir détectable.

(36)

` a l’´etude des

Un cancer du sein se d´eveloppe donc pendant environ 418

semaines, c’est à dire à peu près 8 ans, avant de devenir

d´etectable.Qu’en est’il des autres types de cancer ?

(37)

` a l’´etude des

Un cancer du sein se développe donc pendant environ 418 semaines, c’est à dire à peu près 8 ans, avant de devenir détectable.Qu’en est’il des autres types de cancer ? Pour répondre à cette question, il nous fallait résoudre

l’´equation 2

^T^t

= 10 ⁹ pour n’importe quelle valeur de T en non pas dans un cas particulier. Un calcul ´etait donc n´ecessaire.

(38)

` a l’´etude des

Un cancer du sein se développe donc pendant environ 418 semaines, c’est à dire à peu près 8 ans, avant de devenir détectable.Qu’en est’il des autres types de cancer ? Pour répondre à cette question, il nous fallait résoudre

l’´equation 2

^T^t

= 10 ⁹ pour n’importe quelle valeur de T en non pas dans un cas particulier. Un calcul ´etait donc n´ecessaire.

Nous avons appris que pour r´esoudre cette ´equation, il fallait

utiliser une fonction appel´ee logarithme n´ ep´ erien, not´ee ln, et

qui a pour propri´et´e de ”transformer des multiplications en

additions”.

(39)

` a l’´etude des

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

ln(2) × T

(40)

` a l’´etude des

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

ln(2) × T ≈ 30T .

(41)

` a l’´etude des

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

ln(2) × T ≈ 30T .

Dans le cas d’un cancer du sein, on retrouve la valeur obtenue par la r´esolution graphique.

(42)

` a l’´etude des

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

ln(2) × T ≈ 30T .

Dans le cas d’un cancer du sein, on retrouve la valeur obtenue par la r´esolution graphique.

Dans le cas d’un cancer du colon, pour lequel T ≈ 90

semaines, la p´eriode durant laquelle la tumeur est ind´etectable est d’environ

30 × 90 semaines, soit environ 52 ans.

(43)

` a l’´etude des

Pour conclure cette partie, une autre question nous a ´et´e soumise

”Après le traitement d’un cancer, il est d’usage de surveiller la personne traitée. Sachant qu’une intervention chirugicale peut laisser en résidu une tumeur de 1000 cellules, combien de temps doit-on surveiller une personne ayant subi une intervention chirugicale ?”

(44)

` a l’´etude des

Cette question revient à déterminer le temps qui s’écoule entre le stade 1000 cellules et le stade 10 ⁹ cellules, ce qui

mathématiquement revient à résoudre l’équation 1000 × 2

^T^t

= 10 ⁹

ou encore

2

^T^t

= 10 ⁶ .

(45)

` a l’´etude des

Cette question revient à déterminer le temps qui s’écoule entre le stade 1000 cellules et le stade 10 ⁹ cellules, ce qui

mathématiquement revient à résoudre l’équation 1000 × 2

^T^t

= 10 ⁹

ou encore

2

^T^t

= 10 ⁶ .

En utilisant les mêmes calculs que précédemment, nous avons obtenu que

t = ln 10 ⁶ ln(2) × T

(46)

` a l’´etude des

Cette question revient à déterminer le temps qui s’écoule entre le stade 1000 cellules et le stade 10 ⁹ cellules, ce qui

mathématiquement revient à résoudre l’équation 1000 × 2

^T^t

= 10 ⁹

ou encore

2

^T^t

= 10 ⁶ .

En utilisant les mêmes calculs que précédemment, nous avons obtenu que

t = ln 10 ⁶

ln(2) × T ≈ 20T .

(47)

` a l’´etude des

En utilisant cette derni`ere approximation, on obtient que, pour un cancer du sein, le temps de suivi est d’environ

20 × 14 = 280 semaines, soit un peu plus de 5 ans, ce qui est la pratique usuellement constat´e chez les oncologues.

(48)

` a l’´etude des

En utilisant cette derni`ere approximation, on obtient que, pour un cancer du sein, le temps de suivi est d’environ

20 × 14 = 280 semaines, soit un peu plus de 5 ans, ce qui est la pratique usuellement constat´e chez les oncologues.

En effet, au del`a de cette p´eriode, en cas de reprise de la

maladie, la tumeur atteint une taille suffisante pour ˆetre

détectée par un scanner médical.

(49)

` a l’´etude des

Raymond Janot Présentation du problème Evolution de la taille d’une tumeur cancéreuse Etude de l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux

Premier modèle Prise en compte des cellules résistantes Etude des métastases

E tude de l’efficacit´e d’un traitement anti-canc´ereux

(50)

` a l’´etude des

Premier mod`ele Prise en compte des cellules

Outre l’intervention chirurgicale, une autre mani`ere de traiter

un cancer est de recourir `a une chimioth´erapie.

(51)

` a l’´etude des

Outre l’intervention chirurgicale, une autre manière de traiter un cancer est de recourir à une chimiothérapie.

Les traitements par chimiothérapie détruisent les cellules cancéreuses, mais affectent également des cellules saines, en particulier les cellules impliquées dans le système immunitaire.

(52)

` a l’´etude des

Outre l’intervention chirurgicale, une autre manière de traiter un cancer est de recourir à une chimiothérapie.

Les traitements par chimiothérapie détruisent les cellules cancéreuses, mais affectent également des cellules saines, en particulier les cellules impliquées dans le système immunitaire.

Il est donc n´ecessaire, entre chaque cycle de traitement, de laisser un temps de repos, afin de permettre le remplacement des cellules saines d´etruites. Ce temps de repos est

g´en´eralement de 3 semaines.

(53)

` a l’´etude des

Outre l’intervention chirurgicale, une autre manière de traiter un cancer est de recourir à une chimiothérapie.

Les traitements par chimiothérapie détruisent les cellules cancéreuses, mais affectent également des cellules saines, en particulier les cellules impliquées dans le système immunitaire.

Il est donc n´ecessaire, entre chaque cycle de traitement, de laisser un temps de repos, afin de permettre le remplacement des cellules saines d´etruites. Ce temps de repos est

g´en´eralement de 3 semaines.

Cependant, pendant cette période de repos, la tumeur recommence également à croˆıtre.

Un traitement par chimioth´erapie peut-il alors ˆetre efficace ?

(54)

` a l’´etude des

Outre l’intervention chirurgicale, une autre manière de traiter un cancer est de recourir à une chimiothérapie.

Les traitements par chimiothérapie détruisent les cellules cancéreuses, mais affectent également des cellules saines, en particulier les cellules impliquées dans le système immunitaire.

Il est donc n´ecessaire, entre chaque cycle de traitement, de laisser un temps de repos, afin de permettre le remplacement des cellules saines d´etruites. Ce temps de repos est

g´en´eralement de 3 semaines.

Cependant, pendant cette p´eriode de repos, la tumeur

recommence ´egalement `a croˆıtre.

(55)

` a l’´etude des

Pour répondre à cette question, nous avons dans un premier temps raisonné sur un exemple.

(56)

` a l’´etude des

Pour répondre à cette question, nous avons dans un premier temps raisonné sur un exemple.

Nous nous sommes int´eress´es au cancer du sein, pour lequel

T ≈ 14 semaines.

(57)

` a l’´etude des

Pour répondre à cette question, nous avons dans un premier temps raisonné sur un exemple.

Nous nous sommes int´eress´es au cancer du sein, pour lequel T ≈ 14 semaines.

Chaque cycle de traitement s’effectue en deux phases :

1

une phase de traitement tr`es courte au cours de laquelle une partie des cellules de la tumeur sont d´etruites.

(58)

` a l’´etude des

Pour répondre à cette question, nous avons dans un premier temps raisonné sur un exemple.

Nous nous sommes int´eress´es au cancer du sein, pour lequel T ≈ 14 semaines.

Chaque cycle de traitement s’effectue en deux phases :

1

une phase de traitement tr`es courte au cours de laquelle une partie des cellules de la tumeur sont d´etruites.

Dans notre exemple, nous avons suppos´e dans un premier

temps que 60% des cellules composant la tumeur ´etaient

d´etruites `a chaque cycle.

(59)

` a l’´etude des

Pour répondre à cette question, nous avons dans un premier temps raisonné sur un exemple.

Nous nous sommes int´eress´es au cancer du sein, pour lequel T ≈ 14 semaines.

Chaque cycle de traitement s’effectue en deux phases :

1

une phase de traitement tr`es courte au cours de laquelle une partie des cellules de la tumeur sont d´etruites.

Dans notre exemple, nous avons supposé dans un premier temps que 60% des cellules composant la tumeur étaient détruites à chaque cycle.

2

une phase de repos de 3 semaines.

(60)

` a l’´etude des

Pour répondre à cette question, nous avons dans un premier temps raisonné sur un exemple.

Nous nous sommes int´eress´es au cancer du sein, pour lequel T ≈ 14 semaines.

Chaque cycle de traitement s’effectue en deux phases :

1

une phase de traitement tr`es courte au cours de laquelle une partie des cellules de la tumeur sont d´etruites.

Dans notre exemple, nous avons supposé dans un premier temps que 60% des cellules composant la tumeur étaient détruites à chaque cycle.

2

une phase de repos de 3 semaines.

Etant donné le modèle introduit précédemment, durant

cette phase de repos, le nombre de cellules de tumeur est

multipli´e par

(61)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

(62)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

4 × 10

⁸

restantes

₁₀₀⁶⁰

× 10

⁹

d´etruites

traitement

(63)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

4 × 10

⁸

restantes

₁₀₀⁶⁰

× 10

⁹

d´etruites

u

1

= 4, 64 × 10

⁸

traitement

3 semaines × 1, 16

(64)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

4 × 10

⁸

restantes

₁₀₀⁶⁰

× 10

⁹

d´etruites

u

1

= 4, 64 × 10

⁸

traitement

3 semaines × 1, 16

cycle 1

×0, 464

(65)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

4 × 10

⁸

restantes

₁₀₀⁶⁰

× 10

⁹

d´etruites

u

1

= 4, 64 × 10

⁸

40

100

× u

1 60 100

× u

1

traitement

traitement 3 semaines × 1, 16

cycle 1

×0, 464

(66)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

4 × 10

⁸

restantes

₁₀₀⁶⁰

× 10

⁹

d´etruites

u

1

= 4, 64 × 10

⁸

40

100

× u

1 60 100

× u

1

u₂=1,16×0,4×u₁

traitement

traitement 3 semaines × 1, 16

×1, 16

cycle 1

×0, 464

(67)

` a l’´etude des

u ₀ = 10 ⁹ cellules

4 × 10

⁸

restantes

₁₀₀⁶⁰

× 10

⁹

d´etruites

u

1

= 4, 64 × 10

⁸

40

100

× u

1 60 100

× u

1

u₂=1,16×0,4×u₁

traitement

traitement 3 semaines × 1, 16

×1, 16

cycle 2 cycle 1

×0, 464

(68)

` a l’´etude des

Dans cet exmple, à chaque cycle de chimiothérapie, le nombre de cellules composant la tumeur est multiplié par

0, 4 × 1, 16 = 0, 464 < 1.

(69)

` a l’´etude des

Dans cet exmple, à chaque cycle de chimiothérapie, le nombre de cellules composant la tumeur est multiplié par

0, 4 × 1, 16 = 0, 464 < 1.

La tumeur diminue donc de taille `a chaque cycle. Le traitement est par cons´equent efficace.

(70)

` a l’´etude des

Dans cet exmple, à chaque cycle de chimiothérapie, le nombre de cellules composant la tumeur est multiplié par

0, 4 × 1, 16 = 0, 464 < 1.

La tumeur diminue donc de taille `a chaque cycle. Le traitement est par cons´equent efficace.

Nous avons recommenc´e le raisonnement avec une efficacit´e de

10% (au lieu de 60% pr´ec´edemment). Dans ce cas, nous avons

conclu que le traitement n’´etait pas efficace.

(71)

` a l’´etude des

Dans cet exmple, à chaque cycle de chimiothérapie, le nombre de cellules composant la tumeur est multiplié par

0, 4 × 1, 16 = 0, 464 < 1.

La tumeur diminue donc de taille `a chaque cycle. Le traitement est par cons´equent efficace.

Nous avons recommencé le raisonnement avec une efficacité de 10% (au lieu de 60% précédemment). Dans ce cas, nous avons conclu que le traitement n’était pas efficace.

Il semble donc qu’il y ait une efficacit´e critique au-del`a de laquelle le traitement est efficace.

Nous nous sommes attachés à rechercher cette efficacité critique.

(72)

` a l’´etude des

On se place dans le cas d’une tumeur quelconque. On note

u ₀ le nombre de cellules initiales de la tumeur,

(73)

` a l’´etude des

On se place dans le cas d’une tumeur quelconque. On note u ₀ le nombre de cellules initiales de la tumeur,

T son temps de doublement,

(74)

` a l’´etude des

On se place dans le cas d’une tumeur quelconque. On note u ₀ le nombre de cellules initiales de la tumeur,

T son temps de doublement,

e l’efficacité du traitement. Par exemple dans le cas étudié précédemment, on avait e = 60

100 = 0, 6.

On obtient alors le sch´ema suivant

(75)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(76)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(1 − e) × u

0

restantes e × u

0

d´etruites

traitement

(77)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(1 − e) × u

0

restantes e × u

0

d´etruites

u

1

= 2

^T³

(1 − e)u

0

traitement

3 semaines ×2

^T³

(78)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(1 − e) × u

0

restantes e × u

0

d´etruites

u

1

= 2

^T³

(1 − e)u

0

traitement

3 semaines ×2

^T³

×2

^T³

(1 − e)

(79)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(1 − e) × u

0

restantes e × u

0

d´etruites

u

1

= 2

^T³

(1 − e)u

0

(1 − e) × u

1

e × u

1

traitement

traitement 3 semaines ×2

^T³

×2

^T³

(1 − e)

(80)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(1 − e) × u

0

restantes e × u

0

d´etruites

u

1

= 2

^T³

(1 − e)u

0

(1 − e) × u

1

e × u

1

u₂= 2^T³(1−e)u₁

traitement

traitement 3 semaines ×2

^T³

× 2

^T³

×2

^T³

(1 − e)

(81)

` a l’´etude des

u ₀ cellules

(1 − e) × u

0

restantes e × u

0

d´etruites

u

1

= 2

^T³

(1 − e)u

0

(1 − e) × u

1

e × u

1

u₂= 2^T³(1−e)u₁

traitement

traitement 3 semaines ×2

^T³

× 2

^T³

×2

^T³

(1 − e)

×2

^T³

(1 − e)

(82)

` a l’´etude des

A chaque cycle, le nombre de cellules de la tumeur est donc multipli´e par

2

^T³

× (1 − e ).

(83)

` a l’´etude des

A chaque cycle, le nombre de cellules de la tumeur est donc multipli´e par

2

^T³

× (1 − e ).

Pour que la taille de la tumeur diminue, et donc que le traitement soit efficace, on doit avoir :

2

^T³

× (1 − e ) < 1,

(84)

` a l’´etude des

A chaque cycle, le nombre de cellules de la tumeur est donc multipli´e par

2

^T³

× (1 − e ).

Pour que la taille de la tumeur diminue, et donc que le traitement soit efficace, on doit avoir :

2

^T³

× (1 − e ) < 1, ce qui est ´equivalent `a

e > 1 − 1

2

^T³

.

(85)

` a l’´etude des

A chaque cycle, le nombre de cellules de la tumeur est donc multipli´e par

2

^T³

× (1 − e ).

Pour que la taille de la tumeur diminue, et donc que le traitement soit efficace, on doit avoir :

2

^T³

× (1 − e ) < 1, ce qui est ´equivalent `a

e > 1 − 1 2

^T³

. Par exemple, on trouve

pour un cancer du sein (T ≈ 14 semaines), e > 0, 14

(86)

` a l’´etude des

A chaque cycle, le nombre de cellules de la tumeur est donc multipli´e par

2

^T³

× (1 − e ).

Pour que la taille de la tumeur diminue, et donc que le traitement soit efficace, on doit avoir :

2

^T³

× (1 − e ) < 1, ce qui est ´equivalent `a

e > 1 − 1 2

^T³

. Par exemple, on trouve

pour un cancer du sein (T ≈ 14 semaines), e > 0, 14

(87)

` a l’´etude des

A chaque cycle, le nombre de cellules de la tumeur est donc multipli´e par

2

^T³

× (1 − e ).

Pour que la taille de la tumeur diminue, et donc que le traitement soit efficace, on doit avoir :

2

^T³

× (1 − e ) < 1, ce qui est ´equivalent `a

e > 1 − 1 2

^T³

. Par exemple, on trouve

pour un cancer du sein (T ≈ 14 semaines), e > 0, 14 pour un cancer du colon (T ≈ 90 semaines), e > 0, 02 pour certains lymphomes (T ≈ 30 jours), e > 0, 38.

(88)

` a l’´etude des

P rise en compte des

cellules r´esistantes

(89)

` a l’´etude des

L’étude qui précède nous donne une idée de l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux. Cependant, elle ne prend pas en compte un phénomène régulièrement observé dans les études cliniques :

Une application des mathématiques à l’étude des tumeurs cancéreuses

Une application des math´ ematiques ` a l’´ etude des tumeurs canc´ ereuses

1 ` ere S1

Lyc´ee Catherine et Raymond Janot

Mardi 31 mai 2011

La mitose est un processus se produisant au sein des cellules et qui consiste `a en dupliquer l’ADN, de sorte que chaque cellule donne naissance `a deux cellules filles.

La mitose est un processus se produisant au sein des cellules et qui consiste `a en dupliquer l’ADN, de sorte que chaque cellule donne naissance `a deux cellules filles.

Une cellule devient canc´ereuse `a la suite de mutations

g´en´etiques au cours de la mitose et ne poursuit plus alors pour

seul but que celui de se multiplier. Elle va ainsi produire un

ensemble de cellules filles appel´e tumeur.

La mitose est un processus se produisant au sein des cellules et qui consiste `a en dupliquer l’ADN, de sorte que chaque cellule donne naissance `a deux cellules filles.

Une cellule devient canc´ereuse `a la suite de mutations

génétiques au cours de la mitose et ne poursuit plus alors pour seul but que celui de se multiplier. Elle va ainsi produire un ensemble de cellules filles appelé tumeur.

Le schéma suivant représente les premières étapes de ce processus.

Cellule d’origine

Cellules filles

T

T

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Cet intervalle de temps est appel´e temps de doublement. Nous

l’avons noté T . Il dépend du type de cancer considéré.

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Cet intervalle de temps est appelé temps de doublement. Nous l’avons noté T . Il dépend du type de cancer considéré.

Des observations cliniques ont permi d’´etablir le temps de doublement de certains cancers :

T ≈ 14 semaines pour un cancer du sein, T ≈ 90 semaines pour un cancer du colon, T ≈ 30 jours pour certains lymphones.

Il n’est pas ´etonnant alors de constater que le nombre de cellules de la tumeur double ` a intervalle de temps r´ egulier.

Cet intervalle de temps est appelé temps de doublement. Nous l’avons noté T . Il dépend du type de cancer considéré.

Des observations cliniques ont permi d’´etablir le temps de doublement de certains cancers :

T ≈ 14 semaines pour un cancer du sein, T ≈ 90 semaines pour un cancer du colon, T ≈ 30 jours pour certains lymphones.

Enfin, les observations montrent que le nombre de cellules de la

tumeur de ”ne double pas d’un coup”, mais augmente

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

décrire, à l’aide de formules mathématiques, l’évolution de

la taille d’une tumeur canc´ereuse,

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

décrire, à l’aide de formules mathématiques, l’évolution de la taille d’une tumeur cancéreuse,

étudier l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux,

Nous avons utilis´e ces observations pour mener diverses ´etudes.

Nous nous sommes ansi attach´es `a

décrire, à l’aide de formules mathématiques, l’évolution de la taille d’une tumeur cancéreuse,

étudier l’efficacité d’un traitement anti-cancéreux,

corriger le modèle précédent en prenant en compte

l’existence de m´etastases.

E volution de la taille d’une tumeur canc´ereuse

La première question à laquelle nous nous sommes intéressés

est de d´eterminer, `a chaque instant t, le nombre de cellules

dans la tumeur.

La première question à laquelle nous nous sommes intéressés est de déterminer, à chaque instant t, le nombre de cellules dans la tumeur.

Nous avons appelé f (t) le nombre de cellules à l’instant t. Le problème est donc de trouver une formule pour la fonction f .

La première question à laquelle nous nous sommes intéressés est de déterminer, à chaque instant t, le nombre de cellules dans la tumeur.

Nous avons appelé f (t) le nombre de cellules à l’instant t. Le problème est donc de trouver une formule pour la fonction f . Pour trouver cette formule, nous devons traduire

mathématiquement l’observation évoquée plus tôt :

le nombre de cellules de la tumeur double `a intervalle de temps

r´egulier.

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2

T

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 4

T T

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 2 2

T T

On choisit comme origine des temps (c’est à dire l’instant t = 0), le moment o` u apparaˆıt la première cellule cancéreuse.

On a ainsi f (0) = 1.

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 2 2 f (kT ) = 2 k

1 ^` ^ere S1

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 2 ²

f (0) = 1 f (T ) = 2 f (2T ) = 2 ² f (kT ) = 2 ^k

Nous avons donc ´etabli une premi`ere formule f (kT ) = 2 ^k .

Nous avons donc ´etabli une premi`ere formule f (kT ) = 2 ^k .

f (14) = 2, f (28) = f (2T ) = 4, f (140) = f (10T ) = 2 ¹⁰ = 1024.

Nous avons donc ´etabli une premi`ere formule f (kT ) = 2 ^k .

f (14) = 2, f (28) = f (2T ) = 4, f (140) = f (10T ) = 2 ¹⁰ = 1024.

”Une tumeur étant détectable à partir du moment o` u elle comporte 10 ⁹ cellules, combien de temps s’écoute-t-il entre l’apparition de la première cellule cancéreuse et le moment o` u la tumeur devient détectable ?”

En termes mathématiques, répondre à cette question revient à résoudre l’équation f (t) = 10 ⁹ , c’est à dire qu’il nous faut trouver t tel que

= 10 ⁹ .

En termes mathématiques, répondre à cette question revient à résoudre l’équation f (t) = 10 ⁹ , c’est à dire qu’il nous faut trouver t tel que

= 10 ⁹ .

= 10 ⁹ .

y = 10 ⁹

= 10 ⁹ pour n’importe quelle valeur de T en non pas dans un cas particulier. Un calcul ´etait donc n´ecessaire.

= 10 ⁹ pour n’importe quelle valeur de T en non pas dans un cas particulier. Un calcul ´etait donc n´ecessaire.

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

La solution de cette ´equation est alors donn´ee par t = ln 10 ⁹

Cette question revient à déterminer le temps qui s’écoule entre le stade 1000 cellules et le stade 10 ⁹ cellules, ce qui

= 10 ⁹