DM n
◦2 : Algèbre linéaire
A rendre mercredi 26 septembre 2018
Problème 1
Soitn∈N∗ etα∈R.
Un résultat d'arithmétique
On considère l'ensemble suivant : An,α={p∈N∗/exp(2iπnpα) = 1}. 1. Montrer queAnα n'est pas vide si et seulement siα∈Q.
Dorénavant on supposera α∈Q∗. Notons p(α) =min(Anα)
2. Étudier la parité dep. On pose|α|=r
s avec(r, s)∈(N∗)2et r∧s= 1. On noted=n∧set n0 ets0 les entiers tqn=dn0 et s=ds0. 3.Soitp∈N∗. Montrer : p∈An,α ⇐⇒ ∃t∈N∗ tel quepn0r=s0t.
4. Montrer quep(α) = s n∧s.
Un ensemble de matrices
On noteJl'ensemble de toutes les matrices du typeJλ=
λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ
lorsqueλdécrit C∗ etI est la matrice unité 5. Jest-il un sev deM3(C)?
6. On noteN la matriceJ0. Montrer que pourλ∈C∗ il existe trois suites complexesu, v, wdont on exprimera le terme général à l'aide deλtelles que∀p∈N, (Jλ)p=up.I+vp.N+wp.N2.
7. Soitλ∈C∗. on pse ∀p∈N, Sp=
p
X
k=0
1
k!(Jλ)k. Montrer qu'il existe une suite complexexque l'on explicitera telle que pour tout nombre entier psupérieur ou égal à 2 on ait : Sp=xp.I+xp−1.N+1
2xp−2N2. 8. On admettra le résultat suivant : siz∈C∗ alors lim
p→+∞
p
X
k=0
zk k! =ez.
Pourp∈Non note ai,j(p)le coecient deSp situé ligneicolonnej. Déterminer la matriceS dont le coecient généralai,j est égal à : ai,j= lim
p→+∞ai,j(p).
Etude d'une application linéaire
On note E l'ensemble de toutes les applications dénies sur Rà valeurs dans C. On note [0]la fonction nulle de R dansC.
9. Pourf ∈E on appelleg l'application deE dénie par : ∀x∈R, g(x) =f(x+ 2π). On note alorsϕ:f →ϕ(f) =g. Montrer queϕ∈L(E).
Pourk∈Non noteEk le sous ensemble deEconstitué des applications du type : x→P(x).eiαxavecP ∈Ck[X]. 10.a. Montrer que la familleF= (fk)06k6n oùfk est la fonctionx→xk.eiαx est une base deEn.
10.b. Exprimer simplementEn+1 à l'aide deEn et de la droite vectorielle{λ.fn+1/λ∈C}. 11.Montrer queϕ(En)⊂En.
12. On désigne parml'automorphisme deEn déni, pour f ∈En parm(f) =ϕ(f). on note M la matrice dem relativement à la base F. Montrer queM est une matrice triangulaire supérieure que l'on représentera en ne faisant gurer que les coecients nuls, les coecients diagonaux, ainsi que ceux situés juste en dessus de la diagonale.
13. Pourα∈Q∗, donner le plus petit entier naturel non nul ptel que(m)p soit de déterminant égal à 1.
Changement de base
Soit`=m−(e2iπα).id.
14.a. Vérier que`(f0)est l'application nulle.
Soitk∈[[0, n−1]]. Montrer que`(fk+1)∈Ek et déterminer sa composante selonfk.
14.b. Montrer : ∀k∈[[0, n]], Ek⊂Ker(`k+1). Montrer : ∀k∈[[0, n]], `k(fk) = k!(2π)ke2ikπα .f0. 14.d. Montrer queB= (`n(fn), `n−1(fn), ..., l(fn), fn)est une base deEn.
15. Déterminer relativement à la baseBla matrice de`. En déduire la matrice dem dans cette base.
16. On note Jn+1l'ensemble de matrices carrées triangulaires supérieures d'ordren+1, dont les éléments diagonaux sont égaux et de module 1, dont les éléments situés juste au-dessus de la diagonale sont égaux à 1, et dont tous les autres éléments sont nuls.
Montrer que l'application qui à un nombre réelαassocieM0 la matrice demα=`+e21πα dans est une surjection de RsurJn+1
Problème 2 : COEUR ET NILESPACE D'UN ENDOMORPHISME
SoitE un espace vectoriel surKet u∈ L(E).
On poseu0=IdE et, pourn∈N∗, un=u◦u◦...◦u(nfois).
Pour n∈N, on poseFn= Im(un)etGn= Ker(un).
1. (a) Montrer que(Fn)n∈N est décroissante et que(Gn)n∈N est croissante pour l'inclusion. On noteF = T
n∈N
Fn
etG= S
n∈N
Gn.
Vérier queF etGsont des sous-espaces vectoriels deE. F est appelé le coeur de u et G est appelé le nilespace de u.
(b) Montrer que ∀n∈N, Fn etGn sont stables paru, puis queF etGsont stables paru. Prouver que : uest injectif ⇐⇒ G={0}, et queuest surjectif ⇐⇒ F =E.
(c) i. Montrer que, s'il existe n∈ N tel que Gn =Gn+1, alors ∀p∈ N, Gn = Gn+p. Dans ce cas, on note s= min{n∈N;Gn=Gn+1}.
ii. En supposant l'existence de s, montrer queu˜ : G−→ G x7→ u(x) =˜ u(x) est nilpotent (c'est-à-dire
∃m∈N∗,u˜m= 0), montrer queuˆ:F −→F x7→u(x) =ˆ u(x)est injectif, et queFsTG={0}. (d) i. Montrer que, s'il existe n ∈ N tel que Fn =Fn+1, alors ∀p∈ N, Fn = Fn+p. Dans ce cas, on note
r= min{n∈N ; Fn=Fn+1}.
ii. En supposant l'existence der, montrer queuinduit une surjection deF surF, et que E=F+Gr . 2. On dit queuest de caractère ni lorsqu'il existemet nentiers tels queFm=Fm+1 etGn=Gn+1.
(a) Soitude caractère ni. Démontrer queE=FLG, queF etGsont stables paru, que la restriction deu àGest nilpotente et queuinduit un automorphisme deF.
(b) Réciproquement, on suppose que E =F0L
G0, où F0 et G0 sont stables par u, avec u|G0 nilpotent et u induisant un automorphisme deF0.
Montrer alors queuest de caractère ni, queF0=F et que G0 =G.
(c) i. Prouver que, s'il existen∈Ntel que Fn =Fn+1 et Gn+1=Gn+2, alorsGn =Gn+1.
ii. Prouver de même que s'il existem∈Ntel que Gm=Gm+1 etFm+1=Fm+2, alorsFm=Fm+1. iii. En déduire que siuest de caractère ni, alorsr=s.
iv. Montrer que, si dimE <+∞, alorsuest de caractère ni et donner une démonstration autonome pour
”r=s” dans ce cas-là.
(d) On suppose qu'il existep∈N∗ tel queE=FpLGp. Montrer alors queG2p=Gp.
En déduire, lorsques∈N∗, cette caractérisation despour ude caractère ni : s= inf{p∈N∗, E=FpLGp}.
3. Donner un exemple d'endomorphismeudeE pour lequelrn'existe pas et un exemple d'endomorphismevdeE pour lequelsn'existe pas.
Et se peut-il que nirni sn'existent pour un endomorphismewdeE ?
