Modélisation du comportement des bétons fibrés à ultra-hautes performances par la micromécanique : effet de l'orientation des fibres à l'échelle de la structure

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ultra-hautes performances par la micromécanique : effet

de l’orientation des fibres à l’échelle de la structure

Thomas Guenet

To cite this version:

Thomas Guenet. Modélisation du comportement des bétons fibrés à ultra-hautes performances par la micromécanique : effet de l’orientation des fibres à l’échelle de la structure. Matériaux. Université Paris-Est, 2016. Français. �NNT : 2016PESC1006�. �tel-01398058�

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Docteur de l’Université Paris-Est

et

Philosophiæ Doctor de l’Université Laval

Spécialité : Génie Civil

par

Thomas Guénet

intitulée

Modélisation du comportement

des Bétons Fibrés à Ultra-hautes Performances

par la micromécanique : effet de l’orientation

des fibres à l’échelle de la structure

Thèse préparée en cotutelle à l’Université Laval et à l’Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux (Ifsttar), soutenue en séance publique le 31 mars 2016 devant le jury composé de :

Pr.Eugen Brühwiler École Polytechnique Fédérale de Lausanne Président Pr.Farid Benboudjema École Normale Supérieure de Cachan Rapporteur

Pr.Marco di Prisco Politecnico di Milano Rapporteur

Dr.Sébastien Bernardi LafargeHolcim Examinateur

Pr.David Conciatori Université Laval Examinateur

Dr.Florent Baby Ifsttar / Université Paris-Est Conseiller d’études

Pr.Luca Sorelli Université Laval Directeur de thèse

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Résumé

Cette thèse s’inscrit dans le contexte d’une optimisation industrielle et économique des éléments de structure en BFUP permettant d’en garantir la ductilité au niveau structural, tout en ajustant la quantité de ﬁbres et en optimisant le mode de fabrication.

Le modèle développé décrit explicitement la participation du renfort fibré en traction au niveau local, en enchaînant une phase de comportement écrouissante suivie d’une phase adoucissante. La loi de comportement est fonction de la densité, de l’orientation des fibres vis-à-vis des directions principales de traction, de leur élancement et d’autres paramètres matériaux usuels liés aux fibres, à la matrice cimentaire et à leur interaction. L’orientation des fibres est prise en compte à partir d’une loi de probabilité normale à une ou deux va-riables permettant de reproduire n’importe quelle orientation obtenue à partir d’un calcul représentatif de la mise en œuvre du BFUP frais ou renseignée par analyse expérimentale sur prototype. Enfin, le modèle reproduit la fissuration des BFUP sur le principe des mo-dèles de fissures diffuses et tournantes. La loi de comportement est intégrée au sein d’un logiciel de calcul de structure par éléments finis, permettant de l’utiliser comme un outil prédictif de la fiabilité et de la ductilité globale d’éléments en BFUP.

Deux campagnes expérimentales ont été effectuées, une à l’Université Laval de Québec et l’autre à l’Ifsttar, Marne-la-Vallée. La première permet de valider la capacité du modèle à reproduire le comportement global sous des sollicitations typiques de traction et de flexion dans des éléments structurels simples pour lesquels l’orientation préférentielle des fibres a été renseignée par tomographie. La seconde campagne expérimentale démontre les capacités du modèle dans une démarche d’optimisation, pour la fabrication de plaques nervurées relativement complexes et présentant un intérêt industriel potentiel pour lesquels différentes modalités de fabrication et des BFUP plus ou moins fibrés ont été envisagés. Le contrôle de la répartition et de l’orientation des fibres a été réalisé à partir d’essais mécaniques sur prélèvements.

Les prévisions du modèle ont été confrontées au comportement structurel global et à la ductilité mis en évidence expérimentalement. Le modèle a ainsi pu être qualiﬁé vis-à-vis des méthodes analytiques usuelles de l’ingénierie, en prenant en compte la variabilité sta-tistique. Des pistes d’amélioration et de complément de développement ont été identiﬁées.

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Abstract

This Ph.D. project has been prepared within the context of an industrial and economic optimisation of UHPFRC structural elements to ensure ductility at the structural level, while adjusting the amount of ﬁbre and optimising the manufacturing process.

The model developed explicitly describes the participation of local fibre reinforcement in tension, thanks to a hardening behaviour followed by a softening one. The constitutive law is a function of the local fibre content, of the fibre orientation with respect to tensile principal directions, of the fibre slenderness and other usual material parameters related to the fibres, the cementitious matrix and their interaction. The fibre orientation is taken into account using a normal probability distribution with one or two variables to reproduce any orientation either obtained from a representative simulation of casting fresh UHPFRC or informed by experimental analysis on prototypes. Lastly, the model reproduces the cracking of UHPFRC based on the principle of smeared rotating crack models. The constitutive law is implemented in a structural finite element software as a predictive tool of reliability and overall ductility of UHPFRC elements.

Two experimental campaigns were carried out, one at Laval University in Québec and one at Ifsttar, Marne-la-Vallée. The first one is used to confirm the model ability to re-produce the overall behaviour under typical tensile and bending loads in simple structural elements for which the preferential fibre orientation was measured by microtomography. The second experimental campaign demonstrates the capabilities of the model, in an op-timisation process, to help manufacture relatively complex ribbed triangular plates of industrial interest in which different manufacturing process and fibre volume have been considered. The identification of fibre distribution and orientation has been performed using mechanical tests on sawn samples.

The model predictions have been compared to the global structural behaviour, and to the ductility demonstrated experimentally. The model could be qualiﬁed through compar-ison with conventional analytical engineering methods, taking into account the statistical variability. Improvement and additional developments have been identiﬁed.

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Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières xi

Liste des tableaux xiii

Liste des figures xv

Notations xxiii

Remerciements xxvii

Introduction 1

1 Etat de l’art 5

1.1 Introduction . . . 7

1.2 Généralités sur les BFUP . . . 7

1.3 Comportement mécanique des BFUP . . . 9

1.3.1 Propriétés mécaniques . . . 10

1.3.2 Comportement en traction uniaxiale . . . 11

1.3.2.1 Mécanismes d’extraction des ﬁbres . . . 11

1.3.2.2 L’interaction ﬁbre – matrice . . . 13

1.3.2.3 Comportement à l’échelle méso et macroscopique . . . . 14

1.3.3 Comportement en compression uni- et biaxiale . . . 15

1.4 Orientation des ﬁbres . . . 17

1.4.1 Prédiction de l’orientation des ﬁbres : approches théoriques . . . 17

1.4.1.1 Les mécanismes orientant les ﬁbres . . . 17

1.4.1.2 Définition du coefficient d’orientation des fibres . . . 19

1.4.1.3 Prédiction du coeﬃcient d’orientation des ﬁbres . . . . 22

1.4.2 Identiﬁcation de l’orientation des ﬁbres : méthodes expérimentales 24 1.4.2.1 Méthodes destructives . . . 24

1.4.2.2 Méthodes non destructives . . . 25

1.4.3 Inﬂuence de l’orientation des ﬁbres sur le comportement en trac-tion des BFUP . . . 26

1.4.4 Recommandations de l’AFGC . . . 29

1.5 Conclusion sur le comportement mécanique des BFUP . . . 31

1.6 Modèles non linéaires et application aux BFUP . . . 32

1.6.1 Invariants et coordonnées de Haigh-Westergaard . . . 32

1.6.2 Modèles basés sur la théorie de la plasticité . . . 33

(9)

1.6.2.2 Critère de de Borst . . . 34

1.6.2.3 Critère de Willam-Warnke . . . 34

1.6.2.4 Modèle empirique dépendant de l’orientation des ﬁbres 35 1.6.3 Modèles basés sur la théorie de l’endommagement . . . 36

1.6.3.1 Modèle d’endommagement isotrope . . . 36

1.6.3.2 Modèle d’endommagement à deux surfaces limites . . . 38

1.6.3.3 Modèle d’endommagement anisotrope . . . 39

1.6.4 Modèles de couplage endommagement et plasticité . . . 39

1.6.4.1 Modèle de Lubliner . . . 40

1.6.4.2 Modèle pour béton renforcé de ﬁbres métalliques . . . . 40

1.6.5 Modèles micromécaniques pour béton ﬁbré . . . 41

1.6.5.1 Modèles d’endommagement micromécaniques par ho-mogénéisation . . . 41

1.6.5.2 Modèle micromécanique avec orientation uniforme des ﬁbres . . . 42

1.6.5.3 Modèle de création de ﬁssures discrètes . . . 43

1.6.5.4 Modèle à deux phases couplées par la micromécanique . 44 1.6.5.5 Modèle micromécanique écrouissant . . . 45

1.6.6 Modèles de ﬁssures diﬀuses . . . 46

1.6.7 Modèles stochastiques . . . 48

1.6.8 Dépendance vis-à-vis du maillage . . . 48

1.6.8.1 Correction « simpliste » . . . 50

1.6.8.2 Correction énergétique . . . 50

1.6.9 Modèles non locaux . . . 51

1.6.10 Modèles d’éléments ﬁnis enrichis . . . 52

1.7 Conclusion . . . 52

1.7.1 Discussion issue de l’état de l’art sur les modèles non linéaires . . 52

1.7.2 Intérêts d’une approche couplée . . . 53

2 Modélisation du comportement des BFUP 55 2.1 Introduction . . . 57

2.2 Modélisation du mécanisme d’extraction d’une ﬁbre droite . . . 58

2.2.1 Relation entre la force de décollement et l’ouverture de ﬁssure . . 60

2.2.2 Relation entre la force d’extraction et l’ouverture de ﬁssure . . . 62

2.2.3 Calcul de la contrainte de cohésion . . . 63

2.2.4 Énergie de restitution d’une ﬁbre . . . 66

2.3 Distribution normale de l’orientation des ﬁbres . . . 67

2.4 Comportement écrouissant : approche de la micromécanique de la rupture 69 2.4.1 Thermodynamique de la ﬁssuration . . . 71

2.4.2 Homogénéisation du tenseur de rigidité par la micromécanique . 72 2.4.2.1 Application de l’homogénéisation aux matériaux ﬁssurés 74 2.4.2.2 Schéma d’homogénéisation de Mori-Tanaka . . . 75

2.4.2.3 Rigidité homogénéisée avec endommagement initial . . 76

2.4.3 Calcul de la dissipation d’énergie des ﬁbres . . . 77

2.4.4 Changement de variables . . . 79

2.5 Comportement adoucissant : modèle de ﬁssures diﬀuses et tournantes . 80 2.5.1 Équations de base et notations . . . 81

2.5.2 Régularisation par projection . . . 82

2.6 Discussion sur le modèle adopté . . . 84

2.6.1 Résumé de l’approche choisie . . . 84

2.6.2 Analyse de sensibilité . . . 86

(10)

2.7.1 Logiciel de simulation numérique Code_Aster . . . 91

2.7.2 Programmation de la loi de comportement . . . 93

2.7.2.1 Calcul des contraintes en comportement écrouissant . . 95

2.7.2.2 Calcul des déformations inélastiques . . . 98

2.7.2.3 Calculs des contraintes du comportement adoucissant . 99 2.7.2.4 Matrice tangente du comportement écrouissant . . . 100

2.7.2.5 Matrice tangente du comportement adoucissant . . . . 102

2.7.2.6 Transition à l’endommagement scalaire . . . 102

2.7.3 Recommandations et commandes utiles pour la mise en œuvre du modèle dans Code_Aster . . . 103

2.8 Validation de l’intégration numérique du modèle . . . 105

2.8.1 Validation au niveau matériau . . . 105

2.8.2 Validation de l’intégration dans Code_Aster : application sur une barre en traction directe . . . 105

2.8.2.1 Dépendance et régularisation du maillage . . . 107

2.8.2.2 Utilisation des éléments quadratiques avec le modèle . . 112

2.8.3 Poutre en ﬂexion quatre points . . . 113

2.9 Confrontation avec la littérature . . . 117

2.9.1 Modélisation de l’eﬀfet de l’orientation des ﬁbres sur une barre en traction . . . 117

2.9.2 Modélisation de l’orientation des ﬁbres sur une poutre en ﬂexion 118 2.10 Conclusions sur le développement du modèle . . . 120

3 Calibration des paramètres du modèle : flexion sur poutrelles 123 3.1 Introduction . . . 125

3.2 Description du programme expérimental . . . 125

3.2.1 Caractéristiques des corps d’épreuve . . . 125

3.2.2 Dispositif général des essais . . . 127

3.2.3 Instrumentation des corps d’épreuve . . . 127

3.2.4 Caractérisation des matériaux . . . 128

3.2.4.1 Caractérisation du BFUP . . . 128

3.2.4.2 Caractérisation des barres d’armature . . . 129

3.3 Caractérisation de l’orientation des ﬁbres . . . 130

3.3.1 Méthodologie . . . 131

3.3.1.1 Détermination de l’orientation des ﬁbres . . . 132

3.3.1.2 Choix de la loi de probabilité . . . 133

3.3.1.3 Calage de la loi de probabilité à partir des résultats de la tomographie . . . 136

3.3.2 Détermination de la distribution des ﬁbres : calcul du pourcen-tage volumique des ﬁbres . . . 138

3.3.3 Synthèse sur la distribution et l’orientation des ﬁbres . . . 139

3.4 Résultats des essais de ﬂexion . . . 140

3.4.1 BFUP non armé dosé à 1% de ﬁbres . . . 140

3.4.2 BFUP non armé dosé à 2% de ﬁbres . . . 142

3.4.3 Synthèse . . . 143

3.5 Calage des paramètres du modèle . . . 144

3.5.1 Description du modèle d’éléments ﬁnis utilisé . . . 144

3.5.2 Cas du BFUP avec 1% de ﬁbres . . . 145

3.5.2.1 Méthodologie . . . 146

3.5.2.2 Application . . . 147

3.5.3 Cas du BFUP avec 2% de ﬁbres . . . 152

(11)

3.5.3.2 Application . . . 153

3.5.4 Discussion sur les valeurs de contraintes de cisaillement obtenues 158 3.5.4.1 Eﬀet de groupe des ﬁbres . . . 158

3.5.4.2 Modélisation de l’extraction des ﬁbres . . . 160

3.5.4.3 Processus de ﬁssuration . . . 160

3.5.5 Interprétation de la longueur caractéristique . . . 161

3.6 Confrontation du modèle vis-à-vis des poutrelles en BFUP armé . . . . 161

3.6.1 Résultats expérimentaux . . . 162

3.6.2 Comparaison avec le modèle . . . 163

3.7 Conclusions . . . 167

4 Application sur structure complexe 169 4.1 Introduction . . . 170

4.2 Description de la campagne expérimentale . . . 171

4.2.1 Caractéristiques et dimensionnement des corps d’épreuve . . . . 171

4.2.1.1 Caractérisation des corps d’épreuve . . . 172

4.2.1.2 Vériﬁcation du dimensionnement par rapport à l’objec-tif de rupture . . . 174

4.2.2 Fabrication des triangles . . . 182

4.2.2.1 Spéciﬁcations et formulations étudiées . . . 182

4.2.2.2 Mise en œuvre du BFUP : modes de coulage . . . 183

4.2.2.3 Traitement thermique . . . 185

4.2.2.4 Dénomination des corps d’épreuve . . . 185

4.2.3 Dispositif d’essai et instrumentation des corps d’épreuve . . . 188

4.2.3.1 Dispositif général des essais et asservissement . . . 188

4.2.3.2 Programme de chargement . . . 189

4.2.3.3 Instrumentation des corps d’épreuve . . . 191

4.3 Résultats expérimentaux . . . 196

4.3.1 Caractérisation des diﬀérents matériaux . . . 196

4.3.1.1 Caractérisation mécanique des BFUP . . . 196

4.3.1.2 Caractérisation de l’orientation des ﬁbres dans le hourdis 209 4.3.1.3 Caractérisation des armatures passives . . . 222

4.3.2 Comportement global des corps d’épreuve . . . 223

4.3.2.1 Essais de ﬂexion quatre points . . . 223

4.3.2.2 Essais de ﬂexion centrée . . . 228

4.3.3 Synthèse . . . 235

4.4 Confrontation des résultats avec la modélisation . . . 236

4.4.1 Approche analytique . . . 236

4.4.1.1 Flexion quatre points . . . 236

4.4.1.2 Flexion centrée . . . 238

4.4.2 Approche numérique . . . 241

4.4.2.1 Flexion quatre points des nervures . . . 242

4.4.2.2 Flexion centrée . . . 247

4.5 Conclusion . . . 254

Conclusions et perspectives 257

(12)

Annexes 279

A Fiche technique Ductal® 283

B Origine de l’endommagement micromécanique 285

B.1 Création d’une ﬁssure . . . 285

B.2 Bilan énergétique . . . 285

C Méthode des éléments finis 287

C.1 Formulation faible des équations d’équilibre . . . 287

C.2 Discrétisation spatiale du problème . . . 289

D Histrogrammes de l’orientation des fibres des poutrelles 291 E Calcul du travail des forces extérieures – modèle analytique 301

(13)

(14)

Liste des tableaux

1.1 Composition classique du béton ordinaire, du BHP et du BFUP (Wuest,

2007;Toutlemonde et Resplendino,2011;AFGC,2013) . . . 8

1.2 Propriétés générales du béton ordinaire (BO), du BHP, du BTHP et du BFUP, (AFGC,2013;Bayard,2003;Toutlemonde et Resplendino,2013) . . 10

2.1 Paramètres matériaux de base utilisés pour l’analyse de sensibilité . . . 86

2.2 Correspondance entre la variable interne et l’état du matériau . . . 98

2.3 Liste des maillages testés sur le cas de la barre en traction directe . . . 106

2.4 Liste des maillages testés sur le cas de la poutre en ﬂexion quatre points . . 114

2.5 Performance des maillages utilisés . . . 115

2.6 Paramètres matériaux du BFUP utilisé par Bayard (2003) . . . 117

2.7 Paramètres matériaux du BFUP utilisé par Bernier (1996) . . . 119

3.1 Formulation des deux BFUP . . . 126

3.2 Dénomination et caractéristiques des corps d’épreuve . . . 126

3.3 Résultats des essais de caractérisation du BFUP à 1% et 2% de ﬁbres . . . 128

3.4 Paramètres matériaux relatifs au comportement des barres d’armatures . . 130

3.5 Valeurs des paramètres de la loi normale à deux variables calées sur l’orien-tation des ﬁbres obtenue par tomographie . . . 137

3.6 Impact de l’orientation et de la dispersion des ﬁbres . . . 138

3.7 Vue d’ensemble des résultats expérimentaux (poutrelles non armées . . . . 141

3.8 Espacement moyen des macrofissures / fissures autour de la fissure critique, cas avec 1% de fibres . . . 141

3.9 Résultats du calage sur le comportement en ﬂexion des poutrelles dosées à 1% de ﬁbres . . . 148

3.10 Résultats du calage sur le comportement en ﬂexion des poutrelles dosées à 2% de ﬁbres . . . 153

3.11 Résumé des valeurs des contraintes d’interface (τ0) obtenues par calibration 158 3.12 Valeurs issues de la calibration du modèle sur le programme expérimental de l’Université Laval . . . 168

4.1 Valeurs résultant du calage sur les lois de dimensionnement . . . 174

4.2 Paramètres matériaux pour le dimensionnement de la ﬂexion quatre points (veriﬁcation analytique) . . . 177

4.3 Synthèse des vérifications du dimensionnement pour la flexion quatre points 178 4.4 Paramètres matériaux pour le dimensionnement analytique de la flexion quatre points . . . 179

4.5 Synthèse des vériﬁcations du dimensionnement pour la ﬂexion centrée . . . 182

4.6 Formulation des deux BFUP (identique au tableau 3.1) . . . 182

(15)

4.8 Essais de ﬂexion quatre points : calcul des eﬀorts du vérin pour atteindre la non-linéarité (Fnonlinéarité-calcul) et la rupture (Frupture-calcul) pour chaque

triangle . . . 189

4.9 Essais de ﬂexion centrée : eﬀorts de calcul du vérin pour atteindre une non-linéarité (Fnonlinéarité-calcul) et la rupture (Frupture-calcul) pour chaque triangle 189 4.10 Résultats des essais de compression sur cylindres 110 × 220 mm . . . 197

4.11 Résultats des essais de module sur cylindres 110 × 220 mm . . . 197

4.12 Résultats des essais de Poisson sur cylindres 110 × 220 mm . . . 197

4.13 Résultats des essais de ﬂexion quatre points sur prismes 70 × 70 × 280 mm non entaillés . . . 199

4.14 Comparaison entre les BFUP des deux campagnes expérimentales . . . 199

4.15 Perte de linéarité des essais de ﬂexion quatre points sur prismes moulés . . 200

4.16 Résultats du calage du modèle sur les prismes moulés 70 × 70 × 280 mm pour 1% et 2% de ﬁbres . . . 203

4.17 Résultats des essais de ﬂexion sur prismes prélevés à partir de plaques minces 205 4.18 Valeurs des paramètres imposés et résultats de la calibration du modèle sur les essais des dallettes traités par analyse inverse . . . 209

4.19 Synthèse du relevé de ﬁssuration des prismes sciés . . . 214

4.20 Synthèse du calcul du coeﬃcient d’orientation des ﬁbres . . . 216

4.21 Résultats de la calibration des prismes sciés . . . 221

4.22 Paramètres matériaux et moyennes des barres d’armature mises en place dans les plaques triangulaires . . . 222

4.23 Effort maximal appliqué et effort correspondant à la première fissuration pour chaque triangle nervuré testé en flexion quatre points . . . 225

4.24 « Effort maximal appliqué/ (Epaisseur Hourdis)2 _{» et effort correspondant} à la première fissuration pour chaque triangle nervuré testé en flexion centrée 229 4.25 Flexion centrée : comparaison entre les résultats expérimentaux et la mo-délisation analytique . . . 241

4.26 Ensemble des paramètres matériaux utilisés pour les simulations numériques 242 4.27 Flexion centrée : comparaison entre les résultats expérimentaux et la mo-délisation numérique (eﬀorts correspondant à une ﬂèche de 14 mm) . . . 249

(16)

Liste des figures

1.1 Réalisations structurelles en BFUP (AFGC,2013) . . . 11

1.2 Les trois phases de l’extraction d’une ﬁbre (Bentur et Mindess,1990) . . . . 12

1.3 Schéma simpliﬁé de l’extraction d’une ﬁbre en force d’extraction et

allon-gement de la ﬁbre, (Bartos,1981) . . . 12

1.4 Schéma des comportements en traction du BO, BRF, BFUP avec et sans

phase écrouissante . . . 14

1.5 Exemple de compression uniaxiale sur les BFUP . . . 16

1.6 Résistance en compression biaxiale de béton ordinaire (NSC), béton à

hautes résistances (HSC) et béton à hautes résistances ductile . . . 16

1.7 Schéma des zones orientant plus ou moins les ﬁbres dans un coﬀrage fermé,

inspiré de (Martinie et Roussel,2011) . . . 18

1.8 Orientation d’une ﬁbre dans le repère polaire et sphérique . . . 20

1.9 Exemples de diﬀérentes orientations : (a) aligné dans une direction, (b)

uniformément orienté dans un plan et (c) isotrope ; (Advani,1994) . . . 22

1.10 Répartition des zones suivant le nombre et le type de bord dans une section

rectangulaire h × b, (Dupont et Vandewalle,2005) . . . 23

1.11 Détermination de l’orientation d’une ﬁbre à partir de sa section elliptique

(Tue et Henze,2008) . . . 25

1.12 Découpe des éprouvettes dans les plaques, (Bayard,2003) . . . 27

1.13 Eﬀet de l’orientation des ﬁbres sur des essais de traction directe, (Bayard,

2003) . . . 27

1.14 Énergies dissipées pour diﬀérentes orientations des ﬁbres (Bayard,2003) . . 28

1.15 Contraintes maximales pour diﬀérentes orientations, (Naaman et Shah,

1976;Maage,1977;Lee et al.,2010) . . . 28

1.16 Résultats expérimentaux issus d’essais de ﬂexion quatre points sur prismes

avec diﬀérentes orientations de ﬁbres, (Bernier et Behloul,1996) . . . 29

1.17 Exemple de prélèvement d’éprouvettes pour déterminer K sur une poutre précontrainte du pont de Saint-Pierre-la-Cour (Mayenne), dimensions en

cm, (Behloul,2006) . . . 30

1.18 Surface limite de Willam-Warnke à cinq paramètres : (a) dans le plan

dé-viateur ; (b) dans le plan des contraintes biaxiales . . . 35

1.19 Modèle d’endommagement isotrope de Mazars(1986) . . . 38

1.20 Lois de comportement typique avec leur mode de déchargement . . . 40

1.21 Simulation des résultats expérimentaux (gauche) et effet du coefficient d’orientation des fibres sur la réponse en traction (droite), (Wuest et al.,

2008) . . . 44

1.22 Comparaison entre la simulation et les résultats d’essai de ﬂexion quatre-points (gauche) et comparaison de la courbe obtenue par analyse inverse

avec celles des essais de traction directe (droite), (Wuest,2007) . . . 44

1.23 Modèle à deux phases : (a) schéma représentatif 1D, (b) comparaison avec

(17)

1.24 (a) Plan d’extraction des spécimens d’un conteneur de déchets nucléaires en BFUP avec indication de la direction du coulage, (Toutlemonde et al.,

1999) ; (b) prédiction numérique des essais de traction pour une orientation

favorable B, (Sorelli et al.,2007a) . . . 46

1.25 Comparaison entre le modèle probabiliste et la simulation d’une poutre en ﬂexion quatre points, (Tailhan et al.,2015) . . . 48

1.26 Variation de la bande de localisation des déformations en fonction du maillage 49 1.27 Correction de loi de comportement élasto-adoucissant pour diﬀérentes va-leurs de γ(e)_f . . . 51

2.1 Approche multiéchelle des BFUP . . . 57

2.2 Représentation schématique d’une ﬁbre à travers un plan de ﬁssuration . . 59

2.3 Schéma de l’extraction d’une ﬁbre . . . 59

2.4 Loi d’extraction des ﬁbres . . . 65

2.5 Comportement d’un essai d’arrachement de ﬁbres : en contrainte déforma-tion (gauche) et en contrainte – ouverture de ﬁssure (droite) . . . 67

2.6 Loi normale gaussienne en repère sphérique . . . 68

2.7 Valeurs du coefficient d’orientation des fibres à partir de la loi de probabilité 69 2.8 Illustration des trois modes de propagation d’une fissure . . . 70

2.9 Représentation du principe de superposition . . . 70

2.10 Schéma représentatif du problème d’Eshelby(1957) . . . 75

2.11 Modèle de ﬁssure en forme d’ellipsoïde de révolution aplati avec chargement à l’inﬁni (Tada et al.,2000) . . . 78

2.12 Zones de la ﬁssure participant à la dissipation d’énergie . . . 78

2.13 Exemple de projection d’un élément tétraédrique sur l’axe directeur du vecteur propre associé à la plus grande valeur propre . . . 83

2.14 Phases de la loi de comportement développée . . . 85

2.15 Effet du module de Young de la matrice (Em) sur la loi de comportement . 87 2.16 Effet du module de Young des fibres (Ef) sur la loi de comportement . . . 87

2.17 Eﬀet du volume de ﬁbres (vf) sur la loi de comportement . . . 88

2.18 Eﬀet du coeﬃcient d’orientation (α3) sur la loi de comportement . . . 88

2.19 Eﬀet de la longueur des ﬁbres (Lf) sur la loi de comportement . . . 88

2.20 Eﬀet du diamètre des ﬁbres (φf) sur la loi de comportement . . . 89

2.21 Eﬀet de la contrainte d’interface (τ0) sur la loi de comportement . . . 89

2.22 Eﬀet du nombre de ﬁssures (Nc) sur la loi de comportement . . . 89

2.23 Eﬀet de la limite élastique de la matrice cimentaire sans ﬁbres (ft) sur la loi de comportement . . . 90

2.24 Eﬀet de la longueur caractéristique (L0) sur la loi de comportement . . . . 90

2.25 Eﬀet du coeﬃcient de Poisson (ν) sur la loi de comportement . . . . 90

2.26 Organigramme du calcul des contraintes et variables internes . . . 94

2.27 Représentation de la fonction de chargement/déchargement f(ǫ, ε) et de toutes ses racines . . . 96

2.28 Représentation de la fonction de chargement/déchargement (f) en fonction de l’endommagement, pour des valeurs de déformation allant de 0h à 10h par pas de 1h, du noir au rouge . . . 97

2.29 Loi de comportement du modèle en contrainte – déformation identiﬁant les états du matériau . . . 98

2.30 Exemple d’application de la transition à l’endommagement scalaire pour des valeurs de σtr = 0.9 MPa et σ∞= 0 MPa . . . 103

2.31 Géométrie et système de chargement de la poutre en ﬂexion quatre points . 106 2.32 Maillages de la barre (* = L ou Q) . . . 106

(18)

2.33 Phases de chargement et déchargement de la loi de comportement : (a)

visualisation de toutes les phases, (b) zoom sur l’écrouissage . . . 107

2.34 Mise en évidence de la dépendance du résultat aux quatre maillages . . . . 108

2.35 Maillages (Hexaèdre et Tétraèdre) avec ﬁssurations dans deux bandes d’élé-ments, comparaison avec référence HL100 . . . 109

2.36 Loi de comportement régularisée à partir du volume des éléments . . . 109

2.37 Loi de comportement régularisée appliquée aux tétraèdres . . . 110

2.38 Loi de comportement régularisée par projection . . . 111

2.39 Comparaison entre les éléments linéaires (HL) et quadratiques (HQ) . . . . 112

2.40 Valeurs des déplacements nodaux de la barre en traction avec le maillage HQ50 et la régularisation volumique, en ﬁn de chargement : avec un pas de chargement de (a) 0.01 et de (b) 0.001 . . . 113

2.41 Géométrie et système de chargement de la poutre en ﬂexion quatre points . 114 2.42 Maillages de la poutre 40 × 100 × 1400 mm (* = L ou Q) . . . 115

2.43 Simulation de l’essai de ﬂexion quatre points . . . 115

2.44 Analyse de la convergence . . . 116

2.45 Modélisation de l’eﬀet de l’orientation des ﬁbres dans les essais de traction uniaxiale deBayard (2003) . . . 118

2.46 Modélisation de l’effet de l’orientation des fibres dans les essais de flexion quatre points deBernier et Behloul (1996) . . . 119

3.1 Schéma de principe de l’essai de ﬂexion quatre points d’une poutrelle armée 126 3.2 Montage expérimental de la ﬂexion quatre points des poutrelles . . . 127

3.3 Instrumentation des poutrelles pour la mesure de la ﬂèche au centre . . . . 128

3.4 Instrumentation des poutrelles en ﬁbre inférieure, vue de dessous . . . 128

3.5 Courbe caractéristique du comportement du BFUP à 1% et 2% obtenue par analyse inverse . . . 129

3.6 Essais de traction directe de trois barres d’armatures (gauche) ; calage de la loi élastoplastique sur la barre d’armature n◦_{1 (droite) . . . .} ₁₃₀

3.7 Schéma du prélèvement de prismes [mm] . . . 130

3.8 Photo du coulage d’une poutrelle sans barre d’armature à 1% de ﬁbres . . . 131

3.9 Microtomographie : Images de la reconstruction du réseau de ﬁbres . . . 132

3.10 Repère en azimut (plan xz) et élévation au sein du repère cartésien . . . . . 132

3.11 Valeurs du coeﬃcient d’orientation αi en fonction de µEl et σEl avec µAz constant et σAz = σEl . . . 135

3.12 Dispersion sur l’orientation des ﬁbres de l’échantillon 1% sans armature haut_haut . . . . 137

3.13 Essais de ﬂexion quatre points des poutrelles en BFUP avec 1% de ﬁbres, sans armature (Duhamel-Labrecque,2016) . . . 140

3.14 Relevé de ﬁssuration des poutrelles avec 1% de ﬁbres . . . 141

3.15 Courbes lissées de la loi de comportement en traction post-ﬁssuration ob-tenue à partir de l’analyse inverse (poutrelles 1% non armées) . . . 142

3.16 Essais de ﬂexion quatre points des poutrelles en BFUP avec 2% de ﬁbres, sans armature (Duhamel-Labrecque,2016) . . . 142

3.17 Relevé de ﬁssuration des poutrelles avec 2% de ﬁbres . . . 143

3.18 Courbes lissées du comportement en traction du BFUP avec 2% de ﬁbres obtenues à partir de l’analyse inverse . . . 143

3.19 Aperçu du maillage et des groupes de mailles modélisant l’essai de ﬂexion quatre points . . . 145

3.20 Déplacements réels des rouleaux et chargement appliqué sur le modèle d’élé-ments ﬁnis de l’essai 4 . . . 147

(19)

3.21 Résultats obtenus à l’issue de la première phase du calage sur l’ensemble

des poutrelles dosées à 1% . . . 148

3.22 Calage du modèle sur l’essai de ﬂexion d’une poutrelle avec vf = 1% . . . . 149

3.23 Carte des déformations totales extrapolées aux nœuds avant, pendant et

après localisation . . . 150

3.24 Carte des déformations inélastiques extrapolées aux nœuds avant, pendant

et après localisation . . . 150

3.25 Carte de l’état du matériau aux nœuds avant, pendant et après localisation 150

3.26 Lois de comportement en traction du matériau sur les quatre niveaux avec

les valeurs issues du calage des poutrelles avec 1% de ﬁbres . . . 151

3.27 Déplacements réels des rouleaux et chargement appliqué sur le modèle

d’élé-ments ﬁnis de l’essai 6 . . . 152

3.28 Résultats obtenus à l’issue de la première phase du calage sur l’ensemble

des poutrelles dosées à 2% . . . 154

3.29 Calage du modèle sur l’essai de ﬂexion d’une poutrelle avec vf = 2% . . . . 155

3.32 Carte des endommagements micromécaniques dus à la phase écrouissante,

aux nœuds avant, pendant et après localisation . . . 156

3.34 Lois de comportement en traction du matériau sur les quatre niveaux avec

les valeurs issues du calage des poutrelles avec 2% de ﬁbres . . . 157

3.35 Eﬀet de groupe des ﬁbres dans les BFUP, (Pyo et al.,2015;Yoo et al.,2014;

Máca et al.,2014;Wille et al.,2014,2011) . . . 159

3.36 Analyse de sensibilité de la longueur caractéristique sur la simulation de

l’essai de ﬂexion quatre points de la poutrelle . . . 161

3.37 Courbes d’essais de ﬂexion quatre points des poutrelles armées avec un

BFUP dosé à 1% de ﬁbres (Duhamel-Labrecque,2016) . . . 162

3.38 Courbes d’essais de ﬂexion quatre points des poutrelles armées avec un

BFUP dosé à 2% de ﬁbres (Duhamel-Labrecque,2016) . . . 162

3.39 Comparaison des essais de ﬂexion quatre points des poutrelles armées avec

la simulation numérique . . . 164

3.40 Diﬀérence entre l’analyse inverse des poutrelles avec et sans armature . . . 165

3.41 Inﬂuence de la longueur caractéristique sur le comportement global de la

poutrelle simulée par éléments ﬁnis . . . 165

4.1 Programme expérimental . . . 171

4.2 Géométrie de la plaque triangulaire (dimensions en mm) . . . 172

4.3 Schéma de la conﬁguration de l’essai de ﬂexion par chargement central sur

le hourdis (dimension en mm) . . . 173

4.4 Schéma de la configuration de l’essai de flexion quatre points ou flexion des

nervures (dimension en mm) . . . 173

4.5 Schéma déﬁnissant la position des points d’application de la charge en

ﬂexion quatre points . . . 174

(20)

4.7 Maillage modélisant l’essai de ﬂexion quatre points avec les conditions aux

limites . . . 176

4.8 Représentation de la déformée de la structure, déformation visuellement

multipliée par 5 . . . 176

4.9 Éléments du maillage dont le comportement est adoucissant pour le

char-gement de ﬂexion des nervures (dimensionnement) . . . 176

4.10 Représentation des sections équivalentes des plaques triangulaires pour des

abscisses x quelconques . . . . 177

4.11 Maillage modélisant l’essai de ﬂexion centrée . . . 178

4.13 Éléments du maillage dont le comportement est adoucissant pour le

char-gement de ﬂexion centrée . . . 179

4.14 Schéma de lignes de rupture avec hourdis encastré aux nervures . . . 180

4.15 Photos du coulage de la plaque 2%-A-carac-01 (mode A) . . . 183

4.16 Trajectoire du point de coulage avec pauses indiquées aux points jaunes

(mode A) . . . 184

4.17 Trajectoire du point de coulage du triangle 1%-B-centrée-01, durée : environ

10 min (mode B) . . . 184

4.18 Photos du coulage du triangle 1%-B-centrée-01 (mode B) . . . 185

4.19 Courbes de température au cœur d’un cylindre 110 × 220 mm pendant le

traitement thermique . . . 186

4.20 Photos du montage dans la conﬁguration de la ﬂexion quatre points . . . . 188

4.21 Photos du montage dans la conﬁguration de la ﬂexion centrée . . . 188

4.22 Plan d’instrumentation des plaques triangulaires pour la ﬂexion quatre

points des nervures (dimension en mm) . . . 192

4.23 Photos de l’instrumentation dans la conﬁguration de la ﬂexion des nervures 193

4.24 Photos de l’instrumentation dans la conﬁguration de la ﬂexion centrée . . . 194

4.25 Schéma de l’instrumentation des plaques triangulaires pour la conﬁguration

en ﬂexion centrale du hourdis (dimension en mm) . . . 195

4.26 Schéma de principe de l’essai de ﬂexion quatre points sur prisme 70 × 70 ×

280 mm non entaillé . . . 198

4.27 Montage de l’essai de ﬂexion quatre points sur prisme 70 × 70 × 280 mm

non entaillé (dimension en mm) . . . 198

4.28 Résultats des essais de ﬂexion quatre points sur prismes 70 × 70 × 280 mm

non entaillés après traitement statistique . . . 201

4.29 Loi de comportement en traction obtenue par analyse inverse sur prismes

moulés : vf = 1% (gauche) et vf = 2% (droite) . . . 202

4.30 Relevé de ﬁssuration des prismes 70 × 70 × 280 mm moulés : vf = 1%

(gauche) et vf = 2% (droite) . . . 202

4.31 Sciage des prismes dans les plaques selon l’axe x (axe de bétonnage) et l’axe y 204

4.32 Essais de ﬂexion quatre points sur prismes prélevés à partir de plaques

minces coulées et instrumentation . . . 204

4.33 Courbes de ﬂexion quatre points des prismes sciés dans les plaques minces,

après traitement statistique . . . 206

4.34 Relevé de ﬁssures des prismes sciés dans les plaques minces (110×600×35 mm) 206

4.35 BFUP avec 1% de ﬁbres : Courbe moyenne obtenue à partir de l’analyse

inverse . . . 207

4.36 BFUP avec 2% de ﬁbres : courbe moyenne obtenue à partir de l’analyse

inverse . . . 208

4.37 Calibration de τ0 et Nc sur les analyses inverses des dallettes . . . 209

(21)

4.39 Essais de ﬂexion sur prismes sciés : photo du montage et de

l’instrumenta-tion mise en place . . . 211

4.40 Courbe moyenne de la ﬂexion quatre points des prismes sciés du triangle

1%-A-carac-01 . . . 211

4.41 Courbe moyenne des ﬂexions quatre points des prismes sciés du triangles

1%-B-carac-01 . . . 211

4.42 Courbe moyenne des ﬂexions quatre points des prismes sciés du triangle

1%-B-carac-02 . . . 212

2%-A-carac-01 . . . 212

2%-A-carac-02 . . . 212

4.45 Relevé de ﬁssures typiques des prismes sciés . . . 213

4.46 1%-A : Courbes de comportement en traction obtenues par analyse inverse

pour chaque inclinaison . . . 216

4.47 1%-B : Courbes de comportement en traction obtenues par analyse inverse

pour chaque inclinaison en base du triangle . . . 217

4.48 1%-B : courbes de comportement en traction obtenues par analyse inverse

pour chaque inclinaison en zone centrale . . . 217

4.49 2%-A, base du triangle : courbes de comportement en traction obtenues par

analyse inverse (cas multi microﬁssurant) . . . 217

4.50 2%-A, base du triangle : courbes de comportement en traction obtenues par

analyse inverse . . . 218

4.51 2%-A, zone centrale : courbes de comportement en traction pour chaque

inclinaison . . . 218

4.52 Diﬀérence de densité de ﬁbres entre la base du triangle et la zone centrale

des triangles 1%-B-carac-01 . . . 219

4.53 Résultats graphiques de la calibration des prismes sciés . . . 220

4.54 Essais de traction directs des barres d’armatures . . . 222

4.55 Courbes du comportement de chaque corps d’épreuve testé en ﬂexion quatre

points . . . 223

4.56 Zoom sur les courbes du comportement de chaque corps d’épreuve testé en

ﬂexion quatre points . . . 223

4.57 Détermination de la ﬂèche : prise en compte du tassement sur appuis

(ex-trapolation linéaire entre les appuis de la base et l’appui en pointe) . . . 224

4.58 Fissures de ruine de chaque triangle nervuré testé en ﬂexion quatre points . 225

4.59 Détermination de l’eﬀort de première ﬁssuration : courbes de chaque ex-tensomètre placé en face inférieure des nervures : 1%-B-4pts-02 (gauche)

2%-A-4pts-01 (droite) . . . 225

4.60 Représentation des diﬀérentes étapes de ﬁssuration sur les courbes de

com-portement (ﬂexion des nervures) . . . 226

4.61 Évolution de la ﬁssuration dans le hourdis : courbes de chaque extensomètre

placé en face inférieure du hourdis . . . 226

4.62 Exemple de ﬁssuration des nervures au cours du chargement, eﬀort appliqué

de 70 kN . . . 227

4.63 Courbes du comportement des corps d’épreuve testés en ﬂexion centrée . . 228

4.64 Courbes du comportement des corps d’épreuve testés en ﬂexion centrée

corrigés de la variation de l’épaisseur du hourdis . . . 229

4.65 Zoom sur les courbes corrigées du comportement des corps d’épreuve, testés

en ﬂexion centrée . . . 229

(22)

4.67 Exemple de rotation des nervures au niveau des appuis de la base des

tri-angles (corps d’épreuve 1%-A-centrée-02) . . . 230

4.68 Fissures de ruine pour chaque triangle nervuré testé en ﬂexion centrée . . . 231

4.69 Flexion centrée : représentation des diﬀérentes étapes de ﬁssuration sur les

courbes de comportement . . . 232

4.70 Exemple de mesures enregistrées par les capteurs de ﬂèche aux appuis de la base des triangles : corps d’épreuve 1%-A-centrée-02 (gauche) ;

position-nement des capteurs FAB1 et FAB2 (droite) . . . 233

4.71 Photo des ﬁssures de torsion vers la pointe du triangle 1%-A-centrée-01 . . 233

4.72 Exemple de détermination de l’eﬀort de localisation des lignes de rupture,

corps d’épreuve 1%-B-centrée-02 . . . 234

4.73 Exemple de mesures enregistrées par les capteurs de ﬂèche aux nervures : corps d’épreuve 2%-A-centrée-01 (gauche) ; positionnement des capteurs

FN1 et FN2 (droite) . . . 234

4.74 Profil de la fissure de ruine à la fin de l’essai, triangle 1%-B-centrée-01 . . . 235

4.75 Loi en « contrainte – déformation » obtenue par analyse inverse sur prismes

moulés 70 × 70 × 280 mm . . . 237

4.76 Flexion quatre points : comparaison des courbes « eﬀort – ﬂèche » expé-rimentales et issues de la modélisation analytique : vf = 1% (gauche) et

vf = 2% (droite) . . . 237

4.77 Flexion quatre points : comparaison des courbes « eﬀort – ﬂèche » expéri-mentales et issues de la modélisation analytique avec une loi « contrainte –

déformation » du BFUP corrigée : vf = 1% (gauche) vf = 2% (droite) . . . 238

4.78 Schéma de lignes de rupture choisi pour la modélisation analytique . . . 239

4.79 Travail des forces extérieures : décomposition des zones de chargement . . . 240

4.80 Courbes du comportement corrigées issues de la modélisation analytique

pour chaque corps d’épreuve . . . 240

4.81 Mise en évidence d’une faible dissymétrie entre les rouleaux proche de la

pointe et de la base du triangle . . . 242

4.82 Résultats de la simulation des triangles pour la ﬂexion des nervures avec

les valeurs du tableau 4.26 . . . 243

4.83 Carte des déformations inélastiques du triangle 1%-B . . . 244

4.84 Carte de l’endommagement micromécanique du triangle 2%-A . . . 245

4.85 Carte des déformations inélastiques du triangle 2%-A . . . 246

4.86 Comparaison des résultats de la méthode de calcul numérique et de la

mé-thode analytique . . . 246

4.87 Résultats de la simulation des triangles pour la ﬂexion des nervures en

considérant une orientation isotrope des ﬁbres dans les nervures . . . 247

4.88 Maillage utilisé pour la ﬂexion centrée . . . 248

4.89 Résultats de la simulation des triangles en ﬂexion centrée . . . 249

4.91 Carte des déformations totales du triangle 2%-A . . . 251

4.92 Carte des endommagements micromécaniques du triangle 2%-A . . . 251

4.95 Carte des déformations inélastiques du triangle 1%-B . . . 252

4.96 Résultats de la simulation des triangles 2%-A en ﬂexion centrée avec et sans

la prise en compte des prismes sciés à 45° et 135° dans la base du triangle . 253

D.1 Dispersion sur l’orientation des ﬁbres de l’échantillon 1% sans armature

(23)

haut_bas : µAz = 3.0°, µEl= 8.0°, σAz = 0.248, σEl= 0.485 et ζ = −1.1 . . 292

bas_haut : µAz = −4.4°, µEl = 3.6°, σAz = 0.175, σEl = 0.363 et ζ = −13.6 293

bas_bas : µAz = −1.8°, µEl= 0.4°, σAz = 0.160, σEl= 0.274 et ζ = −11.2 . 293

haut_haut : µAz = 0.6°, µEl= 1.1°, σAz = 0.312, σEl= 0.501 et ζ = −12.3 . 294

haut_bas : µAz = 2.8°, µEl= 8.1°, σAz = 0.320, σEl= 0.878 et ζ = 1.6 . . . 294

bas_haut : µAz = −2.4°, µEl = 6.8°, σAz = 0.209, σEl = 0.429 et ζ = 4.6 . . 295

bas_bas : µAz = −2.1°, µEl= 4.4°, σAz = 0.192, σEl= 0.291 et ζ = 20.1 . . 295

D.9 Dispersion sur l’orientation des ﬁbres de l’échantillon 1% avec armature

haut_haut : µAz = 0.6°, µEl= 6.8°, σAz = 0.328, σEl= 0.506 et ζ = −4.5 . 296

haut_bas : µAz = −4.0°, µEl= −9.1°, σAz = 0.400, σEl= 0.706 et ζ = −3.8 296

bas_haut : µAz = −2.6°, µEl = −2.9°, σAz = 0.269, σEl= 0.355 et ζ = 3.9 . 297

bas_bas : µAz = −0.7°, µEl= −0.2°, σAz = 0.230, σEl= 0.206 et ζ = −71.8 297

haut_bas : µAz = −3.6°, µEl= −3.7°, σAz = 0.326, σEl= 0.477 et ζ = 0.1 . 298

bas_haut : µAz = −2.9°, µEl = −3.9°, σAz = 0.240, σEl= 0.373 et ζ = −9.7 298

bas_bas : µAz = 2.9°, µEl= −8.5°, σAz = 0.380, σEl= 0.278 et ζ = −60.9 . 299

(24)

Notations

Paramètres

Lettres romaines : scalaires

a Demi-grand axe d’une ﬁssure ellipsoïdale [mm]

a0 Demi-grand axe initiale d’une ﬁssure ellipsoïdale [mm]

D Énergie dissipée [J]

Ef Module de Young des ﬁbres [MPa]

Em Module de Young de la matrice [MPa]

Fd Force de décollement d’une ﬁbre [N]

Fe Force d’extraction d’une ﬁbre [N]

f Fonction de chargement/déchargement [MPa]

fc Résistance en compression [MPa]

ft Résistance en traction ; limite élastique de la matrice

cimen-taire sans ﬁbres

[MPa]

gB Énergie dissipée lors de l’extraction des ﬁbres par unité de

surface

[mJ/mm2_]

G Taux de dissipation d’énergie du système étudié [mJ/mm2_]

GA Taux de dissipation d’énergie de la matrice [mJ/mm2]

GB Taux de dissipation d’énergie des ﬁbres [mJ/mm2]

Gc Énergie de rupture relative aux ﬁssures du volume élémentaire

représentatif

[mJ/mm2_]

Gc0 Énergie de rupture initiale relative aux ﬁssures du volume

élé-mentaire représentatif

[mJ/mm2_]

Gf Énergie spéciﬁque de rupture [mJ/mm2]

hc Hauteur de la bande de microﬁssures parallèles [mm]

kg Coeﬃcient d’amplitude de la loi de probabilité [-]

Klocal Coeﬃcient relatif à la dispersion sur l’orientation des ﬁbres au

niveau matériau

[-]

Kglobal Coeﬃcient relatif à la dispersion sur l’orientation des ﬁbres au

niveau de la structure

[-]

KI Coeﬃcient de concentration de contrainte (Mode I) [

√

MPa.mm]

L Longueur d’ancrage d’une ﬁbre [mm]

(25)

Lf Longueur des ﬁbres [mm]

ℓ Surface ﬁssurée [mm2]

nf Nombre de ﬁbres par unité de surface [/mm2]

Nc Nombre de ﬁssures par unité de volume [/mm3]

Nf Nombre de ﬁbres [-]

R Résistance à la propagation de la ﬁssure [MPa.mm]

Rǫ _{Résistance à la propagation de la ﬁssure en fonction de}

l’en-dommagement

[MPa]

vf Pourcentage volumique de ﬁbres dans la matrice [-]

We Travail extérieur [J]

z Distance entre le centre de la ﬁbre et la surface de la ﬁssure [mm] z0 Valeur de z après désolidarisation de la matrice, avant

l’extrac-tion de la ﬁbre

[mm]

Lettres grecques : scalaires

α Coeﬃcient d’orientation des ﬁbres [mm2_]

ǫ Paramètre d’endommagement [-]

ǫ0 Endommagement initial [-]

˜ε Déformation équivalente [-]

γf Densité d’énergie dissipée [mJ/mm3]

λ Coeﬃcient de Lamé ; élancement des ﬁbres [MPa ;-]

µ Coeﬃcient de Lamé [-]

ν Coeﬃcient de Poisson de la matrice cimentaire [-]

φf Diamètre des ﬁbres [mm]

ϕ Orientation de la fibre par rapport au plan de fissuration [rad] ϕ0 Angle entre l’orientation moyenne des fibres et la direction

prin-cipale de traction

[rad]

ψ Densité d’énergie libre de Helmholtz [J/m3]

Ψ Énergie libre de Helmholtz [J]

σc Contrainte de cohésion des ﬁbres (ou d’extraction des ﬁbres) [MPa]

σc,max Contrainte de cohésion maximale due aux ﬁbres [MPa]

σtr Contrainte limite de transition à l’endommagement scalaire [MPa]

σ_∞ Contrainte asymptotique de la transition à l’endommagement scalaire

[MPa]

τ Contrainte d’interface entre une ﬁbre et la matrice cimentaire [MPa] τ0 Contrainte d’interface initiale entre les ﬁbres et la matrice [MPa]

θ Coordonnée du repère sphérique [-]

ϑ Orientation des ﬁbres par rapport à la direction du chargement [rad]

w Ouverture de ﬁssure [mm]

w0 Ouverture de ﬁssure après désolidarisation de la matrice, avant

l’extraction de la ﬁbre

[mm]

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wcr _{Ouverture de ﬁssure critique} _[mm]

ω Paramètre d’endommagement relatif [-]

Ω Volume du système étudié [-]

∂Ω Surface du système étudié [-]

Lettres romaines gras : vecteurs

a Vecteur accélération [N/kg]

e Vecteur unitaire [-]

f Vecteur des forces volumiques [N/m3_]

t Vecteur des forces surfaciques [N/m2_]

n Vecteur orientation d’une ﬁssure [-]

u Vecteur déplacement [mm]

δu Vecteur déplacement virtuel [mm]

Lettres romaines et grecques gras : tenseur de 2e _ordre

Q Tenseur acoustique [MPa]

ε Tenseur des déformations microscopiques [-]

ˆ

ε Tenseur des déformations dans le repère principal [-] E Tenseur des déformations macroscopiques [-] σ Tenseur des contraintes microscopiques [MPa]

ˆ

σ Tenseur des contraintes dans le repère principal [MPa]

Σ Tenseur des contraintes macroscopiques [MPa]

δ Tenseur identité de 2e _{ordre (symbole de Kronecker)} _[-]

Lettres ajourées : tenseur de 4e ordre

A Tenseur de localisation [-]

C Tenseur de rigidité [MPa]

D Tenseur de souplesse [MPa−1]

I Tenseur identité de 4e _ordre _[-]

I_s Tenseur identité symétrique de 4e_ordre _[-]

J Tenseur de projection sur l’axe hydrostatique [-] K Tenseur de projection sur le plan déviatorique [-]

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Liste des abréviations

AFGC Association française de génie givil BFUP Bétons ﬁbrés à ultra-hautes performances BHP Béton hautes performances

BO Béton ordinaire

BPR Béton de poudres réactives BTHP Béton très hautes performances BUHP Béton à ultra-hautes performances BFM Béton de ﬁbres métalliques

FPZ Fracture process zone

RILEM Réunion internationale des laboratoires et experts des matériaux, systèmes de construction et ouvrages

UHPFRC Ultra high performance ﬁber reinforced concrete

Opérations

: Produit contracté de deux tenseurs · Produit matriciel ∧ Produit vectoriel ⊗ Produit tensoriel t _{Opérateur transposé}

Notations ingénieurs

σ= σ_ije_i_{⊗ e}_j =     σ11 σ12 σ13 σ12 σ22 σ23 σ13 σ23 σ33    → σ = h σ11, σ22, σ33, √ 2σ12, √ 2σ13, √ 2σ23 i

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Remerciements

En tout premier lieu, je tiens à remercier mes directeurs de thèse, Professeur Luca Sorellide l’Université Laval et Monsieur François Toutlemonde de l’Ifsttar, de m’avoir accordé leur conﬁance puis guidé tout au long de cette thèse. Je remercie, vivement, Monsieur Florent Baby, au titre de conseiller d’études de l’Ifsttar, pour son implication dans ce projet et pour les nombreuses et passionnantes discussions. Je remercie Josée Bastien, codirectrice de thèse à l’Université Laval pour son soutien et ses conseils avisés. Je remercie également feu Gilles Chanvillard, Dominique Corvez et Laurent Barcelo d’avoir facilité le lancement de la thèse et Sébastien Bernardi pour avoir suivi ce projet de recherche au sein de LafargeHolcim.

Je tiens à remercier le Professeur Eugen Brühwiler d’avoir accepté de présider le jury de thèse, les Professeurs Farid Benboudjema, Marco di Prisco et David Conciatori d’avoir accepté de faire partie du jury, de m’avoir fait l’honneur de lire ce mémoire ainsi que de participer à la soutenance de cette thèse.

Je remercie pour leur accueil, les membres du département « Matériaux et structures (MAST) » de l’Ifsttar, notamment Monsieur Thierry Kretz, directeur du département, Monsieur Bruno Godart, directeur adjoint, Monsieur Jean-Michel Torrenti, directeur adjoint recherche et développement ainsi que Madame Valérie Fournier, responsable administrative. Je remercie également Monsieur Pierre Marchand de m’avoir accueilli au sein de l’unité « Expérimentation et modélisation des matériaux et des structures (EMMS) », d’avoir validé puis suivi le bon déroulement des essais. Je n’oublie pas tous les techniciens qui m’ont aidé pour la préparation et l’instrumentation des éprouvettes de caractérisation et des corps d’épreuve : Sandrine Ramanich, Jean-Claude Renaud, Marc Estivin, Joël Billo, Frank Guirado et Lénaic Baron. Je remercie aussi Amaury Herrera pour les services qu’il m’a rendus et Minh Orcesi pour l’aide administrative et l’organisation de la soutenance.

Je remercie Madame Cécile Blanchemanche, responsable administrative de l’école doctorale SIE pour sa disponibilité et son eﬃcacité. Je remercie Monsieur Samuel Meu-lenyzerd’avoir consacré son temps aux analyses tomographiques. Je remercie également Monsieur Loic Gasst de m’avoir accueilli à Bonna Sabla – Consolis pour suivre le coulage des corps d’épreuve.

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Duhamel-Labrecque ainsi que l’équipe technique du CRIB pour avoir réalisé de nombreux essais de ﬂexion et de m’avoir permis d’exploiter et d’analyser les résultats produits. Je remercie l’équipe administrative du département de génie civil pour leur service, à savoir, Mesdames Kathy Champagne, Karine Fortin, Marlyne Fergusson et Lyne Dupuis. Je remercie également tous mes collègues de bureau : Daniel, Nicolas, Alireza, Tho et Chi.

Je remercie pour les mêmes raisons tous les collègues de la passerelle de l’Ifsttar que je n’ai pas encore nommés et sans qui les cafés et les repas n’auraient pas été aussi agréables : Anne-Sophie, Yannick, Leila, Luca, Nissrine, Yuichiro, Badreddine, Astrid, Benjamin, Mira, Cédric, Adam, Jean-François, Nina, Othman, Yolaine, Renaud-Pierre, André, Franziska, Olfa, Cyril, Claude, Marc et Véronique.

Je remercie très chaleureusement mes amis proches qui ont su rendre ces dernières années divines : Anne & Fabrice, Clément, Cristina & Didier, Clémence & Guillaume, Isabelle & Baptiste, Amélie & Mathieu, Jérémy, Nicolas, Valérie & Vincent, Adam et Sylvain. Enﬁn, je remercie aﬀectueusement mes parents, mes quatre grands-parents, mon frère, ma tante, mon oncle, mes quatre cousines et mon cousin par alliance ; vous êtes toujours accueillants et c’est toujours un plaisir d’être réunis.

Vous m’avez tous, sans exception, encouragé, directement ou indirectement, sérieuse-ment ou ironiquesérieuse-ment, avec véhémence ou retenue. Merci.

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Introduction

Contexte général

Les Bétons fibrés à ultra-hautes performances (BFUP) sont caractérisés par une ré-sistance à la compression élevée, supérieure à 130 MPa (NF P18-710, 2016) et par une résistance en traction post-fissuration importante permettant d’obtenir un comporte-ment ductile, pseudo-ductile en traction ou au minimum en flexion. L’origine des BFUP date des années 1990 avec la mise au point des Bétons de poudres réactives (BPR) (Richard et Cheyrezy, 1995). Les BPR ont été conçus en cherchant à améliorer l’homo-généité, la compacité, la microstructure et la ductilité des bétons à hautes performances. Grâce à ces améliorations, les BFUP se caractérisent par une très faible porosité et une résistance en compression de cinq à dix fois plus grande que les bétons ordinaires. La présence des fibres métalliques permet d’améliorer la résistance à la traction du maté-riau, notamment vis-à-vis de la ductilité recherchée à l’échelle de l’élément de structure. Avec un fort dosage en fibres métalliques, ces BFUP permettent, souvent, de s’affranchir des armatures forfaitaires ou secondaires, supprimant ainsi de nombreuses contraintes de conception et ouvrant un éventail important de géométries admissibles à la construction. Les propriétés mécaniques des BFUP sont particulièrement intéressantes pour la réfec-tion des structures (Brühwiler et Denarié,2013), la construction d’ouvrages de génie civil sophistiqués, la réalisation de composants architecturaux optimisés pour les bâtiments et pour des structures particulières telles que les caissons de confinement de déchets nucléaires (Toutlemonde et Resplendino,2013).

Contrairement aux bétons sans fibres, il n’est pas a priori possible de considérer les BFUP comme un matériau homogène ou isotrope à l’échelle de la structure. En effet, pendant le coulage, les fibres peuvent s’orienter dans des directions pertinentes pour re-prendre les efforts de traction, ou au contraire, se comporter comme des défauts de la microstructure et aider à la propagation des fissures ; ce qui est déjà le cas pour les Bétons de fibres métalliques (BFM) « classiques » pour lesquels a été introduit le concept de facteur d’orientation (fib MC, 2010). Les travaux de Bernier et Behloul (1996), Bayard

(2003) etBastien-Masse et al. (2016), mettent en évidence l’influence de l’orientation des fibres sur le comportement du matériau et de la structure. En conséquence, les recomman-dations de conception de structures en BFUP (AFGC,2013) ainsi que la nouvelle norme de conception des structures en BFUP (NF P18-710,2016) préconisent l’utilisation d’une loi de comportement du BFUP prenant en compte l’orientation des fibres dans la

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struc-ture projetée. Cette prise en compte quantitative est obtenue à partir d’essais de ﬂexion sur prismes sciés à l’intérieur d’un élément témoin représentatif (NF P18-470,2016). Ce protocole permet de dimensionner la future structure de manière sûre, il est toutefois relativement lourd à mettre en place en particulier pour des éléments de petites séries (Simon et al.,2013).

La mise au point d’un outil numérique, permettant de prendre en compte l’impact de l’orientation réelle des fibres dans la structure, peut représenter une alternative intéres-sante, et faciliter l’optimisation rationnelle de la méthode de coulage. Pour reproduire les spécificités mécaniques des BFUP, la loi de comportement non linéaire choisie devra à la fois représenter une phase de comportement écrouissante, une phase adoucissante, tenir explicitement compte d’une distribution d’orientation des fibres et être indépendante de la dimension du maillage. Si la loi de comportement pouvait effectivement prendre en compte quantitativement les effets de la teneur et de l’orientation des fibres, il ne serait plus nécessaire de redéfinir une loi de comportement pour chaque formulation différente de BFUP utilisée, ni dans chaque zone présentant une singularité géométrique, ni par conséquent à chaque nouvelle conception de structure. Prises séparément, ces spécificités ont déjà été abordées dans la littérature. En revanche, il est original de les réunir au sein d’une seule loi de comportement.

Objectifs de la thèse

L’objectif de la thèse consiste donc à concevoir et valider un outil numérique (par éléments finis) prédictif du comportement en traction des BFUP prenant en compte l’in-fluence de la quantité et de l’orientation des fibres. Cet outil doit permettre de mieux appréhender la fiabilité et la ductilité globale de structures ou d’éléments de structures en BFUP.

Dans un premier temps, il s’agit donc de comprendre le mécanisme d’extraction des ﬁbres au sein de la matrice cimentaire et de le reproduire numériquement. Le dosage et l’orientation des ﬁbres vis-à-vis de la direction principale de sollicitation doivent être consi-dérés en tout point de la structure. Pour cela, une approche intéressante est de considérer le comportement mécanique macroscopique du matériau à partir de sa microstructure. La ductilité étant une des caractéristiques principales des BFUP, il est fondamental que le comportement adoucissant soit indépendant de la dimension du maillage pour pouvoir déterminer la ductilité de manière objective. Et compte tenu des interrogations sur le ca-ractère prometteur d’éléments de structure nervurés en BFUP armé — tels que ceux de la Galerie Enrico Navarra (Ricciotti et al.,2011) ou du Stade Jean Bouin (Mazzacane et al.,

2013) —, il est important de pouvoir associer au BFUP la représentation explicite d’ar-matures et de pouvoir quantiﬁer la ductilité qu’elles confèrent.

Dans un deuxième temps, une campagne expérimentale doit permettre de caler la loi de comportement, pour un BFUP donné, sur celui d’une structure simple (poutres en ﬂexion quatre points) dans laquelle les paramètres concernant la dispersion et

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l’orien-une deuxième campagne expérimentale doit permettre de vérifier les capacités du modèle à reproduire le comportement d’éléments relativement complexes (plaques triangulaires ner-vurées et armées) et présentant un intérêt industriel. Différentes modalités de fabrication, différents dosages en fibres et différentes configurations d’essai sont testés. Pour contrôler la répartition et l’orientation des fibres, des essais mécaniques sur prismes sciés sont réa-lisés. Le comportement structurel global et la ductilité sont évalués expérimentalement et confrontés aux prévisions du modèle.

Thèse en cotutelle

La présente thèse a été préparée dans le cadre d’une cotutelle entre l’Université Laval, Québec (QC), Canada et l’Université Paris-Est, Paris, France, respectivement au Centre

de recherche sur les infrastructures en béton (CRIB) et à l’Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux (Ifsttar). La thèse a

com-mencé au CRIB sous la direction de Luca Sorelli et Josée Bastien et s’est poursuivie à l’Ifsttar sous la direction de François Toutlemonde et l’encadrement de Florent Baby.

Le premier programme expérimental a été eﬀectué par Youri Duhamel-Labrecque, étudiant en maîtrise de génie civil sous la direction de Luca Sorelli. Quant au second programme expérimental, les corps d’épreuve ont été fabriqués par Consolis – Bonna

Sabla à Vendargues, puis ont été testés sur la nouvelle plateforme d’essais de l’Ifsttar à

Marne-la-Vallée.

Le projet est en partie ﬁnancé par LafargeHolcim qui a facilité le lancement de la thèse et les réalisations expérimentales avec notamment l’implication de Gilles Chanvillard†_,

Dominique Corvez et Laurent Barcelo, puis de Sébastien Bernardi et Julien Verne.

Structure du document

Le mémoire de thèse comprend quatre chapitres :

— Dans le chapitre 1, une analyse bibliographique rappelle les informations de base concernant les BFUP en se concentrant sur les ﬁbres, leur orientation et leur im-pact sur le comportement en traction de ces matériaux. Un ensemble de modèles développés pour appréhender le comportement en traction des bétons sont ensuite décrits en mettant en évidence leurs avantages et leurs inconvénients vis-à-vis de leur application aux BFUP.

— Le chapitre 2 présente la construction théorique du modèle micromécanique déve-loppé pour reproduire le comportement des BFUP, ainsi que son implémentation dans le logiciel d’éléments ﬁnis Code_Aster (www.code-aster.org). Une analyse de sensibilité des paramètres du modèle est eﬀectuée et une première validation du modèle est présentée sur des résultats issus de la littérature.

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— Le chapitre3 concerne le calage des paramètres du modèle sur les essais de ﬂexion quatre points issus du programme expérimental mené au CRIB. L’analyse et l’in-tégration dans le modèle numérique des résultats issues de la tomographie y sont documentées. Le calage est ensuite évalué sur des poutrelles semblables avec présence d’une barre d’armature.

— Le chapitre 4 étudie la capacité du modèle à reproduire le comportement d’une structure complexe à savoir, une plaque triangulaire nervurée et armée dans deux configurations de chargement, avec deux dosages en fibres et deux modes de coulage différents.

— La conclusion permet de résumer les points importants de ce travail avec des pro-positions de perspectives de recherche et d’application de ce travail.