Modèle micromécanique écrouissant

15 Déformations [-] C on tr ai n te s d e tr ac ti on [M P a] Courbe expérimentale modèle à deux phases

(b)

Figure 1.23 – Modèle à deux phases : (a) schéma représentatif 1D, (b) comparaison avec les résultats expérimentaux (Chuang et Ulm,2002)

fragile modélisant une perte totale de rigidité quand la limite élastique (ft) est atteinte. Le comportement des fibres est élastoplastique et est activé quand la limite élastique (fy) est atteinte. Ce comportement est identifié, dans le schéma, par un dispositif de frotte-ment en série avec un ressort équivalent à la rigidité (C_f). Ces deux phénomènes agissent parallèlement et sont couplés par un ressort de rigidité (M), qui relie les déformations irréversibles de la matrice et des fibres. Six paramètres de signification physique doivent donc être identifiés à partir d’essais expérimentaux pour modéliser le comportement ma-croscopique du matériau. Le modèle est simple et pertinent, il capture le comportement élastique et écrouissant du matériau en traction (voir figure 1.23(b)), mais ne modélise pas le comportement adoucissant et a priori pas sa ductilité. À tout le moins, il faut déterminer la déformation ultime, ce qui n’est pas sans poser une difficulté de calibrage (NF P18-710,2016, annexe V) et Sorelli et al. (2007b). Ce modèle n’est pas conçu pour prendre en compte l’orientation des fibres : il s’agit d’un modèle isotrope.

1.6.5.5 Modèle micromécanique écrouissant

Le modèle développé par Sorelli et al. (2007a) combine la micromécanique à la mé-canique de la rupture pour modéliser le comportement des BFUP. Le modèle prend en compte l’orientation des fibres vis-à-vis des directions principales de traction, en se basant sur le modèle deLin et Li(1997), mais en utilisant une loi de probabilité normale, voir fi-gure1.24. L’utilisation du schéma deMori et Tanaka(1973) permet de reproduire la phase écrouissante du matériau par dégradation de la rigidité en reprenant l’approche proposée parDormieux et al. (2006). L’originalité réside dans le fait que les fibres sont considérées comme une force qui s’oppose à l’ouverture des inclusions (microfissures) ce qui permet d’appliquer le principe de superposition et donc d’additionner les coefficients de concen-tration (KI). Cependant, le modèle ne peut pas prédire la localisation des déformations

B C C A B B B A C C 12 cm 12 cm 50 cm 48 cm 12 0 cm Injection Éprouvette (3 types) 45 cylindre A 50 cylindre B 50 cylindre C (a) 0 1 2 3 4 5 ·10−3 0 5 10 15 20 Déformations [-] C on tr ai n te s [M P a] specimens C Modèle θ0= 0; k = 30 (b)

Figure 1.24 – (a) Plan d’extraction des spécimens d’un conteneur de déchets nucléaires en BFUP avec indication de la direction du coulage, (Toutlemonde et al.,1999) ; (b) pré-diction numérique des essais de traction pour une orientation favorable B, (Sorelli et al.,

2007a)

et ne dispose pas de phase adoucissante en traction.

Comme nous le verrons dans le chapitre2, le modèle développé dans cette thèse reprend une partie de l’approche adoptée par Sorelli et al. (2007a).

1.6.6 Modèles de fissures diffuses

Les modèles de fissures diffuses sont basés sur la décomposition de la déformation totale en deux parties (Jirásek,2012). La première correspond à la déformation du matériau non fissuré (généralement supposé linéaire élastique) et la deuxième partie correspond à la contribution de la fissuration :

ε= ε_e+ ε_c (1.43)

σ= Ce : εe. (1.44)

La déformation inélastique (ε_c) représente une déformation additionnelle due à l’ouverture de fissure. Pour simplifier la modélisation, on suppose que la fissure est parfaitement plane de normale n où n, m et l définissent le repère local de la fissure. On définit alors le vecteur de déformation inélastique dans ce repère par :

e_c = ε^c_nnn + γc

nmm + γc

nll. (1.45)

Ainsi, en combinant les équations (1.43), (1.44) et (1.45), on obtient la loi en contrainte et déformation :

σ = C_e: (ε− T ec) , (1.46)

où T est une matrice de passage du repère local de la fissure au repère global. La dé-formation inélastique est activée lorsque le matériau atteint la résistance. La surface de

rupture dans le repère des contraintes principales est équivalente à un critère de Rankine. Le critère doit également préciser la direction du plan de fissuration : celui de Rankine stipule que le plan de fissuration est normal à la direction principale de traction associée à la valeur propre maximale. Deux approches sont alors disponibles : le modèle à fissures diffuses fixes et le modèle à fissures diffuses tournantes.

Dans le modèle à fissures diffuses fixes, le plan de fissuration est figé dès l’initiation de la fissure. Si les directions principales tournent au cours du chargement, alors le plan de fissuration doit transmettre des contraintes de cisaillement produisant le glissement des lèvres de la fissure représenté par les déformations de cisaillement. Des lois d’adoucisse-ment doivent être formulées pour relier les composantes du tenseur des déformations au tenseur des contraintes. Concernant les contraintes de cisaillement, il est possible de les relier aux déformations de cisaillement par l’intermédiaire du module de cisaillement élas-tique et d’un facteur de dégradation. Il est nécessaire que ce facteur de dégradation soit variable si l’on souhaite éviter le transfert de contraintes résiduelles alors que le matériau est très endommagé. D’un point de vue physique, le modèle reproduit le phénomène de fis-suration par l’intermédiaire d’une seule fissure, bien que la fissure représente un ensemble de microfissures dans un volume élémentaire représentatif. Si les résultats expérimentaux que l’on souhaite reproduire avec ce modèle contiennent des fissures d’orientations diffé-rentes, il est possible d’introduire plusieurs déformations inélastiques, chacune dans un plan avec une orientation particulière.

Dans le modèle à fissures diffuses tournantes, le plan de fissuration est continuellement normal à la direction de traction principale associée à la valeur propre maximale. En consé-quence, les termes de cisaillement sont toujours nuls. Dans ce cas-ci, le modèle reproduit la création de multiples fissures, chacune d’une orientation différente, en réajustant l’orienta-tion globale d’une seule fissure représentative. Il est admissible de modéliser jusqu’à trois fissures orthogonales associées aux trois directions principales (en modéliser davantage n’aurait pas de sens physique). Seulement une à trois lois de chargement/déchargement (toujours avec les conditions de Kuhn-Tucker) doivent être définies pour contrôler l’évo-lution de la fissuration. Le modèle est donc très efficace numériquement puisque dans le cas le plus simple, seule une équation scalaire non linéaire doit être résolue.

Les modèles à fissures diffuses décrits ci-dessus sont applicables dans de nombreuses configurations et pour différents types de matériaux, notamment les matériaux fibrés :

— simulation de panneaux en mortier renforcé de fibres naturelles par un modèle à fissures diffuses fixes (Barros et al.,2016) ;

— simulation de dalles en béton de fibres synthétiques par un modèle à fissures diffuses tournantes (Pujadas et al.,2014).

— simulation du cisaillement d’un matériau cimentaire à hautes performances renforcé de fibres métalliques par deux modèles à fissures diffuses dont l’un est à fissures fixes et l’autre à fissures tournantes (Hung et al.,2013).