Correction énergétique

Pour des cas plus complexes, Oliver(1989) propose de meilleures expressions pour la longueur caractéristique.

Puisque l’énergie de rupture (Gf) est la constante de référence du matériau et puisque la largeur de la bande où se concentrent les déformations (h_c) dépend du maillage alors, d’après l’équation (1.47), la densité d’énergie dissipée (γ_f) doit également être fonction du maillage ; ce qui revient à modifier la loi de comportement. La correction porte uniquement sur la partie adoucissante de la loi en contrainte – déformation, car cet effet de dépendance n’apparaît que dans ce domaine. La correction consiste donc à multiplier la déformation inélastique (εf) par une longueur caractéristique (Lch), elle-même fonction de la dimension du maillage (h(e)). La loi est alors modifiée et par conséquent l’aire sous la courbe (γ_f) aussi : ainsi, l’énergie spécifique de rupture (G_f) reste constante.

σ ε ε0 γ_f⁽³⁾ γ_f⁽²⁾ γ⁽¹⁾_f

Figure 1.27 – Correction de loi de comportement élasto-adoucissant pour différentes valeurs de γ(e)

f

Dans le cadre d’un essai de traction directe sur un béton ordinaire avec un com-portement élasto-adoucissant, la loi de comcom-portement est modifiée tel qu’indiqué sur la figure 1.27 (en multipliant εf par Lch). Pour former la fissure de section A et de hauteur

h_c, la courbe contrainte-déformation doit dépendre de la taille des éléments (h(e)) de telle sorte que :

h^(e)γ_f^(e)= h_cγ_f = G_f ⇒ γ_f^(e)= ^Gf

h(e) (1.50)

où γ(e)

f est la densité d’énergie dissipée de l’élément, définie par les équations (1.48) et (1.49). La section fissurée A n’intervient pas dans le calcul de la correction énergé-tique.

Cette technique est en général utilisée dans le cas de structures simples modélisées par un maillage très régulier (Saetta et al., 1999). L’orientation des fissures doit être connue pour pouvoir critiquer les résultats, car s’ils ne sont plus dépendants de la taille du maillage, ils risquent d’être dépendants de son orientation (Bažant et Lin, 1988). La méthode est très largement répandue, c’est notamment sur ce même principe que

Benboudjema et Torrenti (2008) corrigent la dépendance au maillage.

1.6.9 Modèles non locaux

Comme nous venons de le voir, les méthodes de régularisation ne permettent pas de corriger la dépendance des résultats vis-à-vis de l’orientation du maillage. C’est pourquoi d’autres types de modèles ont été développés, notamment les modèles non locaux suivants :

— les modèles non locaux sous la forme intégrale ; — les modèles à gradient de déformation ;

— les modèles avec effets de vitesse (viscosité).

Bažant et Jirásek(2002) définissent le modèle non local sous la forme intégrale par un modèle dont la loi de comportement du matériau, en un point du milieu continu, dépend des variables d’état des points voisins affectés d’une pondération. Ainsi, le modèle ne vérifie plus le principe d’action local de la mécanique du milieu continu. Quant au modèle à gradient de déformation non local, qui respecte le principe précédent, celui-ci considère

le champ des points voisins infiniment près du point matériau étudié et enrichit la loi locale par des termes de premier ou de deuxième ordre des variables d’état.

di Prisco et Iorio(2000) ont notamment fait usage du modèle non local sous la forme intégrale pour reproduire le comportement d’un élément de toiture, il s’agit d’une plaque mince nervurée en BFM et précontrainte. Bodé et al. (1997) ont également utilisé un modèle non local pour modéliser le comportement en flexion trois points d’un BFM.

1.6.10 Modèles d’éléments finis enrichis

Un dernier type de modèle permettant de s’affranchir du problème de régularisation du maillage concerne les modèles d’éléments finis enrichis. La cinématique du milieu continu de ces éléments est enrichie d’un terme permettant l’apparition de discontinui-tés des champs de déplacement et de déformation. Des éléments finis classiques peuvent donc prendre en compte intrinsèquement la présence d’une fissure et dissiper une quantité d’énergie correcte.

Dans la littérature, on trouve de nombreux éléments finis capables de produire une dis-continuité ; la plus connue est la méthode des éléments finis étendus (X-FEM), notamment détaillée parMoës et al.(1999). Il s’agit d’un cas particulier de la méthode de partition de l’unité appliquée à la mécanique de la rupture linéaire élastique. Dans ce cas, les fonctions de forme prennent en compte le saut de déplacement au niveau des nœuds de l’élément par une fonction échelon (Heavyside). Avec cette méthode, il est inutile de remailler finement autour de la pointe de la fissure ; il n’est donc plus nécessaire de connaître la trajectoire de la fissure a priori. Une fois la fissure formée dans l’élément, il n’y a pas de transfert de contrainte résiduel et les résultats sont indépendants de la dimension du maillage comme peuvent l’être les éléments finis classiques.

Cette technique est assez récente et particulièrement utile dans la formulation d’ana-lyses multiphysiques (Jirásek,2012). Dans le cadre d’une forte multifissuration des BFUP, cette méthode ne semble pas la plus adaptée.

Brighenti et Scorza (2012) ont modélisé le comportement d’un BFM à partir d’un modèle d’éléments finis enrichis à forte discontinuité au niveau des éléments (E-FEM). L’orientation des fibres est prise en compte par l’intermédiaire d’une loi de probabilité binormale.

1.7 Conclusion

1.7.1 Discussion issue de l’état de l’art sur les modèles non linéaires

L’étude bibliographique du comportement des BFUP a mis en évidence l’importance de l’effet de l’orientation des fibres sur leur comportement en traction et en flexion. L’im-pact est tel que la norme NF P18-710(2016), cohérente avec les recommandationsAFGC

(2013) et le fib MC (2010) insiste sur la prise en compte de cette orientation lors de la conception des structures en complément des modèles de comportement spécifiquement

adaptés aux BFUP. Dès lors, pour les calculs avancés, il est a fortiori nécessaire d’avoir à disposition un outil numérique prédictif du comportement en traction des BFUP pre-nant en compte l’influence de la dispersion et de l’orientation des fibres. L’objectif est de pouvoir dimensionner des structures ou éléments de structure armés ou non, de géométrie simple ou complexe où la ductilité doit être justifiée.

Comme point de départ, les modèles phénoménologiques ont été évoqués. Les mo-dèles de plasticité sont les plus connus et robustes, mais à l’origine ils sont conçus pour les matériaux métalliques. Des critères spécifiques ont cependant été développés pour re-présenter le comportement des matériaux cimentaires. D’autres modèles ont été couplés avec les modèles d’endommagement pour reproduire la perte de rigidité des bétons et retranscrire des déchargements locaux ou globaux plus réalistes. Ces modèles sont très pertinents pour modéliser le comportement global des structures en BFUP. En revanche, pour modéliser l’effet de l’orientation des fibres, il faudrait rendre leurs paramètres ma-tériaux dépendant de l’orientation des fibres, par une loi empirique tel qu’effectué par

Delsol et Charron (2013). Ceci demanderait alors, de nombreux essais de caractérisation pour chaque formulation de BFUP.

Les modèles d’endommagement anisotrope, dont le modèle à fissures diffuses est un cas particulier, ont l’avantage d’être assez facilement programmables pourvu qu’une loi d’extraction des fibres soit définie. Ils sont efficaces numériquement, mais très sensibles à la dimension du maillage du fait de la localisation des déformations.

L’intérêt majeur de tous les modèles micromécaniques présentés concerne les para-mètres matériaux qui sont des parapara-mètres physiques, identifiables explicitement. L’orien-tation des fibres peut être renseignée par l’intermédiaire du coefficient d’orienL’orien-tation des fibres ou d’une loi de probabilité. La densité, la géométrie des fibres et la contrainte d’in-terface sont également d’autres paramètres facilement accessibles.

1.7.2 Intérêts d’une approche couplée

Pour prendre en compte la dispersion et l’orientation des fibres, un modèle micromé-canique semble adéquat. Ce genre de modèle permet de reproduire, par l’intermédiaire d’une loi de probabilité, des orientations globales théoriques (effet de parois, orientation plane ou isotrope) ou bien renseignées sur la base d’essais par une méthode de détection de l’orientation des fibres. Ainsi, le concepteur pourrait également simuler différentes mé-thodes de mise en œuvre et sélectionner la plus pertinente vis-à-vis du fonctionnement mécanique souhaité de la structure.

À partir de la modélisation de l’extraction des fibres, il s’avère possible de déterminer une loi en contrainte – ouverture de fissure et de l’intégrer dans un modèle de fissures diffuses. Dans ce cas, le modèle pourra modéliser le comportement adoucissant du maté-riau. Cette loi de matériau devra cependant être régularisée puisque ce type de modèle est fonction de la dimension du maillage. Enfin, pour reproduire la phase écrouissante, un modèle d’endommagement peut raisonnablement remplir cette fonction par

dégrada-tion progressive de la rigidité du matériau dont l’évoludégrada-tion des variables internes serait contrôlée par une loi de chargement à définir.

L’état de l’art ainsi passé en revue oriente donc notre travail de développement vers la démarche suivante :

— établissement d’un modèle micromécanique basé sur la mécanique de l’endommage-ment ;

— intégrant une description de la contribution post-fissuration des fibres, paramétrée par une prise en compte explicite de leur orientation et répartition sous forme sta-tistique ;

— tenant compte de l’anisotropie de l’endommagement (fissuration) : — et veillant à l’indépendance des résultats vis-à-vis du maillage.

Chapitre 2

Modélisation du comportement