L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚15 D´ eterminants
Exercice 202 : Calculer le d´eterminant des matrices suivantes et en d´eduire si elles sont ou non inversibles.
A=
1 2 1
2 3 −1
−2 2 1
B =
1 1 2
2 2 4
3 3 −1
C=
2 −1 2
2 1 1
−1 2 1
.
Exercice 203 : Soitm∈R. On d´efinit la matriceAmpar :
Am=
m 1 2
−1 m+ 1 3
2m 2 1−m
.
1. Calculer le d´eterminant deAm.
2. D´eterminer l’ensemble desm∈Rtels que la matriceAmest inversible.
Exercice 204 : Soient z1, z2, z3∈C. On d´efinit la matriceV(z1, z2, z3) par :
V(z1, z2, z3) =
1 z1 z12 1 z2 z22 1 z3 z32
.
1. Donner une expression du d´eterminant deV(z1, z2, z3) sous la formela plus factoris´ee possible. 2. En d´eduire que V(z1, z2, z3) est inversible si et seulement si les nombres complexesz1, z2, z3 sont deux `a
deux distincts.
Exercice 205 : Donner deux matricesA, B∈ M3(R) telles que : det(A+B)6= det(A) + det(B).
Exercice 206 : SoitAla matrice d´efinie par :
A=1 2
7 −3 −1
3 1 −1
2 −2 2
.
D´eterminer l’ensemble des λ∈Rtels que la matriceA−λI3 n’est pas inversible.
Exercice 207 : On note B= (1, X, X2) la base canonique deR2[X] etf l’application d´efinie par : f:R2[X]→R2[X], P 7→P+P0.
1. D´emontrer que l’applicationf est lin´eaire.
2. Calculer Mat(f,B), puis det(Mat(f,B)).
3. L’applicationf est-elle un isomorphisme ?
Exercice 208 : Soit (−→ i ,−→
j) une base du plan. Pour toutα∈R, on pose :
−→ uα=α−→
i −6−→
j et −v→α= 2−→ i −2α−→
j . D´eterminer l’ensemble des α∈Rtels que la famille (−u→α,−v→α) est une base du plan.
1
Exercice 209 : Soit (O,−→ i ,−→
j) un rep`ere du plan. On note D la droite passant par A(−1,3) et dirig´ee par
−
→u(1,2).
1. SoitM un point du plan. Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant sur le vecteur−−→
AM pour que le pointM appartienne `a la droite D.
2. En d´eduire que le pointM du plan de coordonn´ees (x, y)∈R2appartient `a la droiteDsi et seulement si det
1 x+ 1 2 y−3
= 0.
3. Donner alors une ´equation cart´esienne de la droite D.
Exercice 210 : Soit (O,−→ i ,−→
j) un rep`ere du plan. S’inspirer de l’exercice pr´ec´edent pour donner une ´equation cart´esienne de la droite passant parB(0,−1) et dirig´ee par−→v(3,1).
Exercice 211 : Soit (−→ i ,−→
j ,−→
k) une base de l’espace et soient
−→ u1=−→
i −2−→ j +−→
k ; −→u2= 3−→ i +−→
j −2−→
k ; −→u3=−→ i + 5−→
j −4−→ k .
Les vecteurs−→u1,−→u2,−→u3 sont-ils coplanaires ?
Exercice 212 : Soient P,Qet Rles polynˆomes d´efinis par :
P =X2+ 2X+ 1 ; Q=X2−2X+ 1 ; R=X2−1.
1. Montrer que la famille (P, Q, R) d’´el´ements deR2[X] est libre.
2. Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 213 : A tout (α, β)` ∈R2, on associe les vecteurs deR3 : uα=
4 1 α
; uβ=
β 3 1
.
1. D´emontrer qu’il existe un unique couple (α0, β0)∈R2 tel que la famille (uα0, uβ0) est li´ee.
2. ´Ecrire uα0 comme un multiple deuβ0.
Exercice 214 : Soit (O,−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere de l’espace.
1. Montrer que les vecteurs−u→1(1,2,3) et−u→2(2,1,1) ne sont pas colin´eaires.
2. SoitA(1,1,−1). On noteP le plan passant parA et dirig´e par les vecteurs−→u1et −→u2.
(a) SoitM un point de l’espace. Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant sur le vecteur−−→
AM pour que le pointM appartienne au plan P.
(b) En d´eduire que le point M de l’espace de coordonn´ees (x, y, z) ∈ R3 appartient au plan P si et seulement si det
1 2 x−1 2 1 y−1 3 1 z+ 1
= 0.
(c) Donner alors une ´equation cart´esienne du planP .
Exercice 215 : Soit (O,−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere de l’espace.
1. Montrer que les vecteurs−→v1(−2,0,1) et−→v2(1,3,−5) ne sont pas colin´eaires.
2. S’inspirer de l’exercice pr´ec´edent pour donner une ´equation cart´esienne du plan passant par B(0,2,−2) et dirig´e par les vecteurs−→v1 et−→v2.
F Exercice 216 : A tout` α∈C, on associe les polynˆomesPαet Qαd´efinis par : Pα=αX+ 1 ; Qα=α−X.
1. Montrer que siα∈R, alors (P, Q) est une famille libre deR1[X]. Que peut-on en d´eduire ? 2. La famille (P, Q) est-elle une famille libre deC1[X] ?
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