Correction des exercices 9 et 15 de la feuille 3

L3B – Topologie 2019-2020

Correction des exercices 9 et 15 de la feuille 3

Exercice 9 :

Montrons tout d’abord le lemme suivant.

Lemme 1. Soit f :R→R une application uniform´ement continue, il existeα > 0 tel que pour toutn ∈N et pour tout x∈[n, n+ 1], f(x)≥f(n)−α.

D´emonstration : Commef est uniform´ement continue, il existe η >0 tel que

∀(x, y)∈R² , |x−y| ≤η =⇒ |f(x)−f(y)| ≤1. (1) En particulier, poury =n, on obtient que pour toutx∈[n, n+η],f(x)≥f(n)−1.

On applique de nouveau (1) pour y = n +η et on obtient que pour tout x ∈ [n+η, n+2η],f(x)≥f(n+η)−1≥f(n)−2. En r´ep´etant le proc´ed´e, on montre que pour toutk ∈Net pour toutx∈[n+kη, n+(k+1)η],f(x)≥f(n)−(k+1). Comme η >0, il existek₀ ∈Ntel quek₀η ≥1 et donc [n, n+ 1] ⊂ ∪^k_k=0⁰⁻¹[n+kη, n+ (k+ 1)η].

On obtient alors que pour tout x ∈ [n, n+ 1], f(x)≥ f(n)−k₀. Cela d´emontre le

lemme pour α=k0.

Soit f : R → R une application uniform´ement continue telle que la suite (f(n))n ∈N tende vers +∞. Soit M > 0. Pour M⁰ >0, on sait qu’il existe n0 ∈N tel que pour tout n ≥n₀, f(n)≥ M⁰. Le lemme ci-dessus montre alors qu’il existe α > 0 tel que pour tout x ≥ n₀, f(x) ≥ f(bxc)−α ≥ M⁰ −α. Si on applique ce r´esultat `a M⁰ =M +α, on vient de montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que pour tout x≥n₀, f(x)≥M. Donc f(x)−→+∞ quand x−→+∞.

Exercice 15 :

Soit (f_n) une suite de fonctions croissantes sur un intervalle [a, b]. Si f_n converge simplement versf ≡0, alors f_n(a) et f_n(b) convergent vers 0. Comme les fonctions sont croissantes, on a donc que

∀x∈[a, b], f_n(a)≤f_n(x)≤f_n(b) c’est-`a-dire que

sup

x∈[a,b]

|f_n(x)| ≤ max(|f_n(a)|,|f_n(b)|) −→ 0

et la convergence de la suite (f_n) vers 0 est donc aussi uniforme.

Supposons maintenant que la limitef est non-nulle mais encore continue. Comme [a, b] est compact, f est en fait uniform´ement continue. Soit ε > 0, il existe δ > 0

tel que pour toutx et x⁰ tels que |x⁰−x| ≤ δ, on a |f(x⁰)−f(x)| ≤ε. On d´ecoupe [a, b] en p petits intervalles [xi−1, x_i] avec

a=x₀ < x₁ < . . . < x_p =b et x_i−xi−1 < δ.

Pour tout x ∈ [xi−1, x_i], f(x) est `a distance au plus ε >0 de f(xi−1) et f(x_i). Par croissance des fonctions fn, on a donc

f_n(xi−1)−f(xi−1)−ε≤f_n(xi−1)−f(x)≤f_n(x)−f(x)≤f_n(x_i)−f(x)≤f_n(x_i)−f(x_i)+ε . En prenantnassez grand, par convergence simple, on peut avoir|f_n(x_i)−f(x_i)| ≤ε pour tout i car il n’y a qu’un nombre fini de x_i `a consid´erer. On obtient donc que pourn assez grand, |f_n(x)−f(x)| ≤2ε, ce qui montre la convergence uniforme vers f.