Correction des exercices III et IV de la feuille d’exercices n
o2
III Nouvelle Calédonie – 2013
1. (a) On représente le graphe probabiliste associé à la situation :
H P
0,14
0,06
0,86 0,94
(b) D’après le cours, la matrice de transition est M=
µ0,86 0,14 0,06 0,94
¶
2. On appelleEn=¡
hn pn¢
la matrice ligne de l’état probabiliste de l’année 2010+n; donchndésigne la probabilité qu’un habitant de Girouette vote pour le parti Hirondelle l’année 2010+n, etpndésigne la probabilité qu’un habitant de Girouette vote pour le parti Phenix cette même année.
On a donc E0=(0,7 0,3). E1=E0×M=¡
0,7 0,3¢
×
µ0,86 0,14 0,06 0,94
¶
=¡
0,7×0,86+0,3×0,06 0,7×0,14+0,3×0,94¢
= ¡
0,62 0,38¢
Donc en 2011, la probabilité qu’un habitant de Girouette vote pour le parti Hirondelle est 0,62 et la probabilité qu’il vote pour le parti Phenix est de 0,38. On peut dire aussi que le parti Hirondelle recueille 62 % des voix, et le parti Phenix 38 %.
E4=E3×M=E2×M×M=E1×M×M×M= E1×M3 À la calculatrice, on trouveE4≈ ¡
0,46 0,54¢
On peut dire qu’en 2014 le parti Hirondelle devrait recueillir à peu près 46 % des voix, et le parti Phenix 54 %.
3. (a) CommeEn+1=En×M, on peut dire que
½ hn+1=0,86hn+0,06pn pn+1=0,14hn+0,94pn
Donchn+1=0,86hn+0,06pn; or, pour tout entiern,hn+pn=1 doncpn=1−hn. On peut donc écrire :
hn+1=0,86hn+0,06 (1−hn(=0,86hn+0,06−0,06hn= 0,8hn+0,06. (b) On définit la suite (un) par : pour tout entier natureln,un=hn−0,3.
un+1=hn+1−0,3=0,8hn+0,06−0,3 ; orun=hn−0,3 donchn=un+0,3.
un+1=0,8 (un+0,3(+0,06−0,3=0,8un+0,24+0,06−0,3= 0,8un u0=h0−0,3=0,7−0,3=0,4
Donc la suite (un( est une suitegéométriquede premier termeu0=0,4 et de raisonq=0,8.
(c) D’après le cours, on peut dire que, pour tout entiern,un=u0×qn= 0,4×0,8n . Orhn=un+0,3 donc, pour tout entiern,hn= 0,3+0,4×0,8n .
4. On cherche le plus petit entierntel quehn<0,32 ce qui revient à résoudre l’inéquation 0,3+0,4×0,8n<
0,32.
0,3+0,4×0,8n<0,32 ⇐⇒ 0,4×0,8n<0,02 ⇐⇒ 0,8n<0,02 0,4
⇐⇒ 0,8n<0,05 ⇐⇒ ln¡ 0,8n¡
<ln0,05
⇐⇒ nln0,8<ln0,05 ⇐⇒ n>ln0,05
ln0,8 car ln0,8<0 Page 1/3
ln0,05
ln0,8 ≈13,4 doncn=14 ; la probabilité qu’un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera inférieure à 0,32 à partir de 14 années.
Remarque: on peut trouver à la calculatrice queh13≈0,322>0,32 et queh14≈0,318<0,32.
IV France, septembre 2004
On considère une grande population d’acheteurs de yaourts.
On suppose que l’effectif de cette population est stable.
Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y.
30% des acheteurs de yaourts achètent la marque Y.
L’entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour améliorer ses ventes.
Au bout d’une semaine, une enquête indique que :
• 20% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y.
•10% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.
L’entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l’hypothèse que l’évolution des résultats obtenus à l’issue de la première semaine de campagne publicitaire est la même les semaines suivantes.
1. NotonsY l’événement « acheter des yaourts de la marque Y » et l’événement « acheter des yaourts d’un autre marque ».
On obtient le graphe probabiliste :
Y Y
0,9 0,8
0,1
0,2 2. SoitX0=¡
0,3 0,7¢
la matrice ligne décrivant l’état initial de la population.
(a) La matrice de transition (notée A) associée au graphe probabiliste précédent est A=
µ0,9 0,1 0,2 0,8
¶
(b) Si on noteXnla matrice correspondant à l’état probabiliste au bout den semaines de campagne publicitaire, on a P2=P0×A2 .
À la calculatrice, on trouve P2=¡
0,487 0,513¢ .
La probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne pu- blicitaire, achète des yaourts de la marqueY est donc 0,487.
3. (a) On poseN=
2 3
1 3 2 3
1 3
etR=
1 3 −1
3
−2 3
2 3
.
Alors :N+0,7R=N+ 7 10R=
2 3+ 7
10×1 3
1 3− 7
10×1 3 2
3− 7 10×1
3 1 3+ 7
10×2 3
=
2 3+ 7
30 1 3− 7
30 2
3−14 30
1 3+14
30
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=
9 10
1 10 1 5
4 5
=
µ0,9 0,1 0,2 0,8
¶
=A
Donc A=N+0,7R
(b) • À la calculatrice, on trouveN=N,R2=R,N R=R N=0
• Alors :A2=(N+0,7R)2=(N+0,7R)(N+0,7R)=N2+0,7N R+0,7R N+0,72R2
=N2+0,7×0+0,7×0+0,72R2= N+0,72R puisqueN2=N etR2=R.
A3=(N+0,7R)¡
N+0,72R¢
=N2+0,72N R+0,7R N+0,73R2=N+0+0+0.73R= N+0,73R .
On en déduit, en généralisant que, pour toutnÊ0, An=N+0,7nR .
Donc An=
2+0,7n 3
1−0,7n 3 2−2×0,7n
3
1+0,7n 3
(c) AlorsXn=P0An=¡
0,3 0,7¢
2+0,7n 3
1−0,7n 3 2−2×0,7n
3
1+0,7n 3
µ
0,3×2+0,7n
3 +0,7×2−2×0,7n
3 0,3×1−0,7n
3 +0,7×1+0,7n 3
¶ .
La probabilité qu’à la nesemaine, un acheteur achète des yaourts de la marqueY est an=0,3×2+0,7n
3 +0,7×2−2×0,7n
3 =2×0,3+0,3×0,7n+0,3×2−0,3×0,7n 3
=2+(0,3−2×0,7)×0,7n
3 = 2−1,1×0,7n
3 .
−1<0,7<1 donc lim
n→+∞0,7n=0 d’où lim
n→+∞an=0,3×2
3+0,7×2 3= 2
3≈66,7 % et (an) est une suite croissante.
Cette probabilité n’atteindra doncjamais70 %.
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