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C10107. Les CARVAs se suivent au BETA Trouver la fraction irr´eductible

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Academic year: 2022

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C10107. Les CARVAs se suivent au BETA

Trouver la fraction irr´eductible BET A

SCAN, sachant que son d´eveloppement d´ecimal est :

0, CARV ACARV ACARV A . . ..

Solution

Avec 0, CARV ACARV ACARV A . . .=F, on a CARV A= 100000F−F = 99999BET A/SCAN.

AinsiSCAN, premier avec BET A, est un diviseur de 99999 = 32·41·271.

Le seul diviseur `a 4 chiffres de 99999 est 32·271 = 2439 (avec 41 comme quotient), d’o`u C= 4,A= 3 (ainsi queS = 2,N = 9).

Reste `a r´esoudre le cryptarithme 43RV3 = 41·BET3. Comme 01≤RV ≤ 98, on encadreBET3 par 43013/41 = 1049,0. . .et 43983/41 = 1072,7. . .; on voit queB = 1,E= 0, T = 5 ou 6. Le produit 1053·41 = 43173 montre queT = 5 ne convient pas, car on auraitR = 1 =B; de plus, 1053/2439 se simplifie en 117/271. Au contraire 1063·41 = 43583 convient, donc T = 6 etF = 1063/2439 = 0,4358343583. . .est la fraction `a d´eterminer.

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