D1982. Variations sur un thème connu -3ème épisode Problème proposé par Dominique Roux
On reprend les notations de l'énoncé D1981. On suppose toujours que le point O décrit le cercle (ABC).
1) Montrer que M et N décrivent une même courbe (H).
2) Montrer que le segment [MN] reste tangent à cette courbe (H).
Dans D1980 on a vu que l'ellipse décrite par le point P se réduit à un segment MN quand O est sur le cercle (ABC). Le segment MN est porté par la droite de SIMSON du point O.
Dans D1981 on a vu que la longueur de ce segment MN est égale au diamètre 2R du cercle (ABC) et que le milieu I de MN décrit le cercle d'EULER .
KM et KN sont perpendiculaires à AB et AC : angle MKN = angle BÂC = angle BÔC.
On a vu aussi que KM/KN = OB/OC. Les triangles KMN et OBC sont semblables.
Angle BCO = angle MNK.
Quand les rayons parallèles qui aboutissent en O sur le cercle(ABC) et en I sur le cercle d'Euler tournent d'un angle θ, la corde CO tourne de l'angle θ/2 (angle inscrit = ½ angle au centre ), et la direction du segment MN tourne de l'angle –θ/2 (la direction de KN est fixe, car perpend.. à AC )
M et N décrivent donc l'hypocycloïde H, à 3 rebroussements, enveloppe de la droite de Simson MN.
Cette courbe H est tangente au cercle d'Euler (rayon R/2) et s'inscrit dans le cercle concentrique de rayon 3R/2.
