A524. Deux passages obligés
Notonsσ(N) la somme des carrés des chiffres d’un entierN.Rappelons qu’un nombreN à n chiffres est tel que 10n−1 6N <10n, c’est-à-dire que n−1 6 lgN < n et donc le nombre de chiffres vaut n = 1 +blgNc. Etant constitué d’au plusn fois le chiffre neuf, σ(N) 681n. Tant que 1 + [lg 81n] < n,nous pouvons itérer la descente. Nous vérifions que cette inégalité est vraie pour tout n >4. Si N est un nombre d’au plus 3 chiffres, alors σ(N) 681×3 = 243, σ(2)(N) 6 12+ 92 + 92 = 163, et σ(3)(N) 6 92 + 92 = 162. Nous avons σ(159) = 12+ 52+ 92= 107,et σ(2)(N) = 50.Si N ∈ {100, . . . ,162} \ {159}, alorsσ(N)612+ 52+ 82 = 90. Dans tous les cas, au bout d’un nombre fini d’étapes, nous nous ramenons à un nombreN d’au plus 2 chiffres. Utilisons le fait queσ ab
=a2+b2=σ ba
pour n’étudier que les entiers tels quea6b,la condition d’arrêt est d’aboutir à un nombre à 1 chiffre ou un nombre à 2 chiffres déjà listé. Nous vérifions que les chaînes suivantes couvrent tous les nombres d’au plus 2 chiffres.
– 88, 128, 69, 117, 15, 26, 04, 16, 37, 58, 89, 145, 24, 02, 4 – 99, 162, 14, 17, 05, 25, 29, 58→4
– 07, 49, 79, 13, 01, 1 – 39, 09, 18, 56, 16→4 – 66, 27, 35, 34, 25→4 – 06, 36, 45, 14→4 – 19, 28, 68, 01→1 – 48, 08, 46, 25→4 – 78, 113, 11, 2→4 – 44, 23, 13→1 – 57, 47, 56→4 – 03, 9 →4 – 12, 5 →4 – 22, 8 →4 – 33, 18→4 – 38, 37→4 – 55, 05→4 – 59, 16→4 – 67, 58→4 – 77, 89→4 – 0
En conclusion quel que soit le nombre strictement positif choisi, après un nombre fini d’opérations nous sommes certains de passer par 1 ou 4.
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