A524 – Deux passages obligés
Enoncé
Soit un entier naturel N positif à 2009 chiffres. On calcule la somme des carrés de ses chiffres et on poursuit cette opération avec le nombre ainsi obtenu. Démontrer qu'après un nombre fini d'opérations, on est certain de passer par l'un ou l'autre des deux entiers a et b à un seul chiffre que l'on déterminera.
Solution proposée par Julien de Prabère
Les carrés de chiffres étant tous inférieurs ou égaux à 81, la première somme de 2009 carrés sera inférieure à 2009 x 81+1 soit 162 730. La seconde somme relative à un nombre de 6 chiffres sera inférieure à 6 x 81+1 soit 487 et la troisième somme inférieure à 3 x 81+1 soit 244.
Alors quelques boucles sur nos (drôles de) machines autorisent l’inventaire des possibilités pour constater que les valeurs 1 (stationnaire) et 4 (se répétant tous les 8 cycles) sont toujours obtenues à la suite de quelques cycles.
Ainsi parmi les entiers inférieurs à 244, les entiers suivants aboutissent à la valeur 1 (le nombre de cycles nécessaires figure entre parenthèses) :
1(1), 7(5), 10(1), 13(2), 19(4), 23(3), 28(3), 31(2), 32(3), 44(4), 49(4), 68(2), 70(5), 79(3), 82(3), 86(2), 91(4), 94(4), 97(3), 100(1), 103(2), 109(4), 129(3), 130(2), 133(5), 139(5), 167(3), 176(3), 188(4), 190(4), 192(3), 193(5), 203(3), 208(3), 219(3), 226(5), 230(3), 236(5), 239(5).
Tandis que les autres aboutissent à la valeur 4 :
2(1), 3(11), 4(8), 5(8), 6(13), 8(9), 9(10), 11(2), 12(9), 14(10), 15(10), 16(7), 17(9), 18(9), 20(1), 21(9), 22(10), 24(2), 25(7), 26(9), 27(10), 29(6), 30(11), 33(10), 34(8), 35(9), 36(12), 37(6), 38(7), 39(11), 40(8), 41(10), 42(2), 43(8), 45(11), 46(8), 47(9), 48(10), 50(8), 51(10), 52(7), 53(9), 54(11), 55(9), 56(8), 57(10), 58(5), 59(8), 60(13), 61(7), 62(9), 63(12), 64(8), 65(8), 66(11), 67(6), 69(12), 71(9), 72(10), 73(6), 74(9), 75(10), 76(6), 77(5), 78(4), 80(9), 81(9), 83(7), 84(10), 85(5), 87(4), 88(14), 89(4), 90(10), 92(6), 93(11), 95(8), 96(12), 98(4), 99(12), 101(2), 102(9), 104(10), 105(10), 106(7), 107(9), 108(9), 110(2), 111(12), 112(14), 113(3), 114(10), 115(11), 116(8), 117(11), 118(12), 119(8), 120(9), 121(14), 122(11), 123(11), 124(10), 125(12), 126(11), 127(12), 128(13), 131(3), 132(11), 134(10), 135(10), 136(9), 137(9), 138(10), 140(10), 141(10), 142(10), 143(10), 144(11), 145(3), 146(10), 147(12), 148(10), 149(5), 150(10), 151(11), 152(12), 153(10), 154(3), 155(11), 156(10), 157(11), 158(11), 159(10), 160(7), 161(8), 162(11), 163(9), 164(10), 165(10), 166(7), 168(3), 169(13), 170(9), 171(11), 172(12), 173(9), 174(12), 175(11), 177(13), 178(11), 179(4), 180(9), 181(12), 182(13), 183(10), 184(10), 185(11), 186(3), 187(11), 189(11), 191(8), 194(5), 195(10), 196(13), 197(4), 198(11), 199(10), 200(1), 201(9), 202(10), 204(2), 205(7), 206(9), 207(10), 209(6), 210(9), 211(14), 212(11), 213(11), 214(10), 215(12), 216(11), 217(12), 218(13), 220(10), 221(11), 222(10), 223(10), 224(3), 225(11), 227(11), 228(11), 229(5), 231(11), 232(10), 233(11), 234(7), 235(8), 237(10), 238(6), 240(2), 241(10), 242(3), 243(7).
Relevons, les longues itérations se terminant par 88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4 ou bien encore par 112 (et les équivalents 121 ou 211), 6, 36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85 (puis comme pour 58), 89, 145, 42, 20 et 4.
En définitive, compte tenu des trois opérations préliminaires, si la valeur 1 n’est pas obtenue avant la neuvième itération, la valeur 4 sera obtenue avant la dix-huitième !
