A524: Deux passages obligés
Soit un entier naturel N positif à 2009 chiffres. On calcule la somme des carrés de ses chiffres et on poursuit cette opération avec le nombre ainsi obtenu. Démontrer qu'après un nombre fini d'opérations, on est certain de passer par l'un ou l'autre des deux entiers a et b à un seul chiffre que l'on déterminera.
Soit f(n) la somme des carrés des chiffres de l’entier n; si l’on part de 1, on reste indéfiniment sur cette valeur, tandis qu’en partant de 4, on engendre le cycle ; 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4. Nous allons montrer que l’on retombe obligatoirement sur une de ces deux valeurs.
Montrons d’abord que pour n≥100, f(n)<n. Chaque chiffre étant inférieur ou égal à 9, la somme des carrés des chiffres d’un nombre de k chiffres est inférieure ou égale à 81k;
pour k≥4, 81k<10k-1, donc f(n)<n, et la suite obtenue est décroissante tant que k≥4; pour k=3, 81k=241, donc f(n)<n si n>241; pour 200≤n≤241, f(n)≤f(239)=94; f(199)=163, donc pour 163<n≤199 f(n)≤f(199)<n; enfin pour 100≤n≤163, f(n)<100, sauf f(159)=107, donc là encore f(n)<n.
Il suffit alors d’étudier f(n) pour n≤99; 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 49, 68, 79, 86, 94 et 97 aboutissent à 1, tandis que tous les autres conduisent à 4.
