A524. Deux passages obligés
Soit un entier naturel positif à 2009 chiffres. On calcule la somme des carrés de ses chiffres et on poursuit cette opération avec le nombre ainsi obtenu. Démontrer qu'après un nombre fini d'opérations, on est certain de passer par l'un ou l'autre des deux entiers et à un seul chiffre que l'on déterminera.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Si a 2009 chiffres, alors la première itération donne qui a au plus 6 chiffres. A l’itération suivante a au plus 3 chiffres. De même, on a à l’itération d’après. Si
a lui aussi trois chiffres, alors, on considère . Si a encore trois
chiffres, alors on continue avec . Et enfin, si toujours trois chiffres alors
. De sorte qu’on atteint nécessairement après 6 opérations au maximum un entier naturel d’au plus 2 chiffres.
Considérons les nombres non nuls d’au plus 2 chiffres (notés et ). On constate que les nombres et ont la même image par l’opération considérée. On peut donc se contenter d’étudier l’un ou l’autre de ces nombres. Le tableau suivant parcourt donc tous les cas possibles :
88 128 69 117 51 26 40 16
37 58
89 145 42 20 4 59 106
3 9
81
65 61 39 90
33 18 57 74
38 73 12 5
25
29 85 6 36 45
41 17 50 99 162
55 66 72 53 34
22 8
64 52 48 80
67
77 98
78 113 11 2 44 32 13
10 1 7 49 97 130
19 82 68 100 On est donc certain de passer par les nombres 1 ou 4.
