Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme ≤ 2015 tels que : - 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2,
- 3 d’entre eux et 3 seulement sont divisibles par 3, - 5 d’entre eux et 5 seulement sont divisibles par 5, - 7 d’entre eux et 7 seulement sont divisibles par 7, - 11 d’entre eux et 11 seulement sont divisibles par 11,
Parmi tous les ensembles de k entiers qui respectent ces conditions, donner l’ensemble dont la somme des termes est minimale
Il y a au moins 11 termes, ceux divisibles par 11.
Aucun nombre ne peut être divisible à la fois par 2, 3, 5, 7 et 11, puisque
2*3*5*7*11=2310. De même, il y a au plus deux nombres divisibles à la fois par 5, 7 et 11, car, s’il y en avait trois leur somme serait au moins 5*7*11(1+2+3)=2310.
On ne peut avoir 7 termes divisibles à la fois par 7 et 11 (donc 77) : en effet, la somme des quotients de ces termes par 77, tous distincts, serait supérieure à 1+2+...+7=28 et 28*77>2015. Il y a donc au moins un terme divisible par 7 et non par 11.
Supposons que l’ensemble ait douze termes, dont six divisibles par 77, cinq par 11 seulement et un par 7 seulement .
Il ne peut y avoir 2 termes divisibles par 5 parmi ceux divisibles par 77, car la somme des quotient serait au moins égale à 1+2+3+5+7+10=28 (il y au plus deux termes pairs). Donc il y aurait au plus un terme divisible par 5 parmi ceux divisibles par 77, donc au moins trois parmi ceux divisibles seulement par 11, leurs sommes étant au moins 77*(1+2+3+4+5+7)=1694 et 55*(1+3+5)=330, soit un total de 2024 qui dépasse 2015, ce qui est contraire à l’hypothèse.
L’ensemble cherché comporte donc au minimum 13 termes (cinq divisibles par 77, six par 11 seulement et deux par 7 seulement.
L’ensemble formé par les multiples 77*(1, 2, 3, 4, 5), 11*(1, 3, 5, 11, 15, 25) et 7*(5, 7), soit 11, 33, 35, 49, 55, 77, 121, 154, 165, 231, 275, 308, 385, de somme 1899,
répond à la question.
