A623. Partition sous contraintes
Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme ≤ 2015 tels que : - 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2,
- 3 d’entre eux et 3 seulement sont divisibles par 3, - 5 d’entre eux et 5 seulement sont divisibles par 5, - 7 d’entre eux et 7 seulement sont divisibles par 7, - 11 d’entre eux et 11 seulement sont divisibles par 11,
Parmi tous les ensembles de k entiers qui respectent ces conditions, donner l’ensemble dont la somme des termes est minimale
Source : d’après Championnat International FFJM 2015 Solution de Paul Voyer
Tant que l'on ne cherche pas à minimiser la somme des termes, il suffit de k = 11 termes .
Par exemple :
Je prends 11 entiers distincts valant 11, 11², 11³, …, 1111. J'en multiplie 7 par 7, j'ai toujours 11 entiers distincts,
Je multiplie 5 de ces 11 entiers par 5, 3 (autres mais pas forcément) par 3, et 2 (autres mais pas forcément) par 2.
Comme tous les termes sont multiples de 11, pour minimiser la somme, le problème revient à composer 10 facteurs entiers distincts dont la somme soit minimale, en utilisant 2 fois la valeur 2, 3 fois la valeur 3, 5 fois la valeur 5 et 7 fois la valeur 7, soit 17 tokens.
Leurs produits par 11, plus 11 lui-même, constituent la/une solution.
On a le droit si nécessaire d'utiliser d'autres facteurs comme 11 ou 13 ou les puissances des tokens, comme 4 ou 9 au lieu de 2 ou 3 respectivement pour rendre distincts des termes qui sinon seraient égaux.
2 3 5 7 11
11 *
55 * *
77 * *
165 * * *
231 * * *
275 * *
308 * * *
385 * * *
539 * *
693 * * *
770 * * * *
3509 2 3 5 7 11
