Chapitre IV

(1)

IV. TH´ EOR` EME CHINOIS ET APPLICATIONS, MODULES SUR LES ANNEAUX PRINCIPAUX

S´eances des 30, 31 octobre et 6 novembre

12. Th´eor`eme chinois et applications

12.1. Idéaux étrangers. — Soient A un anneau commutatif et I₁, . . . ,I_m des idéaux de A, non nécessairement distincts. Commen¸cons par rappeler les définitions suivantes, déjà vues dans le§3.3.

Définition 12.1(Sommes et produits d’idéaux). — 1) On note I₁ + · · · + I_m l’idéal formé des sommesx₁+· · ·+x_m, où x_j ∈I_j pourj = 1, . . . , m.

2) On note I₁· · ·I_m l’idéal engendré par les produits x₁· · ·x_m, où x_j ∈I_j pour j= 1, . . . , m. C’est l’ensemble des sommes finies de tels produits.

3) On observe que si chaque I_j est principal, c.-à-d., I_j = (a_j), alors I₁· · ·I_m est l’idéal engendré par a₁· · ·a_m.

4) Si I₁, . . . ,I_m sont tous égaux à I, on obtient l’idéal I^m, formé des sommes finies arbitraires de produits de méléments de I :

I^m=nX

x₁· · ·x_m |x_i ∈I o

.

Remarque 12.2. — 1) On prendra garde que, en général, I^m est strictement plus grand que l’idéal engendré par les puissances m-ièmes d’éléments de I.

Par exemple, si A = R[X,Y] et si I est l’idéal engendré par X et Y, alors I² est engendré par X²,XY et Y², et XY n’est pas un carré.

2) On a toujours I₁· · ·I_m⊆I₁∩ · · · ∩I_m, et l’inclusion est en g´en´eral stricte (prendre, par exemple, I_j = (a), pour toutj).

(0)Version du 2/11/06

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Définition 12.3(Idéaux étrangers). — Soient I₁, . . . ,I_n des id´eaux de A.

1) On dit que I₁, . . . ,I_n sont´etrangers (ou «premiers entre eux» ) si l’on a I₁+· · ·+ I_n= A.

2) On dit que I₁, . . . ,I_n sont ´etrangers deux `a deux si I_r et I_s sont

´etrangers, pour toutr6=s.

Remarque 12.4. — On prendra garde à ne pas confondre ces deux notions. Si n >3, la deuxième condition est beaucoup plus forte que la première ! Pour

´eviter les confusions, on dira parfois dans le premier cas que I₁, . . . ,I_n sont

´etrangers«dans leur ensemble» .

Lemme 12.5. — On suppose queIest étranger àJ₁, . . . ,J_m (on ne suppose pas les J_i nécessairement distincts). Alors Iest étranger à J₁· · ·J_m.

Démonstration. — Par hypothèse, il existe, pour i = 1, . . . , m, des éléments x_i ∈I ety_i ∈J_i tels quex_i+y_i= 1. Alors

1 = Ym

i=1

(x_i+y_i),

et en développant ce produit on obtient le terme y₁· · ·y_m qui appartient à J₁· · ·J_m, et une somme de termes qui contiennent au moins unx_i donc appartiennent à I. Ceci prouve le lemme.

Corollaire 12.6. — Supposons I₁, . . . ,I_n ´etrangers deux `a deux, et soient m₁, . . . , m_n des entiers>1.

1)On a I₁· · ·I_n= I₁∩ · · · ∩I_n.

2) I^m₁ ¹, . . . ,I^m_nⁿ sont ´etrangers deux `a deux.

3)Posons, pour k= 1, . . . , n, J_k=Y

j6=k

I^m_j ^j; alors J₁+· · ·+ J_n= A, c.-`a-d., J₁, . . . ,J_n sont ´etrangers «dans leur ensemble» .

Démonstration. — Dans 1), il suffit de montrer l’inclusion ⊇, puisque l’autre est évidente. On va prouver les assertions 1) et 2) par récurrence sur n. Sup- posons d’abord n= 2.

Par hypoth`ese, il existex₁∈I₁ etx₂ ∈I₂ tels quex₁+x₂ = 1. Alors, pour touta∈I₁∩I₂, l’on a :

a=a·1 =ax₁+ax₂∈I₁I₂,

d’où I₁I₂ = I₁∩I₂. D’autre part, d’après le lemme précédent, I₁ est étranger à I^m₂², puis I^m₂² est étranger à I^m₁¹, ce qui prouve 2) dans le casn= 2.

(3)

12. TH´EOR`EME CHINOIS ET APPLICATIONS 105

Supposonsn>3 et les deux assertions établies pourn−1. Par hypothèse de récurrence, I₂∩ · · · ∩I_n= I₂· · ·I_n, et, d’après le lemme, cet idéal est étranger

`a I₁. On a donc

I₁∩ · · · ∩I_n= I₁∩(I₂· · ·I_n) = I₁·I₂· · ·I_n,

ce qui prouve 1). D’autre part, par hypoth`ese de r´ecurrence, I^m₂², . . . ,I^m_nⁿ sont

étrangers deux à deux. De plus, d’après le casn= 2, chaque I^m_k^k est étranger avec I^m₁¹. L’assertion 2) est démontrée.

Démontrons l’assertion 3). D’abord, I^m₁ ¹,. . ., I^m_r^r sont étrangers deux à deux, d’après l’assertion 2). Donc, sans perte de généralité, on peut se limiter au cas où m_k= 1 pour toutk.

Pour chaquek, I_ket J_k sont ´etrangers, d’apr`es le lemme 12.5, donc il existe x_k ∈I_k ety_k∈J_k tels que 1 =x_k+y_k. On obtient donc

1 = Yn

k=1

(x_k+y_k).

Développons le produit : les termes qui contiennent uny_k appartiennent à J_k et donc à J₁+· · ·+ J_r; le seul autre terme est x₁· · ·x_r, qui appartient à J_k pour tout k. Ceci montre que 1∈J₁+· · ·+ J_r, ce qui termine la preuve du corollaire.

Remarque 12.7. — a) On voit facilement que si un id´eal premier P contient un produit d’id´eaux J₁· · ·J_r, alors il contient l’un des J_k.

b) En utilisant a) et le corollaire 5.18 (existence d’idéaux maximaux), on peut démontrer le point 2) du corollaire de fa¸con plus conceptuelle. Supposons en effet qu’il existe r 6= s tels que I^m_r^r et I^m_s ^s ne soient pas étrangers. Alors I^m_r^r + I^m_s^s est un idéal propre, donc est contenu dans un idéal maximal m.

Commemest premier et contient I^m_r ^r et I^m_s^s, il contient I_ret I_s, ce qui contredit l’hypoth`ese I_r+ I_s= A.

12.2. Th´eor`eme chinois des restes. —

Définition 12.8(Produits d’anneaux). — Soit (A_i)_i∈Iune famille d’anneaux. Le groupe ab´elienQ

i∈IA_iest muni d’une structure d’anneau, où la multiplication est définie coordonnée par coordonnée :

(a_i)_i∈I·(b_i)_i∈I= (a_ib_i)_i∈I

L’élément neutre, noté 1, est la famille (a_i)_i∈Itelle que a_i = 1 pour touti∈I.

Si I est fini, disons I ={1, . . . , n}, cet anneau se note A₁× · · · ×A_n ou A₁⊕ · · · ⊕A_n.

(4)

Théorème 12.9(Théorème chinois des restes). — On suppose I₁, . . . ,I_n ´etran- gers deux `a deux. Alors le morphisme naturel ψ : A → A/I₁ ⊕ · · · ⊕A/I_n induit un isomorphisme

A/(I₁∩ · · · ∩I_n)−→^∼ Lⁿ

r=1

A/I_r. D´emonstration. — Il est clair que Kerψ = T_n

r=1I_r. On va établir l’isomorphisme annoncé par récurrence sur n. Commen¸cons par remarquer que, pour démontrer la surjectivité de ψ, il suffit de trouver ε₁,· · ·, ε_n ∈ A tels que ψ(ε_r) = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) (où 1 est à lar-ième place), car alors un élément arbitraire

(a₁, . . . , a_n) sera l’image de a₁ε₁+· · ·+a_nε_n.

Supposons n = 2. Par hypothèse, il existe x₁ ∈ I₁ et x₂ ∈ I₂ tels que x₁ +x₂ = 1. Alors 1−x₁ = x₂ appartient à 1 + I₁ et à I₂ et donc on peut prendreε₁ = 1−x₁, et de mêmeε₂ = 1−x₂. Ceci prouve le théorème dans le casn= 2.

Supposonsn>3 et le théorème établi pourn−1. D’après le lemme 12.5 et le corollaire 12.6, I₂∩ · · · ∩I_négale I₂· · ·I_n et est étranger à I₁. Donc, d’après le cas n= 2, la projection

A−→A/I₁L

A/(I₂∩ · · · ∩I_n) induit un isomorphisme

(1) A/(I₁∩ · · · ∩I_n)−→^∼ A/I₁L

A/(I₂∩ · · · ∩I_n).

De plus, par hypoth`ese de r´ecurrence, la projection A→L_n

r=2A/I_r induit un isomorphisme

(2) A/(I₂∩ · · · ∩I_n)−→^∼ Lⁿ

r=2

A/I_r.

En composant les isomorphismes (1) et (2), on obtient l’isomorphisme annonc´e.

Ceci prouve le th´eor`eme.

12.3. Annulateurs et modules de torsion. — Soit M un A-module.

Définition 12.10(Annulateurs). — Soit m∈M. On pose : Ann(m) ={a∈A|am= 0},

Ann(M) ={a∈A| ∀x∈M, ax= 0}.

Ce sont des idéaux de A. De plus, si (x_i)_i∈Iest un système de générateurs de M (fini ou infini), on voit facilement que

Ann(M) = \

x∈M

Ann(x) =\

i∈I

Ann(x_i).

(5)

Définition 12.11. — M est un A-module de torsion si Ann(m) 6= (0), pour toutm∈M.

Lemme 12.12. — Supposons A int`egre et soit Mun A-modulede torsion et de type fini. Alors Ann(M)6= (0).

Démonstration. — Soit x₁, . . . , x_n un système fini de générateurs de M.

Comme M est de torsion, I_k := Ann(x_k) est non nul, pour tout k. Alors Ann(M) = I₁ ∩ · · · ∩I_n est non nul, car il contient I₁· · ·I_n, qui est 6= (0) puisque A est int`egre.

Exercice 12.13. — LeZ-module quotientQ/Zest de torsion mais pas de type fini, et l’on a Ann(Q/Z) = 0.

Définition 12.14. — Soit M un A-module. On note M_tors ={m∈M|Ann(m)6= (0)}

l’ensemble des ´el´ements de torsion de M. On dit que M est sans torsion si M_tors = (0).

Définition et proposition 12.15(Sous-module de torsion). — Si A est int`egre, alors :

1) M_tors est un sous-module de M, appel´e le sous-module de torsion.

2)Le module quotient M/M_tors est sans torsion.

Démonstration. — Soientm, m⁰ ∈M_torsetb∈A\{0}. Par hypothèse, il existe a, a⁰∈A\{0}tels queam= 0 =a⁰m⁰. Comme A est intègre,aa⁰ 6= 0 etba6= 0 et donc les égalités 0 = (aa⁰)(m−m⁰) et (ba)m= 0 montrent que m−m⁰ et bm appartiennent à M_tors. Ceci prouve 1).

Prouvons 2). Soientm∈M etb∈A\ {0}tels quebπ(m) = 0, oùπ désigne la projection M→ M/M_tors. Alors bm∈ M_tors, donc il existea∈ A\ {0} tel queabm= 0. Commeab6= 0 (puisque A est intègre), ceci impliquem∈M_tors, d’oùπ(m) = 0. La proposition est démontrée.

12.4. Modules se décomposant en composantes primaires. — Soit I = (I_λ)_λ∈Λ une famille d’idéaux de A,deux à deux étrangers. Soit M un A-module.

Définition 12.16. — Pour toutλ∈Λ, on pose

M_λ :={m∈M| ∃n>1 tel que Iⁿ_λm= 0};

c’est un sous-module de M, qu’on appelle composante λ-primairede M.

Lemme 12.17. — La somme des sous-modulesM_λ, pourλ∈Λ, est une somme directe.

(6)

Démonstration. — Soient λ₁, . . . , λ_r ∈ Λ, deux à deux distincts. Supposons qu’on ait une égalité

x₁=x₂+· · ·+x_r,

o`u x_k∈M_λ_k pour toutk. Alors, il existe des entiers n₁, . . . , n_r >1 tels que Iⁿ_λ^k

kx_k= 0, pour k= 1, . . . , r.

Alors x₁ = x₂ +· · ·+x_r est annulé par Iⁿ_λ¹₁ et par Iⁿ_λ²₂· · ·Iⁿ_λ^r_r. Or, ces deux idéaux sont étrangers, d’après le corollaire 12.6. Ceci entraˆıne m₁ = 0, et le lemme en découle.

Pour un A-module arbitraire, il peut fort bien arriver que M_λ = (0) pour toutλ∈Λ. C’est le cas, par exemple, si A est int`egre et M sans torsion ! Définition 12.18. — On dira que M est un A-module de I-torsion si tout m∈M est annul´e par un produit fini

(∗) Iⁿ_λ¹₁· · ·Iⁿ_λ^r_r.

Théorème 12.19(Décomposition des modules deI-torsion)

Soit I = (I_λ)_λ∈Λ une famille d’idéaux de A, deux à deux étrangers, et soitM un A-module de I-torsion. Alors :

1) M = L

λ∈Λ

M_λ.

2) Si de plus M est de type fini, la somme ci-dessus est une somme finie, c.-`a-d., il existeλ₁, . . . , λ_r∈Λ tels que

M = Mr

i=1

M_λ_i,

et M_λ = (0) si λ6∈ {λ₁, . . . , λ_r}. De plus, chaque M_λ_i est de type fini et est annul´e par une certaine puissance Iⁿ_λⁱ_i deI_λ_i.

Démonstration. — 1) On a déjà vu que la somme est directe. Montrons qu’elle vaut M. Soit m ∈M. Il est annulé par un certain produit fini (∗). Pour k = 1, . . . , r, posons

J_k=Y

j6=k

Iⁿ_λ^j

j.

D’après le corollaire 12.6, J₁, . . . ,J_r sont étrangers, donc on peut écrire 1 =y₁+· · ·+y_r,

où y_k ∈J_k. Chaque y_km est annulé par Iⁿ_k^k, donc appartient à M_λ_k. De plus, on a

m= 1·m=y₁m+· · ·+y_rm.

Ceci prouve la premi`ere assertion.

(7)

Supposons de plus que M soit engendré par un nombre fini d’éléments x₁, . . . , x_n. Chaque x_i a des composantes x_i,λ non nulles seulement pour λ dans un ensemble fini d’indices Λ_i. Alors Λ₁∪ · · · ∪Λ_n est un ensemble fini {λ₁, . . . , λ_r}, et l’on a

M = Mr

i=1

M_λ_i.

En comparant avec 1), on obtient M_λ = (0) si λn’est pas l’un des λ_i. Enfin, chaque M_λ_i, étant un quotient de M, est de type fini et est donc annulé par une certaine puissance Iⁿ_λⁱ_i de I_λ_i. Le théorème est démontré.

Exemples 12.20. — 1) Dans le paragraphe suivant on déduira du théorème précédent un théorème de structure pour les modules de torsion sur un anneau principal.

2) Voici un autre exemple important. Soit k un corps et soit A une k- alg`ebrede dimension finie. Alors, on peut montrer que A n’a qu’un nombre fini d’id´eaux premiers, tous maximaux : m₁, . . . ,m_r et qu’il existe des entiers m_i >1 tels que

(0) =m^m₁¹· · ·m^m_r^r =m^m₁¹∩ · · · ∩m^m_r^r. Donc, A est un A-module deI-torsion, o`u

I ={m^m₁¹, . . . ,m^m_r^r}.

Il résulte donc du théorème précédent que A = L^r

i=1

A_i, o`u A_i={a∈A|am^m_i ⁱ = 0}.

D’autre part, on peut aussi montrer (cf. Probl`eme 2) que chaque A_i est iso- morphe au localis´e A_m_i et l’on obtient un isomorphisme d’anneaux

A∼= Am1× · · · ×A_m_r.

(Une k-algèbre de dimension finie est le produit de ses localisés en ses idéaux maximaux.)

12.5. D´ecomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal. — Soit A un anneau principal.

Définition 12.21(Idéaux maximaux deA). — NotonsP l’ensemble des idéaux (p), où p est irréductible ; ce sont les idéaux maximaux de A (Th. 11.32). En particulier, les éléments deP sont deux à deux étrangers.

Remarque 12.22. — P est en bijection avec l’ensemble des classes d’équiva- lence d’éléments irréductibles de A, pour la relation p ∼ p⁰ si p et p⁰ sont associés.

(8)

Lemme 12.23. — Tout idéal propre I6= (0) s’écrit de fa¸con unique comme un produitp₁· · ·p_n d’éléments deP.

Démonstration. — Soitaun générateur de I eta=p₁· · ·p_nsa décomposition en facteurs irréductibles. Posantp_i= (p_i), on obtient

p₁· · ·p_n= (p₁)· · ·(p_n) = (a).

Ceci prouve l’existence. D’autre part, supposons

(∗) (a) =q₁· · ·q_s,

avec q_i ∈P. Alorsq_i = (q_i), avecq_i irr´eductible, et (∗) entraˆıne : a=u q₁· · ·q_s, avec uinversible.

L’unicité de la décomposition en facteurs irréductibles entraˆıne que s = n et que, quitte à renuméroter, q_i et p_i sont associés, c.-à-d., (q_i) = (p_i), pour i= 1, . . . , n. Ceci prouve l’unicité.

Définition 12.24(Composantes primaires). — 1) Soient M un A-module etp∈ A un élément irréductible. On pose

M(p) :={m∈M| ∃n>1 tel que pⁿm= 0}.

C’est un sous-module de M_tors, appel´e lacomposante p-primaire.

2) On dit que M estp-primaire s’il est ´egal `a M(p).

3) Soit p= (p). On d´esignera aussi M(p) par M(p) et l’on dira que c’est la composantep-primaire de M.

Lemme 12.25. — Soit M unA-modulep-primaire.

1)Pour tout x∈M\ {0}, on aAnn(x) = (pⁿ), pour un certain n>1.

2)Si M est de type fini, alors Ann(M) = (pⁿ), pour un certain n>1.

D´emonstration. — Posons Ann(x) = (a) ; c’est un id´eal propre, puisquex6= 0.

D’autre part, par hypothèse, il existe t>1 tel que p^tx= 0. Donc p^t∈(a) et donca divisep^t. Commep est irréductible, on obtient que aest associé à un certain pⁿ, avec 16n6t. Ceci prouve la première assertion.

Supposons de plus que M soit engendré par des élémentsx₁, . . . , x_r. Posons Ann(x_i) = (pⁿⁱ), pour tout i. Alors

Ann(M) =

\r

i=1

Ann(x_i) = (pⁿ), o`u n= max(n₁, . . . , n_r). Ceci prouve le lemme.

Lemme 12.26. — Soit M unA-module. La somme des sous-modules M_p, pour p∈P, est une somme directe.

(9)

Démonstration. — C’est une conséquence du lemme 12.17. Répétons la dé- monstration, pour la commodité du lecteur.

Soient p₁, . . . ,p_r ∈ P, deux `a deux distincts. Supposons qu’on ait une

´egalit´e

x₁=x₂+· · ·+x_r,

o`u x_k∈M_p_k pour toutk. Il existe des entiers n₁, . . . , n_r>1 tels que pⁿ_k^kx_k= 0, pour k= 1, . . . , r.

Alors x₁ = x₂ +· · ·+x_r est annulé par pⁿ₁¹ et par pⁿ₂²· · ·pⁿ_r^r. Or, ces deux idéaux sont étrangers, d’après le corollaire 12.6. Ceci entraˆıne x₁ = 0, et le lemme en découle.

Théorème 12.27(Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal)

Soient A un anneau principal et Mun A-module de torsion. Alors

1) M = M

p∈P

M(p).

2) Supposons de plusM de type fini et soit Ann(M) =pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r la d´ecompo- sition de son annulateur en produits d’id´eaux maximaux. Alors,

M = Mr

i=1

M(p_i), et l’on a Ann M(p_i) =pⁿ_iⁱ, pour i= 1, . . . , r.

Démonstration. — Ceci découle du théorème 12.19, combiné avec le lemme 12.25. Pour la commodité du lecteur, répétons la démonstration, sans faire référence au théorème 12.19.

1) On a déjà vu que la somme des M(p) est directe. Montrons qu’elle vaut M. Soitm∈M, non nul. Comme M est de torsion, Ann(m) est non nul donc, d’après le lemme 12.23, on a

pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r

o`u p₁, . . . ,p_r∈P sont deux `a deux distincts. Pourk= 1, . . . , r, posons J_k=Y

j6=k

pⁿ_j^j.

D’après le corollaire 12.6, les idéaux J₁, . . . ,J_r sont étrangers dans leur ensemble, donc on peut écrire

1 =y₁+· · ·+y_r,

avec y_k ∈ J_k. Chaque y_km est annul´e par pⁿ_k^k, donc appartient `a M(p_k). De plus, on a

m= 1·m=y₁m+· · ·+y_rm.

(10)

Ceci prouve 1).

2) Supposons de plus que M soit engendré par un nombre fini d’éléments x₁, . . . , x_n. Chaque x_i a des composantes x_i,p non nulles seulement pour p dans un sous-ensemble finiP_i de P. La réunion de ces sous-ensembles est un sous-ensemble fini{p₁, . . . ,p_r} de P, et l’on a

M = Mr

i=1

M(p_i).

De plus, chaque M(p_i), ´etant un quotient de M, est de type fini, donc Ann M(p_i) =pⁿ_iⁱ, pour un certain n_i>1, d’apr`es le lemme 12.25.

Par cons´equent, Ann(M) = T_r

i=1pⁿ_iⁱ, et comme les p_i sont deux `a deux

´etrangers, on obtient

Ann(M) =pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r.

Ceci achève la preuve du point 2). Le théorème est démontré.

Corollaire 12.28(Décomposition des fractions sur un anneau principal ou euclidien)

Soient A un anneau principal et Kson corps des fractions.

1) Le A-module K/A est de torsion et sa d´ecomposition primaire est la suivante :

K/A = M

(p)∈P

A[¹_p]/A, o`u A[¹_p] ={_p^an |n>1, a∈A}=S

n>0 1 pⁿA.

2) Si A est euclidien, relativement `a ρ : A\ {0} →N, alors tout x∈A[¹_p] s’´ecrit comme une somme finie

(∗) x=a+

Xr

i=1

a_i pⁱ,

où a, a_i∈A et ρ(a_i)< ρ(p) si a_i6= 0. De plus, cette écriture est unique si ρ vérifie la condition ci-dessous :

(∗∗) ρ(a−b)6max{ρ(a), ρ(b)}6ρ(ab), ∀a, b∈A\ {0}.

(Si a=b, on convient que ρ(0) =−∞).

D´emonstration. — D’abord, K/A = L

(p)∈P(K/A)(p), d’après le théorème précédent. Notons π la projection K→K/A. Pour toutt∈K, on a

π(t)∈(K/A)(p)⇔ ∃n>1 tel que pⁿt=a∈A.

L’assertion 1) en d´ecoule.

(11)

2) On convient que ρ(0) = −∞. Montrons par r´ecurrence sur n que tout x∈ _p¹nA s’´ecrit

x=

n−1X

i=0

a_i

pⁿ⁻ⁱ +a_n,

o`u a₀, . . . , a_n ∈ A et ρ(a_i) < ρ(p) pouri = 0, . . . , n−1. C’est clair si n = 0.

Supposons n > 1 et le résultat établi pour n−1. Soit x = a/pⁿ, où a ∈ A.

Comme (A, ρ) est euclidien, il existe a⁰, a₀ ∈ A tels que a = pa⁰ +a₀ et ρ(a₀)< ρ(p). Alors, d’une part,

(1) a

pⁿ = a₀ pⁿ + a⁰

pⁿ⁻¹.

D’autre part, par hypothèse de récurrence, il existe a₁, . . . , a_n ∈ A vérifiant ρ(a_i)< ρ(p) et

(2) a⁰

pⁿ⁻¹ =

n−1X

i=1

a_i

pⁿ⁻ⁱ +a_n.

En combinant (1) et (2), on obtient le r´esultat au cran n. Ceci prouve l’exis- tence.

Supposons maintenant queρvérifie la condition (∗∗). Pour montrer l’unicité annoncée, il suffit de montrer que si l’on a une égalité

(3) a₀+a₁p+· · ·+a_npⁿ=b₀+b₁p+· · ·+b_npⁿ,

aveca₀, b₀, . . . , a_n, b_n∈A etρ(p)> ρ(a_i), ρ(b_i) pouri= 0, . . . , n−1, alorsa_i = b_i pour touti. Procédons par récurrence surn. C’est clair sin= 0. Supposons n>1 et l’assertion établie pourn−1. Il résulte de (3) que a₀−b₀ =pα, avec α∈A. Si on avaitα6= 0, on aurait

ρ(p)6ρ(pα) =ρ(a₀−b₀)6max{ρ(a₀), ρ(b₀)}< ρ(p), une contradiction. Donca₀ =b₀, et (3) entraˆıne

a₁+· · ·+a_npⁿ⁻¹=b₁+· · ·+b_npⁿ⁻¹.

Par hypothèse de récurrence, on conclut queb_i =a_i pour tout i. Le corollaire est démontré.

Remarque 12.29. — L’hypothèse (∗∗) sur ρ entraˆıne l’unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne, cf. la démonstration ci-dessus.

Corollaire 12.30(Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples) Soient k un corps etk(X) le corps des fractions rationnelles sur k. Notons P l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles unitaires dek[X].

(12)

1)Tout élément F∈k(X)s’écrit de fa¸con unique comme une somme finie F = E + X

P∈P

X

j>1

a_P,j P^j ,

avec E et les a_P,j dans k[X], nuls sauf pour un nombre fini d’indices, et deg(a_P,j) <deg P pour tout P et j.

2)En particulier, si k est alg´ebriquement clos, disons si k=C, alors F = E +X

λ∈C

X

j>1

a_λ,j (X−λ)^j, o`u E∈C[X] et a_λ,j ∈C.

3)Si k=R, tout F∈R(X) se d´ecompose en : F = E +X

λ∈R

X

j>1

a_λ,j

(X−λ)^j + X

b,c∈R b²<4c

X

j>1

α_{(b,c), j}X +β_{(b,c), j} (X²−bX +c)^j o`u E∈R[X] et a_λ,j, α_{(b,c), j}, β_{(b,c), j} ∈R.

Démonstration. — Le point 1) résulte du corollaire précédent, puisque l’ap- plication deg :k[X]\ {0} →Nvérifie l’hypothèse (∗∗).

Alors, les points 2) et 3) découlent de la description des polynômes irréduc- tibles unitaires surC, resp. surR.

Remarque 12.31. — Dans Q, et a fortiori dansQ/Z, on a l’´egalit´e 1

2−1 3 = 2

3 −1 2.

Ceci s’explique par le fait que dansZ[¹₂]/Z etZ[¹₃]/Zon a les ´egalit´es 1

2 ≡ −1

2 et − 1 3 ≡ 2

3.

La valeur absolue Z → N ne v´erifie pas la condition (∗∗) car, par exemple

| −1−1| = 2 >max{| −1|,|1|}. De même, dans la division euclidienne par un entier n >0, la condition |r|< n ne suffit pas à déterminer uniquement le reste ; on a unicité seulement si l’on impose àr de vérifier 06r < n.

13. Modules de type fini sur un anneau principal

13.1. Rang d’un module libre de type fini. — Dans ce paragraphe, A est un anneau commutatif6= (0)arbitraire. Soit M un A-module de type fini.

Commen¸cons par l’observation suivante.

Lemme 13.1. — Si Mest un A-module libre, alors toute base deM est formée d’un nombre fini d’éléments.

(13)

13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 115

Démonstration. — Soient x₁, . . . , x_r des générateurs, et supposons que (b_i)_i∈I soit une base de M. Chaque x_s s’écrit comme une combinaison linéaire finie des b_i, et donc il existe un sous-ensemble fini J de I tel que x₁, . . . , x_r soient combinaisons linéaires des b_j, pour j∈J.

Ceci entraˆıne que I = J est fini. En effet, s’il existait i ∈ I\J, alors b_i serait combinaison linéaire des x_s et donc des b_j, pour j ∈ J, contredisant l’indépendance linéaire de{b_i} ∪ {b_j |j ∈J}. Ceci prouve le lemme.

Donc, tout A-module libre de type fini est de la forme Aⁿ, pour un certain n>1. L’entier nest entièrement déterminé, d’après la proposition suivante.

Proposition 13.2. — Soit A un anneau commutatif 6= 0. Si l’on a un isomor- phisme de A-modules A^m−→^∼ Aⁿ, alors m=n.

D´emonstration. — Supposons qu’il existe des isomorphismes r´eciproques : A^{m φ}−→A^{n ψ}−→A^m.

Soient (e₁, . . . , e_m) et (f₁, . . . , f_n) les bases standard de A^m et Aⁿ. Alorsφet ψ sont repr´esent´es par des matrices

P∈M_n,m(A), Q∈M_m,n(A) et l’on a

(∗) QP = I_m et PQ = I_n.

Comme A est un anneau commutatif6= 0, il possède un idéal maximalmet le quotient A/mest un corpsk. Soit π la projection A→ k. Pour toute matrice C∈ M_r,s(A), notons π(C) la matrice dont les coefficients sont les π(c_i,j) ; on dit que π(C) est obtenue (à partir de C) parréduction modulo m. On voit facilement que la réduction commute au produit des matrices, c.-à-d., pour tout C⁰ ∈M_s,t(A) on a l’égalité suivante dans M_s,t(k) :

π(CC⁰) =π(C)π(C⁰).

Par cons´equent, (∗) entraˆıne π(P)π(Q) = I_n et π(Q)π(P) = I_m; donc π(P) induit un isomorphisme

k^m −→^∼ kⁿ,

donc ces deuxk-espaces vectoriels ont mˆeme dimension, d’o`u m=n.

Définition 13.3. — Soit M6= (0) un A-module libre de type fini. L’unique entier ntel que M∼= Aⁿ s’appelle lerang de M et se note rang M.

Alors, toute base de M est formée denéléments. On a, de plus, la caracté- risation suivante du rang.

(14)

Théorème 13.4(Rang d’un module libre de type fini). — Soit M 6= (0) un A- module libre de type fini.

1)Soient mun id´eal maximal de A et k= A/m. Alors, rg M = dim_kM⊗_Ak= dim_kM/mM.

2)Si A est int`egre, soitK son corps des fractions. Alors rg M = dim_KM⊗_AK.

D´emonstration. — Posons n = rg M. Alors, M ∼= Aⁿ. Soit B une A-alg`ebre arbitraire. Comme le produit tensoriel commute aux sommes directes (7.36), et comme A⊗_AB = B (8.6), on obtient que

M⊗_AB∼= Bⁿ

et ceci est un isomorphisme de B-modules. Appliquant ceci lorsque B est un corps A/m, ou le corps des fractions de A si A est intègre, on obtient le théo- rème.

Remarque 13.5. — On peut aussi démontrer le théorème précédent en utilisant l’algèbre extérieureV

A(M). En effet, d’apr`es la proposition 9.13, sin= rang M

l’on a : V_n

A(M)∼= A et V_i

A(M) = 0 si i > n.

Ceci montre que nest uniquement déterminé par M. Pour plus de détails sur l’algèbre extérieure, le lecteur pourra consulter aussi [BM,§IV.2].

Remarque 13.6. — Le théorème n’est pas vrai pour les anneaux non com- mutatifs. En effet, soient k un corps, V un k-espace vectoriel de dimension dénombrable (par exemple V =k[X]) et soit R l’anneau des endomorphismes de V. On voit facilement que V∼= V⊕V, et l’on peut en déduire que R∼= R² comme R-module à gauche.

Pour un anneau non-commutatif, il existe aussi des idéaux bilatères maximaux, mais l’anneau quotient n’est pas un corps en général ; c’est ici qu’inter- vient la différence avec le cas commutatif.

13.2. Modules d’homomorphismes et module dual. —

Définition 13.7. — 1) Soient M,N deux A-modules, φ, φ⁰ ∈ Hom_A(M,N) et a∈A. On note

φ+φ⁰, resp. aφ,

l’application M → N qui `a tout m ∈ M associe φ(m) +φ⁰(m), resp. aφ(m).

Alorsφ+φ⁰ etaφ sont des A-morphismes ; on obtient ainsi unestructure de A-modulesur Hom_A(M,N).

2) Dans le cas particulier o`u N = A, on pose M^∗ = Hom_A(M,A) ; on l’appelle lemodule dual de M.

(15)

Proposition 13.8. — Soient M,M⁰,N des A-modules. On a un isomorphisme de A-modules :

Hom_A(M⊕M⁰,N)−→^∼ Hom_A(M,N)⊕Hom_A(M⁰,N),

φ 7→ (φ|_M, φ|_M⁰),

où φ|_M et φ|_M⁰ désignent les restrictions de φ à Met M⁰. En particulier, pour N = A, on obtient

(M⊕M⁰)^∗ ∼= M^∗⊕M^0∗.

Démonstration. — On voit facilement que φ7→(φ|_M, φ|_M⁰) est un morphisme de A-modules ; il en est de même de l’application qui à un couple de mor- phismesψ: M→N etψ⁰ : M⁰ →N associe le morphismeψ+ψ⁰ : M⊕M⁰ →N défini par (ψ+ψ⁰)(m+m⁰) = ψ(m) +ψ(m⁰). Il est clair que ces deux applications sont des bijections réciproques. Ceci prouve la proposition.

Remarque 13.9. — Supposons A int`egre. Si M est un A-module de torsion, alors M^∗ = (0). En effet, soit φ ∈ M^∗. Pour tout m ∈ M, φ(m) ∈ A est un

élément de torsion, donc nul puisque A est supposé intègre. Donc φ = 0, ce qui montre que M^∗ = (0).

Par exemple, pour tout n > 1, le dual du Z-module Z/nZ est nul. Ceci montre qu’en général on perd de l’information en passant de M à M^∗. Toutefois, pour les modules libres on a le résultat suivant.

Proposition 13.10(Dual d’un module libre de rang fini). — SoitMunA-modu- le libre de rang n, et soit (e₁, . . . , e_n) une base de M. Pour tout i, notons e^∗_i l’élément de M^∗ défini par e^∗_i(a₁e₁+· · ·+a_ne_n) =a_i.

Alors (e^∗₁, . . . , e^∗_n) est une base de M^∗, appel´ee la base duale. De plus, le morphisme canonique M→M^∗∗ est un isomorphisme.

Démonstration. — D’une part,e^∗₁, . . . , e^∗_n sont linéairement indépendants, car si f = a₁e^∗₁ +· · ·+a_ne^∗_n = 0, alors 0 = f(e_i) = a_i pour tout i. De même, e^∗₁, . . . , e^∗_n engendrent M^∗ carf =f(e₁)e^∗₁+· · ·+f(e_n)e^∗_n, pour tout f ∈M^∗. Il en résulte que (e^∗₁, . . . , e^∗_n) est une base de M^∗.

Notons (e^∗∗₁ , . . . , e^∗∗_n ) sa base duale dans M^∗∗. Alors le morphisme naturel M→M^∗∗envoie chaquee_i sure^∗∗_i , donc est un isomorphisme.

13.3. Structure des modules de type fini sur un anneau principal. — Désormais, on suppose A principal. On a le théorème fondamental suivant, dont la démonstration occupera le reste de la section 13.

Théorème 13.11(Structure des modules de type fini sur un anneau principal) Soit A un anneau principal.

(16)

1)Soient n>1 et N un sous-module non nul duA-module libre Aⁿ. Alors, N est libre de rang r 6n et il existe :





une base(e₁, . . . , e_n) de Aⁿ;

a₁, . . . , a_r∈A\ {0} v´erifiant a_i |a_i+1 pouri= 1, . . . , r−1;

tels que (a₁e₁, . . . , a_re_r) soit une base de N,

et les idéaux(a_r)⊆ · · · ⊆(a₁) sont uniquement déterminés parN.

1⁰) De plus, le sous-module deAⁿ engendré pare₁, . . . , e_r ne dépend que de N, et égale

N⁰={x∈Aⁿ| ∃a∈A\ {0} tel que ax∈N}.

2) Soit M un A-module de type fini. Il existe r, s >0 et des éléments non nuls a₁, . . . , a_r de A vérifiant a_i|a_i+1 pouri= 1, . . . , r−1, tels que

M_tors = A/(a₁)⊕A/(a₂)⊕ · · · ⊕A/(a_r);

(1)

Ann(M_tors) = (a_r);

(2)

M∼= A^s⊕M_tors, et A^s∼= M/M_tors. (3)

En particulier :

M est libre ⇔M est sans torsion.

De plus, les idéaux (a_r) ⊆ · · · ⊆ (a₁) sont uniquement déterminés. On les appelle les idéaux (ou facteurs) invariants de M.

3) Pour M un A-module de torsion de type fini, la décomposition (1) ci- dessus se raffine comme suit. Soit Ann(M) = (p₁)^m¹· · ·(p_n)^mⁿ la décomposi- tion de Ann(M) en produits d’idéaux maximaux. Alors, on a la décomposition primaire

(4) M =

Mn

i=1

M(p_i).

et, d’apr`es le point 2), chaque M(p_i) se d´ecompose en un somme directe

(5) M(p_i) =

ti

M

s=1

A/(p_i)ⁿ^s^(pⁱ⁾,

où la suite 16n₁(p_i)6· · ·6n_t_i(p_i) est uniquement déterminée. En particu- lier, n_t_i(p_i) =m_i etAnn M(p_i) = (p^m_i ⁱ).

Définition 13.12(Base adaptée). — On dira que la base de M donn´ee dans le point 1) estadapt´eeau sous-module N.

Le point 1) du théorème précédent est équivalent au théorème suivant.

(17)

Théorème 13.13(Réduction des matrices sur un anneau principal)

Soit A un anneau principal et soit F∈M_n,m(A) non nulle. Alors, il existe r > 1, des matrices inversibles P ∈ GL_n(A), Q ∈ GL_m(A), et des éléments a₁, . . . , a_r deA, vérifianta_i |a_i+1 pour i < r, tels que

PFQ =







a₁ · · · 0 · · ·0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r· · ·0 ... ... ... 0 · · · 0 · · ·0





 .

De plus, r et les idéaux (a₁), . . . ,(a_r) sont entièrement déterminés par F.

Démonstration de l’équivalence. — La matrice F définit un morphisme de A- modulesφ: A^m →Aⁿ, et multiplier F à gauche (resp. à droite) par une matrice inversible équivaut à faire un changement de base dans le module d’arrivée Aⁿ (resp. le module de départ A^m). Donc, le théorème de réduction signifie qu’il existe des bases B = (e₁, . . . e_m) de A^m etC = (f₁, . . . , f_n) de Aⁿ telles que la matrice de F dans ces bases soit de la forme indiquée.

Supposons maintenant que N soit un sous-module de Aⁿ. Comme A est principal, donc noethérien, N est engendré par un nombre fini d’éléments x₁, . . . , x_m et est donc l’image d’un morphisme de A-modules

φ: A^m−→Aⁿ.

Alors, le théorème de réduction entraˆıne qu’il existe une base (f₁, . . . , f_n) de Aⁿ et des éléments a₁, . . . , a_r de A, vérifiant a_i | a_i+1 pour i < r, tels que N = Im(φ) soit engendré par les éléments

a₁f₁, . . . , a_rf_r.

Or, ces éléments sont linéairement indépendants sur A, puisque les f_i le sont et que A est intègre. Donc ces éléments forment une base de N.

De plus, si (f₁⁰, . . . , f_n⁰) est une base de Aⁿ et sia⁰₁, . . . , a⁰_s sont des éléments de A tels que a⁰_i | a⁰_i+1 pour i < s, et que (a⁰₁f₁⁰, . . . , a⁰_sf_s⁰) soit une base de N = Im(φ), alors l’unicité énoncée dans le théorème de réduction entraˆıne que s = r et (a⁰_i) = (a_i) pour i = 1, . . . , r. Ceci montre que le théorème de réduction 13.13 entraˆıne le point 1) du théorème de structure 13.11.

Réciproquement, supposons ce point vérifié et soit φ : A^m → Aⁿ un morphisme de A-modules. Alors, il existe une baseC = (f₁, . . . , f_n) de Aⁿ et des

élémentsa₁, . . . , a_r de A, vérifiant a_i |a_i+1 pour i < r, tels que (a₁f₁, . . . , a_rf_r)

(18)

soit une base de N = Im(φ). Pour i = 1, . . . , r soit e_i un ´el´ement de A^m tel que φ(e_i) =a_if_i. Alors, on obtient que

A^m= Ae₁+· · ·+ Ae_r+ Kerφ,

et comme lesf_isont linéairements indépendants et que A est intègre, on obtient que la somme ci-dessus est directe :

A^m= Ae₁⊕ · · · ⊕Ae_r⊕Kerφ.

Enfin, d’après l’hypothèse 1), à nouveau, Kerφ est un A-module libre, donc (e₁, . . . , e_r) se complète en une base

B= (e₁, . . . , e_n) de Aⁿ, o`u (e_r+1, . . . , e_n) est une base de Kerφ.

Alors, la matrice de φdans les bases B etC est de la forme voulue. De plus, les idéaux (a_i) sont uniquement déterminés par N = Im(φ), donc parφ. Ceci prouve que le point 1) du théorème de structure 13.11 entraˆıne le théorème de réduction 13.13.

Pour démontrer les deux théorèmes précédents, il y a donc deux approches.

On peut démontrer d’abord le théorème de réduction 13.13, d’où le point 1) du théorème de structure 13.11. On montre ensuite les points 1⁰)–3).

Ou bien, on peut démontrer d’abord le théorème de structure 13.11, en trois

étapes. Dans cette approche, on montre d’abord l’existence dans les points 1), 2) et 3). On établit ensuite l’unicité des n_s(p_i) dans le point 3) et des idéaux (a_i) dans le point 2), puis l’on en déduit l’unicité des (a_i) dans le point 1).

Avant de passer aux démonstrations, traitons un exemple (qui montre qu’il est bon de combiner les deux approches, c.-à-d., d’utiliser à la fois les opérations matricielles et la notion de base adaptée).

13.4. Un exemple. — Consid´erons la matrice suivante, `a coefficients dans Z.

F =



14 21 30 35 21 14 12 42 30 20 28 15



.

Elle définit un morphisme deZ-modulesZ⁴ →Z³. On va la réduire à sa forme diagonale, en commen¸cant par les opérations suivantes, sur les lignes ou les

colonnes. 

14 21 30 35 21 14 12 42 30 20 28 15



−−−−−−−→^L¹^→L¹^−L³



−16 1 2 20 21 14 12 42 30 20 28 15



,