Chapitre 1 Polynômes d’une variable et fraction simple
Leçon 1 Définition
1. Définition
Un polynôme d’une variable x est une expression algébrique qui peut être écrire sous la forme :
n nx a x
a x a a x
P( ) = 0 + 1 + 2 2 + + où nN
n a a
a
a0 1 2, ou C et an 0 an
a
a0, 1,..., sont appelés coefficients du polynôme P(x) n
i x
ai i, = 0,1,2,..., sont appelés termes du polynôme P(x) a0 est appelé terme constant
La plus grande puissance de x est appelée degré du polynôme P(x)et se note deg[P(x)]
Exemples:
1. P(x) =a0 +a1x+a2 x2 + +anxn avec an 0 est un polynôme de degré n et on écrit deg[P(x)]=n 2. P(x)=3−4x5 + x2, deg 3 4x
(
− 5+x2)
=5Remarque :
. Le polynôme de degré 0 est une constante.
. Le polynôme de degré 1 est de la forme :
( )
P x =ax b+ , appelé binôme.
. Le polynôme de degré 2 est de la forme :
( )
2P x =ax +bx c+ , appelé trinôme.
2. Égalité de deux polynômes Définition
Deux polynômes non nuls sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
Soient deux polynômes :
n nx a x
a x a a x
P( )= 0 + 1 + 2 2 + + et Q(x)=b0 +b1x+...+bnxn
P(x)=Q(x) ai =bi, i =0,1,2,3,...,n.
Exemple : Soit P(x)=1−x2+4x3−2x4 et Q(x)=a+bx+cx2+dx3+ex4
−
=
=
−
=
=
=
=
2 4
1 0 1
) ( ) (
e d c b a
x Q x P
3. Valeur et racine d’un polynôme.
1) Valeur d’un polynôme Définition
Soit un polynôme P(x)=a0 +a1x+a2 x2 + +anxn
➢ Pour x=c, on a P(c)=a0 +a1c+a2c2 +...+ancn )
(c
P est appelé valeur de P(x). Remarque
. P 0
( )
=a0 est une constante.. P 1
( )
= + + + +a0 a1 a2 ... an est la somme de tout les coefficients du polynôme.Exemple 1 : Soit P x
( )
=(2x2− +3x 1)1980+(2x3+ −3x 4)1981On a :
=
=
5943 1981
3
3960 1980
2
Donc . deg
(
P x( ) )
=1981 3 5943 = . a0 =P(0)=( )11980 +( )−41981=1−41981. P(1)=a0 +a1+a2 +...+a5943 =01980 +11981 =1. Exemple 2 : Soit P(x)=
(
x2 −2x+1)
2000+(
2x3 +3x−4)
2001On a :
=
=
6003 2001
3
4000 2000
2
Donc . deg
P(x)
=6003. a0 =P(0)=( )12000 +( )−4 2001 =1−42001
. P(1)=a0+a1+a2 +...+a6001=02000+12001 =1.
2) Racine d’un polynôme
Définition
On appelle racine d’un polynôme P x( ), le nombre qui annule ce polynôme.
( )
P c =0, c est une racine de P x( )
Exemple : P(x)=x2+3x−10. Trouver ses racines.
On résout l’équation P(x)=0
On a P(x)=0x2+3x−10=0
( )( )
=
−
=
=
− +
= 2
0 5 2 5 0
)
( x
x x x x
P
Donc P(x)=x2+3x−10 a pour racines x=−5 et x=2.
Exercices 1
1. Soit P(x)=(−x3 +3x−1)1990 +(3x2 −2x−1)1996.
Trouver deg(P(x)), le terme constant et la somme des coefficients de P(x) 2. Soit P(x)=(−x3+3x−1)10+(x5+x−2x4−2)16.
Trouver deg(P(x)), le terme constant et la somme des coefficients de P(x) 3. Soit P(x)=(−x3−3x+1)1000 +(−x2+2x−1)2000.
Trouver deg(P(x)), le terme constant et la somme des coefficients de P(x) 4. Soit P(x)=(x5−3x3−2x2+1)2000 +(−2x2+7x2+x−2)2006.
Trouver deg(P(x)), le terme constant et la somme des coefficients de P(x) 5. Pour chacun des polynômes suivants, trouver les racines.
a. P(x)=x2−x−12
b. P(x)=x2−5x−14
c. P(x)=x2−3x+2
d. P(x)=3x3+4x2−5x−2
6. Quels sont les racines de chacun des polynômes suivants.
a. P(x)=x3+2x2−5x−6, x=2 ou x=3
b. P(x)=x4−x3−6x2, x=0 et x=2 ou x=0 et x=3
7. pour chacun des cas suivants, trouver les réels a et b.
a. 2x4 +5x3 +3x2 −2x−8=(x2 +x−2)(2x2 +ax+b) b. x5 −5x3 +4x2 −3x−2=(x−2)(x4 +ax3 +bx2 +2x+1)
c. x6 −3x5 +2x4 −16x3 +48x2 −32x =(x2 −3x+2)(x4 +ax+b).
