PROBLEME DE GEOMETRIE ( 10 POINTS )
I RESTITUTION ORGANISEE DE CONNAISSANCES.
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonomal (O, i , j ) ( unités 2cm ).
Soit D l'ensemble des points M dont les coordonnées ( x , y ) dans le repère précédent vérifient L’équation : ax +by + c = 0 a, b et c étant trois nombres réels donnés tels que a et b ne soient pas nuls simultanément.
1°) a) Quelle est la nature géométrique de l’ensemble D ? b) Quel nom porte l'équation qui définit D ?
2°) a) Préciser les coordonnées d'un vecteur directeur de D
b) Ecrire l'équation réduite de D en fonction des nombres réels a, b et c
3°) Soient D et D' les droites d'équations respectives : y =nx +p et y = n'x +p' dans lesquelles n , n' , p et p' désignent des nombres réels donnés.
A quelle relation simple doivent satisfaire n et n' pour que : a) D soit parallèle à D' ?
b) D soit orthogonale à D' ?
II APPLICATION . On désigne par :
n un nombre pouvant prendre toutes valeurs réelles.
U le vecteur de coordonnées (1, n).
A le point de coordonnées (0, 3).
M un point de coordonnées (x, y).
Dn la droite de vecteur directeur U et contenant le point A.
A/ EQUATION REDUITE
1°) Etablir qu'une équation réduite de Dn est : y = nx + 3.
On précisera le raisonnement utilisé ainsi que le détail des calculs.
2°) Justifier qu'aucune droite Dn passe par l'origine du repère.
3°) En quel point Dn rencontre -elle toujours l'axe des ordonnées ?
B/ FAMILLE DE DROITES.
On considère la famille de droites Dn d'équation y = nx + 3 dans laquelle n peut prendre toutes les Valeurs réelles. Exemple : D-1 est associée à n = -1 et a pour équation y = (-1) x + 3 = -x +3.
Déterminer la valeur du nombre reél n pour que Dn : 1°) contienne le point B de coordonnées (2, -1).
2°) soit parallèle à la droite (Ϫ) d'équation y = -2x + 5.
3°) ait pour vecteur directeur V (1, 2).
4°) soit parallèle à l'axe des abscisses.
5) soit orthogonale à la droite(µ) d’équation cartésienne : 3x -2y + 6 = 0.
6) ait pour équation cartésienne 5x -2y + 6 = 0.
7°) rencontre l'axe des abscisses en -1,5.
8°) contienne le segment [C D] C et D ayant pour coordonnées respectives (-1 ; 4) et (2, 2).
C/ Construire sur une même figure U ; V ; A; B ; C; D ; (Ϫ), (µ) et toutes les droites Dn obtenues au B.
