E7 - Equation de droites – ex corrigé (2nde)
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1
Exercice équation de droites (seconde)
Corrigé
1) I est le milieu de [AB], d’où : 𝑥𝐼 = 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵
2 =−2 + 0
2 = −1 𝑦𝐼 = 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵
2 = 4 + 1 2 =5
2 Donc 𝐼 (−1;5
2)
J est le milieu de [BC], d’où : 𝑥𝐽 = 𝑥𝐵+ 𝑥𝐶
2 =0 + 2 2 = 1 𝑦𝐽 = 𝑦𝐵+ 𝑦𝐶
2 = 1 + 5 2 = 3 Donc 𝐽 (1; 3)
2)
La droite (𝐼𝐶) a une équation de la forme 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Calculons le coefficient directeur a
𝑎 =𝑦𝐼 − 𝑦𝐶 𝑥𝐼− 𝑥𝐶 =
5 2 − 5
−1 − 2= 5 6 Donc (𝐼𝐶): 𝑦 =5
6𝑥 + 𝑏
Calculons l’ordonnée à l’origine 𝑏
Le point 𝐶 appartient à la droite (𝐼𝐶) donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite (𝐼𝐶). d’où : 𝑦𝐶 =5
6𝑥𝐶+ 𝑏 ⇔
5 =
56× 2 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = 103
Donc (𝐼𝐶): 𝑦 =5
6𝑥 +10 3
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2
La droite (𝐴𝐽) a une équation de la forme 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Calculons le coefficient directeur a
𝑎 =𝑦𝐴− 𝑦𝐽
𝑥𝐴− 𝑥𝐽 = 4 − 3
−2 − 1= −1 3 Donc (𝐼𝐶): 𝑦 = −1
3𝑥 + 𝑏
Calculons l’ordonnée à l’origine 𝑏
Le point 𝐴 appartient à la droite (𝐴𝐽) donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite (𝐴𝐽). d’où : 𝑦𝐴 = −1
3𝑥𝐴+ 𝑏
⇔ 4 =
−13× (−2) + 𝑏
⇔
𝑏 = 10 3 Donc (𝐴𝐽): 𝑦 = −13𝑥 +10 3
3) Pour calculer le point d’intersection des droites (𝐼𝐶) et (𝐴𝐽), il faut résoudre le système suivant :
{
𝑦 = 5
6𝑥 +10 3 𝑦 = −1
3𝑥 +10 3
⇔ {
𝑦 = 5
6𝑥 +10 3 5
6𝑥 +10
3 = −1
3𝑥 +10 3
⇔ {
𝑦 = 56𝑥 +10 3 7
6𝑥 = 0
⇔ {
𝑦 = 56𝑥 +10 3 𝑥 = 0
⇔ {
𝑦 = 56× 0 +10 3 𝑥 = 0
⇔ {
𝑦 = 103 𝑥 = 0
Donc 𝐾 (
0; 103
)
4) Si M est le symétrique de K par rapport à I alors I est le milieu du segment [KM]
Donc : 𝑥𝐼 = 𝑥𝐾+ 𝑥𝑀
2 ⇔ −1 = 0 + 𝑥𝑀
2 ⇔ −2 = 𝑥𝑀
𝑦𝐼 = 𝑦𝐾+ 𝑦𝑀
2 ⇔5 2=
10 3 + 𝑦𝑀
2 ⇔ 5 = 10
3 + 𝑦𝑀 ⇔5 3= 𝑦𝑀 Donc
𝑀 (
−2; 53
)
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3 5) Propriété : Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur
La droite (𝑑) a une équation de la forme 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Calculons le coefficient directeur a
𝑎 =𝑦𝐴− 𝑦𝐶
𝑥𝐴− 𝑥𝐶 = 4 − 5
−2 − 2=1 4 Donc (𝑑): 𝑦 =1
4𝑥 + 𝑏
Calculons l’ordonnée à l’origine 𝑏
Le point 𝐵 appartient à la droite (𝑑) donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite (𝑑). d’où : 𝑦𝐵= 1
4𝑥𝐵+ 𝑏 ⇔
1 =
14× 0 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = 1 Donc (𝑑): 𝑦 =1
4𝑥 + 1
6) On va déterminer l’équation de la droite (𝐴𝐵) et montrer que les coordonnées du point D vérifient l’équation de la droite (𝐴𝐵)
La droite (𝐴𝐵) a une équation de la forme 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Calculons le coefficient directeur a
𝑎 =𝑦𝐴− 𝑦𝐵
𝑥𝐴− 𝑥𝐵 = 4 − 1
−2 − 0= −3 2 Donc (𝐴𝐵): 𝑦 = −3
2𝑥 + 𝑏
Calculons l’ordonnée à l’origine 𝑏
Le point 𝐵 appartient à la droite (𝐴𝐵) donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite (𝐴𝐵). d’où : 𝑦𝐵 = −3
2𝑥𝐵+ 𝑏
⇔ 1 =
−32× 0 + 𝑏
⇔
𝑏 = 1 Donc (𝐴𝐵): 𝑦 = −32𝑥 + 1
Vérifions que les coordonnées du point 𝐷 (1
2;1
4) vérifient l’équation de la droite (𝐴𝐵) On remplace 𝑥 par 𝑥𝐷 dans l’équation :
𝑦 = −3 2×1
2+ 1 = 1 4= 𝑦𝐷 Donc 𝐷 ∈ (𝐴𝐵)
Donc les points A, B et D sont alignés.
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4 7)
L’équation de l’axe des ordonnées est : 𝑥 = 0
Pour calculer le point d’intersection des droites (∆) avec l’axe des ordonnées, il faut résoudre le système suivant :
{
𝑦 = − 1 2𝑥 + 8 𝑥 = 0⇔ {
𝑦 = − 12× 0 + 8 𝑥 = 0
⇔ {
𝑦 = 8 𝑥 = 0Donc 𝐻 (
0; 8)
L’équation de l’axe des abscisses est : 𝑦 = 0
Pour calculer le point d’intersection des droites (∆) avec l’axe des abscisses, il faut résoudre le système suivant :
{
𝑦 = − 1 2𝑥 + 8 𝑦 = 0⇔ {
0 = − 1 2𝑥 + 8 𝑦 = 0⇔ {
1 2𝑥 = 8𝑦 = 0
