Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚3
Enveloppe d’une famille de droites
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j).
Pour toutt∈R, on noteDtla droite d’´equation cart´esienne
cos(t)X+ sin(t)Y = cos(2t).
1. Le code ci-dessous permet de visualiser le support de la famille de droites, de mani`ere anim´ee.
with(plots):
T := 10 ; L := [ ] ; pas := 2*Pi/T ; for i from 1 to T do
t := i * pas ;
droite := implicitplot( X*cos(t)+Y*sin(t)=cos(2*t) , X=-2..2 , Y=-2..2 , numpoints=2) ; L := L , droite ;
od:
display( L , insequence=true , scaling=constrained ) ;
(a) Commenter chaque ligne de ce programme.
(b) Saisir, puis ex´ecuter le programme pr´ec´edent.
2. Montrer, `a l’aide de Maple, que la famille de droites (Dt)t∈R poss`ede une enveloppe.
3. D´eterminer, `a l’aide de Maple, l’enveloppe
C:R→R2; t 7→(x(t), y(t)) de la famille de droite (Dt)t∈R.
x(t) = y(t) =
4. Justifier que le domaine d’´etude peut-ˆetre r´eduit `a l’intervalle h 0,π
2
i et expliquer comment l’on peut d´eduire le support de la courbe C `a partir du support de la courbeCrestreinte `ah
0,π 2
i.
1
5. Justifier que les fonctionsxety sont de classeC∞ surh 0,π
2 i.
6. Calculerx′ et y′ au moyen de Maple.
x′(t) =
y′(t) =
7. Montrer, `a l’aide de Maple, que la courbe C poss`ede un unique point singulier atteint en un temps t0∈h
0,π 2
ique l’on pr´ecisera.
t0 =
−−−−−→ OM(t0) =
2
8. ´Etudier, `a l’aide de Maple, l’allure du support de la courbeC au voisinage de pointM(t0).
x(t0) =
y(t0) =
p =
−→
Vp =
q =
−→
Vq =
9. Dresser le tableau des variations conjointes de xet de y.
t
Signe dex′
Variations dex
Variations de y
Signe dey′
3
10. Repr´esenter l’allure du support de la courbeC.
0.5 1.0 1.5 2.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
0.5 1.0 1.5 2.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
−2.5
11. V´erifier la r´eponse donn´ee `a la question pr´ec´edente `a l’aide de Maple.
12. ´Ecrire un programme qui affiche le support de la famille de droites (Dt)t∈R ainsi que le support de son enveloppe C, de mani`ere anim´ee afin de v´erifier visuellement la propri´et´e caract´erisant l’enveloppe d’une famille de droites.
4
