A2826. Une erreur de calcul
Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule S = somme de toutes les fractions de la forme xi/xj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ 20, 1≤ j ≤ 20.
Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la forme yi/yj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ k, 1≤ j ≤ k est aussi égale à S.
Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.
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S=2020 car la somme de toutes les fractions de la forme xi/xj correspond au produit des vingt nombres réels positifs xi avec leur inverse, soit 85 x 24 = 2040, de laquelle on a ôté la somme des 20 fractions de la forme xi/xi=1, soit 20 x 1 = 20.
Si Puce pense avoir trouver le même résultat avec sa suite de chiffres, on en déduit en reprenant le raisonnement ci-dessus que celle-ci en contient 47 car 159 x 13 = 2067 – 2020 = 47.
Mais on remarque que la moyenne arithmétique des réels choisis par Puce (159/47 = 3,383) est inférieure à leur moyenne harmonique (47/13 = 3,615), ce qui est impossible, la moyenne arithmétique d’une suite de réels strictement positifs étant toujours supérieure ou égale leur moyenne harmonique.
Puce a donc forcément commis une erreur de calcul.
