A2826 - Une erreur de calcul

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Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule S =∑xi/xj=somme de toutes les fractions de la forme xi/xj

i ≠ j, 1≤ i ≤ 20, 1≤ j ≤ 20.

Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la forme yi/yj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ k, 1≤ j ≤ k est aussi égale à S.

Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.

En ajoutant les fractions de la forme x

i

/x

i

, on obtient S+20=∑x

i

*∑(1/x

j

), donc S=85*24-20=2020.

Si Puce fait le même calcul il obtient S’ tel que S’+k=159*13=2067. Si S’=S, k=47, soit une moyenne arithmétique des nombres y

i

égale à 159/47=3,38... et une moyenne harmonique égale à 47/13=3,61...

La moyenne harmonique serait donc supérieure , ce qui est impossible avec des nombres strictement positifs : Puce a effectivement fait une erreur de calcul.