A2826 – Une erreur de calcul [** à la main]
Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule S =
i j 20
1 j
i
x
x = somme de toutes les fractions de la forme
j i
x x avec
i ≠ j, 1≤ i ≤ 20, 1≤ j ≤ 20.
Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la forme
j i
y
y avec
i ≠ j, 1≤ i ≤ k, 1≤ j ≤ k est aussi égale à S.
Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.
Solution proposée par Bernard Vignes
En multipliant la somme des xi par la somme des inverses 1/ xi,on obtient S + 20 fractions égales à xi . 1/ xi = 1.
D’où S = 85.24 – 20 = 2020
Si le calcul de Puce est exact on a un nombre k de nombres réels positifs tels que 159.13 + k = 2020.
D’où k = 47.
Mais alors moyenne arithmétique = 159/47 = 3.3829… < moyenne harmonique 47/13 = 3.6153..Contradiction.
