Examen du 16 Mai 2011

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Physique-Chimie ModuleMAT3

Examen du 16 Mai 2011

Dur´ee : 2h

Questions de cours.

(1) Soit B la boule {(x, y, z) ∈ R³; x² +y² +z² < 1} dans R³. Pour α > 0, calculer l’int´egrale

I(α) = Z

B

(x²+y²+z²)^αdxdydz

en int´egrant en coordonn´ees sph´eriques.

(2) Soient R > 0 et α, β ∈]0, π/2[. On note D(R, α, β) ⊂ R² le domaine donn´e en coordonn´ees polaires (x, y) = (rcosθ, rsinθ) par

0≤r ≤R et −β ≤θ ≤α .

DessinerD(R, α, β), puis d´eterminer les coordonn´ees de son centre de gravit´e.

(3) Soit Γ la partie de la courbe d’´equationy=x³ joignant le point (−1,−1) au point (1,1). Dessiner Γ et calculer l’int´egrale curviligneI =R

Γx⁴ydx+x²y²dy.

(4) ´Enoncer la formule de Green-Riemann, et d´emontrer cette formule dans le cas d’un rectangle.

Exercice 1. Dans tout l’exercice, d est un entier strictement positif. On notek kla norme euclidienne sur R^d : si x= (x₁, . . . , x_d)∈R^d, alors

kxk= (x²₁+· · ·+x²_d)^1/2.

Pour r >0, on note B_d(r) la boule euclidienne de centre 0 et de rayon r dans R^d : B_d(r) ={x∈R^d; kxk< r},

et on note V_d(r) le volumed-dimensionnel de B_d(r),

V_d(r) = Z

B_d(r)

dx₁. . . dx_d.

(1) Soitϕ: [0,∞[→Rune fonction positive de classeC¹, d´ecroissante et tendant vers 0 `a l’infini.

(a) Montrer que pour tout x∈R^d, on a ϕ(kxk) =−R∞

kxkϕ⁰(r)dr.

1

2

(b) En d´eduire (`a l’aide du th´eor`eme de Fubini) l’identit´e Z

R^d

ϕ(kxk)dx₁. . . dx_d=− Z ∞

0

ϕ⁰(r)V_d(r)dr .

(2) Soit r > 0. Calculer le d´eterminant Jacobien de l’application Φ : R^d → R^d d´efinie par Φ(u₁, . . . , u_d) = (ru₁, . . . , ru_d), puis montrer qu’on a

V_d(r) =r^dV_d(1).

(3) Soit `a nouveauϕ: [0,∞[→Rune fonction positive de classe C<sup>1</sup>, d´ecroissante et tendant vers 0 `a l’infini. En utilisant (1), (2) et une int´egration par parties, montrer qu’on a

Z

R^d

ϕ(kxk)dx1. . . dxd=d Vd(1) Z ∞

0

r^d−1ϕ(r)dr .

(4) D´eterminer pour quelles valeurs deα >0 la fonctionx7→ _1+kxk¹ α est int´egrable surR^d.

Exercice 2. Dans tout l’exercice, Γ est une courbe ferm´ee r´eguli`ere dans R² en- tourant un domaine Ω.

(1) On oriente Γ dans le sens positif. Montrer que l’aire de Ω est donn´ee par la formule

aire(Ω) = 1 2

Z

Γ

xdy−ydx .

(2) On suppose que Γ admet un param´etrage γ : [α, β]→R² de la forme γ(θ) = (r(θ) cosθ, r(θ) sinθ),

o`u r est une fonction de classe C¹. Montrer qu’on a aire(Ω) = 1

2 Z β

α

r(θ)²dθ .

(3) Soit a >0. On suppose que Γ est d´efinie par l’´equation polaire r=a(1 + cosθ),

o`u θ varie entre 0 et 2π.

(a) Calculer l’aire de Ω.

(b) Question hors-barˆeme. Dessiner Γ.