G 273. Triangulations par paquets.

G 273. Triangulations par paquets.

On me donne n points dans le plan, trois d’entre eux n’étant jamais sur la même droite.

Je les répartis en 100 sous-ensembles disjoints, en sorte de minimiser le nombre total de triangles que je peux former avec trois points du même sous-ensemble (ces triangles sont comptés comme distincts même quand ils ont un ou deux sommets en commun). Déterminer n, sachant que chaque sous-ensemble

contient au moins 3 points et qu’il y a 116280 triangles.

Solution proposée par Michel Lafond:

Soient n₁, n₂, n₃, --- , n₁₀₀ les effectifs des sous-ensembles de la partition supposés classés par ordre croissant.

Il sont tous au moins égaux à 3 et leur somme est égale à 100.

Soit C_i = ³

ni

C le nombre de triangles réalisables dans la partie numéro i.

Les C_i sont eux aussi classés par ordre croissant si les n_i ne sont pas trop grands.

On a S = C1 + C2 + C3 + --- + C100 = 116280.

Puisque S a été minimisée, c’est que les C_i sont aussi voisins que possibles, en effet :

Si a, b sont deux entiers naturels tels que b  a + 2 alors C_a³ C_a³ C_a³_1C_b³_1 car cette dernière inégalité équivaut après simplification à 3a²3a3b²9b60 soit (ba)(ba1)2(b1) qui est vraie puisque b – a  2 et b + a – 1  b – 1.

Quelques essais montrent que 88C₂₀³ 12C₂₁³ 881140121330116280

Dans cette somme, les n_i sont tous égaux à 20 ou 21 et cette somme ne peut être minimisée d’après la remarque précédente.

Le nombre de points est 88  20 + 12  21 = 2012.