PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (13 points)

(1)

COLLÈGE LA PRÉSENTATION

BREVET BLANC Novembre 2009 classe de 3^e

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures

Présentation et orthographe : 4 points

Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (13 points)

Exercice 1 (3 points)

A = 3 7−2

7×21 8 A = 3

7−2×3×7 7×2×4 A = ³₇⁻ ³₄ A = 3×4

7×4−3×7 4×7 A = ¹²₂₈⁻²¹₂₈ A = − 9

28

B = 3×10²×1,8×10⁻³ 6×10⁴ B = 3×1,8

6 ×10²×10⁻³ 10⁴ B = 0,9×10⁻⁵ B = 0,000 009 B = 9×10⁻⁶

C = 10−−2×2−3 5 C = 10−−2×−1 5

C = 10−25 C = 10−7 C = 3

Exercice 2 (5 points)

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées ; une seule est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la ligne et recopier la réponse exacte.

Aucune justification n'est demandée.

L1 28×10⁻³ est égal à 0,280 0,028 28 000

L2



³4



²⁻¹4 est égal à 2 1

2

5 16 L3 2

3−5

61 est égal à 5

6 −7

6 0

L4 L'équation ^x 2=6

5 a pour solution 3 5

3

12 5 L5 10²×10⁻¹×10⁻³

10⁻⁴ est égal à 10 100 1

10

(2)

Exercice 3 (2 points)

1. Les nombres 540 et 288 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux pairs donc au moins divisible par deux. Or si deux nombres sont premiers entre eux, leur PGCD est 1.

2. PGCD540 ; 288 =PGCD288 ; 252 =PGCD252 ; 36 =36 car 252=36×7

3. 540

288=540÷36 288÷36=15

8 . En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, la fraction simplifiée est irréductible.

Exercice 4 (3 points)

1. PGCD175 ; 126 =PGCD126 ; 49 =PGCD49 ; 28 =PGCD28 ; 21 =PGCD21 ; 7 =7 car 21=7×3

2. a) Le commerçant a choisi de confectionner des sachets tous identiques. Il voudrait en avoir le plus grand nombre en utilisant toutes les boules. Donc le nombre de sachets est égal au PGCD de 175 et 126, c'est-à-dire 7 puisqu'on l'a calculé à la question 1.

b) 175÷7=25 et 126÷7=18.

Les sachets contiendront 25 boules rouges et 18 boules bleues.

PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (11 POINTS)

Exercice 1 (6 points)

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.

On considère un cercle ( C ) de centre O et de diamètre 8 cm.

I et J sont deux points de ( C ) diamètralement opposés ; K est un point de ( C ) tel que JK = 4 cm.

1. On sait que [IJ] est un diamètre du cercle ( C ) et que K est un point de ( C ).

Or si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l'hypoténuse.

Donc le triangle IJK est rectangle en K.

2. Puisque le triangle IJK est rectangle en K, d'après le théorème de Pythagore, on a : IJ²=IK²JK² d'où IK²=IJ²−JK²

O J

I

( ) K

(3)

soit en utilisant les données numériques : IK²=8²−4² soit IK²=48

soit encore IK=



⁴⁸

Alors IK ≈ 6,9 cm en arrondissant au dixième.

3. Les longueurs OJ et OK sont deux rayons du cercle donc OJ = OK = 4 cm.

On sait de plus que JK = 4 cm, donc OJ = OK = JK. Dans le triangle OJK, les trois côtés sont égaux donc le triangle OJK est équilatéral.

4. On sait que R est le symétrique de K par rapport à la droite (IJ), donc la droite (IJ) est la médiatrice du segment [RK].

Le point J appartient à la médiatrice de [RK].

Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

Donc JK = JR.

D'après le 3., on sait que OJ = OK = JK et d'après le 4., on sait que JK = JR.

Donc OJ = OK = JK = JR.

Or, si un quadrilatère a quatre côtés égaux alors c'est un losange.

Donc ROKJ est un losange.

Exercice 2 (4 points)

Sur la figure ci-dessus :

– les points K, A, F, C sont alignés;

– les points G, A, E, B sont alignés;

– (EF) et (BC) sont parallèles;

– AB = 5 cm et AC= 6,5 cm.

– AE = 3 et EF = 4,8 cm.

– AK = 2,6 cm et AG = 2 cm.

1. Les droites (BE) et (CF) sont sécantes en A et les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a : AE

AB= AF AC= EF

BC soit en utilisant les données numériques : 3

5= AF 6,5= 4,8

BC On a alors : ³₅⁼_BC^4,8 d'où BC=4,8×5

3 soit BC = 8 cm.

2. D'une part : ^AB AG=5

2=2,5 D'autre part : AC

AK =6,5 2,6=2,5 On constate que ^AB

AG = AC

AK. De plus les points K, A, C et les points G, A, B sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (KG) et (BC) sont

parallèles.

A

K G

F

C E

B

(4)

3. Dans le triangle ABC, on a :

AB²=5²=25 et BC²AC²=8²6,5²=6442,25=106,25

On constate que AB²≠BC²AC². Or d'après le théorème de Pythagore, si (AC)⊥(BC) alors on aurait AB²=BC²AC². Comme ce n'est pas le cas, les droites (AC) et (BC) ne sont pas perpendiculaires.

PARTIE 3 : PROBLÈME (12 POINTS)

1. Le point A appartient à la médiatrice du segment [BC].

Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

Donc AB = AC.

Si un triangle a deux côtés égaux alors il est isocèle.

Donc le triangle ABC est isocèle en A.

2. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Donc  est perpendiculaire à [BC] en H, donc (AH)⊥(BC) ; donc le triangle ABH est rectangle en H.

D'après le théorème de Pythagore, on a : AB²=AH²HB² Soit AB²=4²3²

soit AB²=169=25 alors AB=



²⁵⁼⁵

On a donc bien AB = 5 cm.

3. Dans le triangle ABH, on a : E ∈ [BH], F ∈ [BA] et (EF) // (AH).

D'après le théorème de Thalès, on peut écrire : BE BH =BF

BA= EF HA En utilisant les données numériques, cela donne : ²

3=BF BA= EF

4 soit en particulier : BF

BA =2 3 On en déduit BF

5 =2

3 d'où BF= 2×5 3 =10

3

(5)

4. a) Le triangle ABH est rectangle en H, donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse [AB]. Donc I est le milieu de [AB].

De même le triangle ACH est rectangle en H, donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse [AC]. Donc J est le milieu de [AC].

Dans le triangle ABC, on a alors I milieu de [AB] et J milieu de [AC].

Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Donc (IJ) // (BC).

b) Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

Donc ^IJ⁼¹₂ ^BC⁼¹₂^×6⁼³ Donc IJ = 3 cm.

5. On sait que dans le triangle ABC, la médiatrice de [BC] coupe ce segment en H, donc H est le milieu de [BC].

De plus, on sait que I est le milieu de [AB].

Or dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

Donc IH= 1 2 AC.

De même, puisque J est le milieu de [AC] et H milieu de [BC], alors ^JH⁼¹

2 AB.

De plus, on sait que AB = AC ; on en déduit que IH = JH.

Enfin, puisque I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], alors AI=1

2 AB=JH et AJ=1

2 AC=IH.

Donc, dans le quadrilatère AIJH, on a AI = IH = HJ = AJ.

Or, dans un quadrilatère a ses côtés de même longueur, alors c'est un losange.

Donc AIJH est un losange.