L2. Application du calcul diff´erentiel aux courbes et surfaces

L2. Application du calcul diff´erentiel aux courbes et surfaces

Mardi 5 Juin 2007. Dur´ee : 2h00 Les notes de cours sont autoris´ees.

Probl`eme 1. On ´etudie la famille de courbes planes Γ_c de R² \ {(0,0)}

d´efinie par l’´equation

ln(x²−xy+y²) =c avec c∈R.

1) Montrer que quel que soit c∈R,l’ensemble Γ_c n’est pas vide.

2) D´eterminer les valeurs dec pour lesquelles Γ_c est r´eguli`ere.

3) D´eterminer la droite tangente de Γ0 au point ( 2

√ 3, 1

√ 3).

4) D´eterminer la courbure de Γ0 au point ( 2

√ 3, 1

√ 3).

Probl`eme 2. SoitD le domaine deR² d´efini par :

D={(x, y)∈R² |0≤x≤1, 0≤y≤(1−x)²}.

1) Calculer l’aire de Den utilisant la formule de Green-Riemann.

2) Calculer l’int´egrale double

J = Z Z

D

(x²+y²)dxdy.

3) Calculer l’int´egrale curviligne

I = Z

∂⁺D

(2y−y³)dx+ (2x+x³)dy

4) Comparer I etJ. Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ?

Probl`eme 3.Soit s7→(f(s), g(s)), s∈[0, L],une courbe r´eguli`ere du plan (0xy) param´etr´ee par l’abscisse curviligne et telle que f(s)>0 pour touts.

On consid`ere la surfaceS param´etr´ee par F : [0, L]×R −→ R³

(s, u) 7−→ (f(s) cosu, f(s) sinu, g(s) +au) o`ua >0.

1) Montrer que F est un param´etrage r´egulier.

2) Donner une base du plan tangent ainsi que l’expression d’une normale unitaire.

1

3) On note R_θ la rotation d’angle θautour de l’axe (Oz) ett_b la trans- lation (x, y, z)7→(x, y, z+b).Montrer queRθ◦taθ(F(s, u)) =F(s, u+θ) et en d´eduire queS est invariante par le vissageR_θ◦t_aθ.

4) Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant surf pour que l’angle entre la normale et l’axe (Oz) soit constant sur S. (Suggestion.–

Consid´erer le produit scalaire entre la normale unitaire et le vecteur e3 = (0,0,1)).

5) On suppose que f(s) =Ke^αs o`u K > 0 et α 6= 0. Calculer l’aire de l’imageS1 :=F([0, L]×[0,2π]).

Probl`eme 4. Soit γ : [0, L] → R<sup>3</sup> une courbe bir´eguli`ere param´etr´ee par l’abscisse curviligne. Le but de cet exercice est de d´eterminer la sph`ere os- culatrice de γ qui est la sph`ere ayant le meilleur contact possible avecγ en un point donn´e. Soit m ∈ R³, On note S_m,r la sph`ere de centre m et de rayon r (son ´equation cart´esienne est donc kx−mk<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>). On consid`ere l’application

f : [0, L] −→ R³

s 7−→ kγ(s)−mk²−r².

1) Que signifient g´eom´etriquement les conditionsf(0) = 0 etf⁰(0) = 0 ? 2) On dit que γ a un contact d’ordre au moins trois avecSm,r enγ(0) si f(0) = 0, f⁰(0) = 0, f⁰⁰(0) = 0 et f⁰⁰⁰(0) = 0.D´eduire de ces conditions les coordonn´ees du vecteurγ(0)−m dans la base de Frenet (t, n, b) enγ(0).

3) En d´eduire m, puis r, en fonction des donn´ees de γ en 0 (courbure, torsion, tri`edre de Frenet...).

4) On suppose que l’image de γ est contenue dans une sph`ere de rayon r. D´eduire des questions pr´ec´edentes une relation entre la courbure et la torsion deγ aux points o`u la torsion ne s’annule pas.

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