Interrogation N°1

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Interrogation N°1

R.O.C 4 pts

Pré-requis :

• exp(0) = 1,

• la fonction exp est définie et dérivable surRavec

• pour toutx∈R exp(x)6= 0,

• (exp)^′= exp.

En utilisant les pré-requis, démontrer le théorème suivant :

Soitkun réel donné. Il existe une unique fonctionf, dérivable surR, telle quef^′=kf etf(0) = 1. Cette fonctionf est définie surRparf(x) = exp(kx).

Exercice 6 pts

Soit la fonctionf définie sur Gpar :f(x) = (x²−3)e^x. 1. Résoudre dansRl’équationf(x) = 0.

2. Étudier le sens de variation de f.

3. Déterminer les extremums locaux def. 4. En déduire que pour toutx∈R,f(x)≥ −2e.

L^ATEX

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Interrogation N°1

R.O.C

Soit la fonctionf définie sur Rparf(x) = exp(kx).

On af(0) = exp(0) = 1 de plus pour tout réelxon af^′(x) =kexp(kx) =kf(x). La fonctionf est bien une solution de l’équation différentiellef^′ =kf avecf(0) = 1.

Sigest une fonction telle queg^′=kgetg(0) = 1, comme la fonction exponentielle ne s’annule pas, on peut définir pour tout réelx, la fonctionφ(x) = g(x)

exp(kx).

La fonctionφest dérivable (quotient de fonctions dérivables) surRet on a : φ^′(x) = g^′(x) exp(kx)−kg(x) exp(kx)

exp(kx)² φ^′(x) = kg(x)−kg(x)

exp(kx) φ^′(x) = 0.

La fonctionφest constante surR, orφ(0) = g(0) exp(0) = 1.

On en déduit que pour tout réel x, φ(x) = 1 soit g(x)

exp(kx) = 1 et doncg(x) = exp(kx).

L’unique solution de l’équation différentiellef^′=kf avecf(0) = 1 est donc la fonctionx7→exp(kx)

Exercice

1. f(x) = 0

(x²−3)e^x= 0 or e^x6= 0 x²−3 = 0

x=−√

3 oux=√ 3

Les solutions de l’équationf(x) = 0 sontx1=−√

3 etx2=√ 3.

2. La fonctionf est dérivable surRet on a pour tout x∈R f^′(x) = 2xe^x+ (x²−3)e^x

f^′(x) = (x²+ 2x−3)e^x

Comme e^x>0,f^′(x) est du signe dex²+ 2x−3.

Ce trinôme admet deux racines−3 et 1 et est du signe dea= 1 à l’extérieur des ses racines.

x −∞ −3 1 +∞

f^′(t) + 0 − 0 +

f

6e⁻³

−2e

3. La fonction dérivée s’annule en changeant de signe respectivemment en−3 et 1, la fonctionfadmet donc un maximum local en−3 qui vaut 6e⁻³ et un minimum local en 1 qui vaut−2e.

4. À l’aide du tableau on déduit que pour toutx∈[−3; +∞[,f(x)≥ −2e.

On sait que f(x) est du signe de x²−3 or ce trinôme admet deux racines −√ 3 et √

3 et est du signe de a = 1 à l’extérieur des ses racines donc pourx <−√

3 on af(x)>0.

Pour x∈]− ∞;−3],f(x)>0>−2e, on en conclut que pour toutx∈R,f(x)≥ −2e.

L^ATEX