SUR LES FONCTIONS A UN NONBRE FINI DE BRANCHES SATISFAISANT A UNE EOUATION DIFFERENTIELLE
D U P R E M I E R 0 R D R E .
PAR
J. MALMQUIST STOCKHOL~I,
I. Duns u n t r a v a i l p r ~ c 6 d e n t 1 n o u s a v o n s ~tudi~ les f o n c t i o n s s u n h o m b r e fini de b r a n c h e s s a t i s f a i s u n t s u n e d q u a t i o n diff~rentielle de la f o r m e
d.~ _ • (x, y),
d x
off R(x, y)
es~ u n e f o n c t i o n r a t i o n n e l l e de x, y. Duns le t r a v a i l p r 6 s e n t nous n o u s p r o p o s o n s de f a i r e l ' 6 t u d e a n a l o g u e p o u r u n e d q u a t i o n de la f o r m e g~n@rule(i) ~ o ( y ; x ) + F l ( . v ; x ) \ ~ x x ! + ... + F ~ ( y ; x ) = o ,
off ~'o, F1 . . . . Fm s o n t des f o n c t i o n s enti~res et r a t i o n n e l l e s de y d o n t les coefficients s o n t des f o n c t i o n s alg~briques de x. On p e u t s u p p o s e r que la f o n c t i o n
F(~', y; x) = n0 (y; ~)y'~ + . . + ~'~ (y; x) de
y', y
est i r r 4 d u c t i b l e p o u r u n e v a l e u r quelconque de x.N o u s r a p p e l o n s q u e l q u e s r ~ s u l t a t s c o n n u s d o n t n o u s a u r o n s besoin duns la suite. Si l ' o n fair, au besoin, u n e s u b s t i t u t i o n de la f o r m e y---a + - , I off a
z
est u n e c o n s t a n t e c o n v e n a b l e , on p e u t s u p p o s e r q u ' i l c o r r e s p o n d s u n e v a l e u r
1 S u r les fonct, ions ~ u n h o m b r e tini de b r a n c h e s d~finies p a r les ~,quations diff~rentielles du p r e m i e r ordre. Acta m a t h e m a t i c a , t. 35, p. 297--343.
176 J. Malmquist.
infiniment g r a n d e de y m valeurs infiniment grandes de y' s~tisfaisant s l'~qua- tion F(y', y; x ) ~ o et s ' o b t e n a n t par m s6ries
(~) y ' = ~ , ( x ) y ' + # , ( ~ ) y + % ( L .
~ y , x)
(~ = I . . . . ~n),oh a,, ~ et les coefficients de ~ sont des fonctions alg6briques de x. Les fonc- tions al, . . . am s o n t distinctes. Nous pouvons prendre u n point xl diffdrent de certains points en nombre fini de mani~re que les fonctions a,, fl, (v = - I , . . . m) et les coefficients des s6ries ~ , soient rdguli~res pour X = X l . I1 y a m i n t &
grales de (I) qui d e v i e n n e n t infinies pour x = x 1, elles o n t en xl un pble du premier ordre
a, (x,)
(3) y - + % (x -
~,) (, = ~, , . . ~).
X - - X 1
Les rdsidus - - a , ( x ~ ) (v-~ I, . . . rn) sont distincts si x~ est diffdrent de certains points en hombre fini.
Soit D(y; x) le d i s c r i m i n a n t de la f o n c t i o n F(y', y; x) de y' et supposons que y---=g(x) soit une solution de l'6quation D ( y ; x ) = o ou de l'dqua~ion Fo(y; x ) = - o . Si y se trouve dans le voisinage de g(x), l'6quation (I) p e u t ~tre remplac6e par u n certain nombre d'dquations de la forme
(4)
O t l
(5)
d x ~ y -- g (x));;
d . v = _~ ( 1 )
d x (Y -- g (x)) ~ ~ (y -- g (x));; x ,
off l'on a t t > I, E > o et dans (5) ~ ( o ; x ) ~ o . Les coefficients des sdries sont des fonctions alg6briques de x. En f a i s a n t d a n s ( 4 ) l a s u b s t i t u t i o n y -= g (x) + zZ on a u r a une 6quation diffdrentielle de la forme
(6) z~'-I d~x = ~ ' (z; x),
off ~ t ' > I; si i t ' > I on a % ( o ; x ) ~ o . En f a i s a n t la m~me s u b s t i t u t i o n dans (5) on a u r a une 6quation de la forme (6), o f i g ' = Z + g > I , ~ ( o ; x ) ~ o . Six1 est diffdrent de certains points en nombre fini, 1%quation (6) peut s'~crire
~ur les 6quations diff6rentielles du premier ordre. 177
(7)
z " - ~ d--xd z = ~ (z, x -- x~), ~ (o, o) ~ o si tt' ~- I . L'int6grale de cetteest de la f0rme
(8)
6quation correspondant aux valeurs initiales x ~-~ x~, z ~ o
1) 1
z = ~ x - x ~ ) ~ = c ( x - x ~ ) ~ ~ + . . . , c r L'int6grale c o r r e s p o n d a n t e de (4) ou (5) acquiert t~' valeurs a u t o u r de x = : Xl.
Nous avons exclu certains points x en nombre fini, on d6signe ces points p a r ~. D'uprbs un th6orbme de Painlev51 une int6grale de (I) n ' a d m e t en dehors des points ~ d'autres points singuliers que des pSles ou des points cri- tiques algdbriques. Duns le voisinage d ' u n pSle on a u n d6veloppement (3), clans le voisinage d ' u n point critique alg6brique on a u u d6veloppement c o r r e s p o n d a n t
(8) off t ~ ' > I. Ces points singuliers s o n t mobiles.
Une classe i m p o r t a n t e d'gquations (I) est caract6risge p a r ce fair qu'il n ' y a aucun d6veloppement (8) off re' > I. Alors, les intSgrales n ' a d m e t t e n t en dehors des points ~ d ' a u t r e s points singuliers que des pSles. Ces dquations diff6ren- tielles s'appellent 6quations s points critiques fixes. Elles peuvent 4tre int6gr6es s l'aide des fonctions classiques. Soit p le genre de l'gquation alg6brique F ( y ' , y; x ) - ~ o entre y', y pour une valeur quelconque de x. Si 19-~ o une 6qua- tion diff6rentielle (~) ~ points critiques fixes se ram~ne ~ une 6quation de Riccati
d z
- - = a (x) ~ + b (x) ~ + ~ (x) d x
par une t r a n s f o r m a t i o n
(9) z = B \ d x ' y; x ,
a, b, c et les coefficients de la f o n e t i o n rationnelle R ( y ' , y; x) de y', y 6tant des fonctions alg6briques de x. S i p ~ I l'&quation diff6rentielle se ram~ne par une t r a n s f o r m a t i o n (9) a une 6quation diff6rentielle
(
d-~xld~]~ ~(~)(4~
= - # ~ z -~),
oh a(x) est une fonction alg6brique qui peut 4tre ~ o. Ce r6sultat est dfi "~
Fuchs. ~ S i p > I l'intdgrale gdn6rale est alg6brique; ce r6sultat est dfi ~ Poincar& 3
12
Voir p. ex. P. PAINLEVI~, Legons de Stocl~holm, p. 57.
Voir p. ex. P. PAINLEVI~, Lemons de S t o c k h o l m , p. 66.
S u r u n t h 6 o r e m e de M. F u c h s . A c t u m a t h e m a t i c a , t, 7, P. I - - J 2 .
178 J. Malmquist.
A u lieu de supposer x variable duns t o u t te plan on peu~ supposer x limit~
s u n certain e n t o u r a g e d ' u n point ddtermin6, soit x ~ o. Duns ce qui pr~cSde on dolt alors remplacer le m o t alg~brique par alg~broide duns le voisinage de x ~-o. Si I x l reste plus petit q u ' u n certain hombre suffisamment petit il n ' y a d ' a u t r e s points ~ que ~ 0 au plus.
2. Nous faisons m a i n t e n a n t un premier pus duns l'~tude des int4grales d ' u n e ~quation (I) duns le voisinage d'un point ~, soit ~---~0. Si l'on veut obtenir une dtude complSte on dolt faire une suite de t r a n s f o r m a t i o n s et on dolt consid4rer une suite d'gquations transform~es. P o u r n o t r e b u t il suffira de considdrer des ~quations c o r r e s p o n d a n t aux ~quations (2), (6) et s ' o b t e n a n t par des t r a n s f o r m a t i o n s simples. Consid~rons p. ex. une 4quation (2). On peut faire une t r a n s f o r m a t i o n de la f o r m e
x = uq, y = - - ,
off q, a sont des entiers, q > o, a ~ o, de mani6re que cette ~quation reqoive I~
forme
d z
0o) , , ~ =
~ ( ~ , ,..),~(o, o) ~ o,
off k est un entier positif. E n effet, posons d'abord x ~ u q, y ~ - , I donc
Z
-l,o(~; u) ~ ! + 1,; (~; ,,) ~du! + " + ~~ ") = o.
Les racines de l'dquation en
I'o (o; u) ~"~ + 1,; (o; u) ~'-~ + ... + 2 ~ (o; ,) = o sour (voir (2))
__ q ~q--1 ~ , (~q) V : I , . . . m ) .
Nous pouvons prendre ( v ~ o , I , . . . m ) de z
puissances de u, p o u v a n t contenir u n nombre fini de puissances ndgatives.
la s u b s t i t u t i o n
~ - - - q u q - - ' if'*'(uq) 2V ~1
l'~'quation
~;;(~; ,,)~'~ + ~ ( ~ ; ,,) ~ - ' + .-. + ~,.(~; x ) = o
q de mani~re que les coefficients des fonctions ]~;(z; u) et les fonctions a~(uq) (~ = I, . . . m) soient des s~ries de P a r
se t r a n s f o r m e s une dquation qui peut s'4crire
Sur les 4quations diff~rentielles du premier ordre. 179
o 5 uo, ul, . . . xm sont des e n t i e r s ~ o et (Do, (D1 .. . . (D~ sont des f o n c t i o n s e n t i ~ r e s et r a t i o n n e l l e s de z d o n t les coefficients sont des sdries de puissances de u sans puissances ndgatives; on a 9 1 (o; o ) ~ o. L a r a c i n e ~1 de c e t t e ~quation deve- n a n t 4gale ~ o p o u r z ~ - o peu~ s'4crire
o5 ~, 9 sont des e n t i e r s positifs; on p e u t p r e n d r e ~ aussi g r a n d que l'on veut.
M a i n t e n a n t , on a l'~quation diffgrentielle
d z z ( g , )
d u =: - - q uq--1 g" (uq) + uv ~ ~ U ~ U
c o r r e s p o n d a n t s u n e ~quation (2), et en p o s a n t ici z = u(~v on a u r a une gquation u~, d v
d'~ + (~'~(~-i v-~- - - q ~ q - l (~'~(uq) + u ' r v ~ ( v ' u)
qui est de la f o r m e (IO) si les h o m b r e s a, 9 sont choisis d ' u n e mani~re con- venable.
De m~me, en s u p p o s a n t que y se t r o u v e dans le voisinage d ' u n e r a c i n e de D ( y ; x ) - ~ o ou F o ( y ; x ) - - = o et on c o n s i d 6 r a n t u n e 6quation (6) c o r r e s p o n d a n t e on p e u t f a i r e u n e t r a n s f o r m a t i o n
x = u q, y - ~ g ( x ) + u "z~, q > o , o > o de mani~re que c e t t e 6 q u a t i o n (6) reqoive la f o r m e
k ' I d ~
( I I ) U ~ - - - - = ~B(Z, U), ~ > O, ~B(O; O) ~ O.
d u
N o u s n ' e n t r o n s pas dans la d ~ m o n s t r a t i o n qui est a n a l o g u e s la d ~ m o n s t r a t i o n pr~c6dente.
P o u r une g q u a t i o n diff4rentielle de la f o r m e
(~
2) x~ ~, d y = ~ (~, x), ]~ > ~, i > o, ~ (o, o) ~ od x ~
180 ft. Malmquist.
on a un t h ~ o r b m e i m p o r t a n ~ de B o u t r o u x ? P r e n o n s d e u x h o m b r e s p o s i t i f s r, r"
s u f f i s a m e n t s p e t i t s . Tout point x~, t x , l ~ r , air ,tne intgg~-a[e de t ~ 2 ) p r e n d la valeur o, peut ~tre entourd d'un cercle
I x -- x~] = K]x~l~,', ~+~, K inddpendant de x~. ~.. r"
de telle mani~re que ces cercles soient extdrieurs ?es un* aux aub'es sur la smface de Riernann de y et que l Y[ > r' ~ {'extdrieur de cv~ cercles.
N o u s d o n n o n s i e i u n e d ~ m o n s t r a t i o n tr~s s i m p l e de ee th6or~me. L ' d q u a t i o n (I2) peu~ s'~crire si l ' o n p r e n d y e o m m e v a r i a b l e i n d d p e n d u n t e
d x
,.t2-= = ~ :r ~, (~, ~) = ?/ ~o (u) .~ + y~ ~ (,*~) ~+~ + 9
L ' i n t d g r a l e de e e t t e ~ q u a t i o n e o r r e s p o n d a n t s x = x~, y ~- o p e u t ~ r e d~vetopp~e s u i v a n t les p u i s s a n c e s de x~. On a u r a ainsi
x - - x l - - i + I
X~ly~+'(~ + u~(y) + x , ~ y , x,)),
o~ a = ~0(o)- O n p e u t s u p p o s e r que
2
pour I xll ~ ", I Vl ~ r', si ,-, ," sont suffisamments p e t i t s . Pour ]y] = r' on a u r a d o n e
[ x - x l l < 3 1%[ ixllk,,r =
2 i + iKIxII~,.,r
3
L e s e o u r b e s duns le p l a n x d~finies p a r
l y l = r'
s o n t ~ v i d e m m e n t ext~rieura les u n e s a u x a u t r e s s u r la s u r f a c e de R i e m a n n de y. P a r suite il en est de m S m e des eereles~_ r e x t ~ r i e u r de ees eereles on a [ y [ ~ r'l, Ie h o m b r e r" 1 ~ t a n t d~termin~ p a r r q ' + l ~ - 3 r ' j + h P a r 1~, le t h ~ o r ~ m e e s t d~montr~.
1 p. BOUTROUX, Legons sur les fonctions ddfinies par les dquations diff~rentielles du premier ordre. (Collection de Borel, I9o8), p. 47--53.
Sur les ~quations diffdrentielles du premier ordre. 181 Nous faisons la remarque compldmentaire suivante. Supposons que y ne devienne jamais ~gal s o quand x se meut duns le voisinage de o. Alors on a ndeessairement ]Yl > r', car si la valeur Y0 de y pour un point x0 satisfaisait
~ Y0 [ =< r', l'~quation
donnerait un point x 1 05 y---~ o.
3- Appliquons ee thdorbme aux dquations (Io) correspondant aux ~quations (z). 0 n peut 4videmment prendre les m~mes hombres q, a duns les m dquations (Io), mais |es nombres k, K peuvent ~tre diffdrents duns ces ~quations, soient k , . . . k~, K 1 , . . . K~ ces nombres. Si une int~grale de (I) satisfait s
lyl->- lul/
r
elle peut ~tre obtenue par une gquation (Io). P a r suite, on peut entourer les p61es xl de y duns le voisinage de x--~ o par des courbes
] xl/q r--- xl/q ] = K , r ' [ x l ] kv/q
,de telle ~nani~re que ces courbes soient extdrieurs les unes aux autres sur la surface de Riemann de y e t que
5 l'ext&'ieur de ces courbes.
S i une intdgrale y n'a aucun p61e clans le voisinage de x = o elle saris fa i r 5 l' indgalitd
lyl< !xF;
squand x se meut d'une mani~re quelconque dans le voisinage de x---o.
Supposons ensuite que y se trouve duns ]e voisinage d'une racine y = g (x) de D ( y ; x ) = o ou F0(y; x ) = o et soit y ' = ffl(x), y = g ( x ) le point de la courbe algdbrique F ( y ' , y; x ) - ~ o correspondan~ ~ une dquation (6) off / z ' > I. D'aprbs la th~orie des fonctions alg~briques il y a des fonctions raiionnelles de y', y qui ne deviennen~ infinies qu'en le point (gl(x), g(x)), soit R(y', y; x) une telle fonction, dont les coefficients sont des fonctions alg~briques de x ou du moins alg~broide$ dans le voisinage de x = o. : Pour
182
on aura voisinage forme
J. Malmquist,
une 6qua~ion diff6rentielle analogue ~ (I), e~ si z se trouve dans le de l'infini eette 6quatlon peut ~tre remplae6e par une ~quation de la
-~-e-=z;~ ~-;; x ~(o;x)~o.
d x '
Par une transformation de la forme
on aura une 6quation
X ~ uq~ Z
.~ .~._~ d , _ ~ (v, .) v d u - -
de la forme (x I). Par suite, on pent entourer les points x 1 darts le voisinage de o
pour lesquels z devient infini p a r des courbes
I x~ -
~/~
I = g,-'.' I x~ I ~/~de telle manidre que ces courbcs soint extdrieures les unes a u x autres sur la surface de R i e m a n n de z et que
I~1 < , ' - P Ixl -~
l'extdrieur de ces courbes.
x : o on a
Si z ne devient j a ~ a i s infini dans le voisinage de I~[ < ,"-" I x I -~
quand x se meut d'une mani~re quelconque dans le w i s i n a g e de x - ~ o.
A l'aide de ce r6sultat on peut facilement d6montrer le th~or~me suivant. 1 S i une 6quation diff6rentielle (I) dont les coefficients sont alg6bro'ides dans le voisinage de x - ~ o a une int6grale non algebro~'de ~ u n hombre .fini de valeurs et sans autre point critique que x - ~ o dans le voisi~age de ee poivt, l'6quation diffd- rentielle est ndcessairement ~ points critiques fixes et 19eut ~tre transformde d u n e dquation de Riecati ou ~ une dquation diffdrentielle elliptique.
Nous reproduisons la d6monstration tr6s simple de ce th6or6me. Supposons que l'd, qua~ion diffdrentielle ne solt pas une ~quation ~ points critiques fixes.
Voir J. MALMqUIST, Sur les fonction$ ~ un nombre fini de b r a n c h e s - s a t i s f a i s a n t a une 6quation diff6rentielle du premier ordre. Acta mathematica, t. 42, p. 317--325.
Sur les dquatious diff~rentielles du premier ordre. 183 I1 y a donc des ~quations (4) ou (5). Soit y ' ~ - g ~ ( x ) , y---g(x) u n p o i n t corres- p o n d a n t de la c o u r b e alg~brique F ( y ' , y; x ) ~ o et p r e n o n s u n e f o n c t i o n ration- nelle R ( y ' , y; x) qui n e d e v i e n t infini q u ' e n ce point. L a f o n c t i o n
, y ; x ,
off y d~signe l'int~grale d o n t nous a v o n s supposg r e x i s t e n c e , ne d e v i e n t infini p o u r a u c u n p o i n t dans le voisinage de x ~ o, car y n ' a a u c u n p o i n t critique.
P a r suite, z s a t i s f a i t s u n e in~galitd de la f o r m e Izl < r ' - " l x l -~:~
Or,
y a y a n t u n h o m b r e tint de valeurs duns le voisinage de x = o il en est de m~me de z, p a r suite z seruit alg~broide dans le v o i s i n a g e de x ~ o, ce qui est c o n t r e la supposition. L ' ~ q u a t i o n diffgrentielle dolt donc ~tre s p o i n t s critiques fixes. L e g e n r e p de l ' d q u a t i o n F ( y ' , y ; x ) = o est o ou I, car s i p > I l'int~- grale ggndrale seruit ulg~broide p o u r x - ~ o. P a r suite le thdor~me est ddmontr~.4. N o u s considgrons m a i n t e n a n t u n e ~quation diffgrentielle ( I ) q u i n ' e s t pus u n e ~quation ~ points c r i t i q u e s fixes et d o n t les coefficients sont des fonc- t i o n s alggbriques de x, et nous s u p p o s o n s qu'il existe u n e int~grale de ( I ) a y a n t une b r a n c h e qui est ddfinie duns le voisinage d ' u n p o i n t ~, soit ~-~ o, et qui a un n o m b r e fini de valeurs e t u n e infinit~ de p o i n t s critiques. Sous cette sup- position on a l e thdor~me s u i v a n t que nous allons d ~ m o n t r e r .
Th~!or~me. L'~quation (I) se transforme ou bien ~t une ~quation de Biceati d z
d x - ~ (x) ~ + l, (~) ~ + ~ (x)
p a r une transformation
y~ + / r (z; x) y~-' + 9 + / t , , (z; x ) = o ou bien gt une ('quation diff~rentielle elliptique
d x ~ ~ (x) (4 z ~ - a~ z - g~)
par uue b'ansformation
d ~(~,~ (z; 3c)~Jn--i ~v "'" "I- ~ g ( z ; x')) = o.
u ~ + n , ( z ; x ) y ~-~ + ... + / ~ ( z ; x) + d x ~
184
Inversement on a
J. Malmquist.
=RldY, )
~ d x y; x .
R , , R , sont des fonctions ration~elles de z et R e s t une fonction rationnelle de d y d ~ , Y "
Les coefficients de R , , R , , R et a, b, c sont des fonctions rationnelles de x, t si les coefficients de l'dquation (I) sont exprimds comme des fonctions rationnelles de x et d'une variable t lide ~ x p a r une dquation algdbrique irr~ductible.
D a n s le travail cit~ (volt la note p. 175 ) nous nous sommes servis d ' u n syst~me d'dquations diffdrentielles p o u r les fonctions sym~triques ~l~mentaires de n int~- d y R ( x , y). I1 semble que cette mdthode ne gra[es quelconques de l'dquation ~ - ~
soit pas applicable s l'~quation gdn~rale (I). Nous allons nous servir d ' u n e mdthode u n peu diff~rente.
Prenons u n point x o duns le voisinage de x : = o distinct des points singuliers de la branche d'int~grale y d o n t nous avons supposd l'existence. P a t r o n s d ' u n
~l~ment Yl de y, sdrie de puissances de x - - Xo, et faiSons d~crire s x des chemins ferm~s dans le voisinage de x = o n ' e n t o u r a n t pus ce point. On a u r a ainsi u n certain hombre d'~l~ments ?/1 . . . . ~)n. Ils s a t i s f o n t s l'dquation (1), si les coef- ficients de la fonction F ( y ' , y; x) de y', y o u t certaines ddterminations. P o u r ehaque fonction rationnelle /~(y', y; x) don~ les coefficients sont des fonctions alg5briques de x n ' a y a n t pour I x [ < r aucun point critique ~ o la somme
n
n
off ~'~ est la ddrivde de ~,, ddfinit l'~l~ment d ' u n e branche n ' a y a n t pour I x l < r
' " /~ ' ; x ) de mani~re que
aucun point critique ~ o. I1 sager de dgterminer (y, y
cette branche air pour x = o un point singulier alg~brique a u plus.
~qous d~signons par ~ le nombre des ~quations (6) pour lesquelles / ~ ' > ~ et nous ddsignons par (g~(x), g(x)) les points correspondants de la courbe alg~brique F ( y ' , y; x ) = o, off les coefficients out les ddterminations consid4rSes. A chaque point (g~ (x), g(x)) correspondent des fonctions rationnelles de y', y ne d e v e n a n t infinies qu'en ce point, et il y a u n nombre k de mani~re qu'il existe, pour chaque entier positif v, des fonctions rationnelles d e v e n a n t infinies de r o r d r e ]c-~ ~ mais qu'il n'existe aucune fonction rationnelle qui devient infinie de l'ordre k. Prenons /)our ebaque n o m b r e v nne fonction rationnelle d 6 t e r m i n d e / ~ ( y ' , y ; x)
Sur les 6quations diff6rentielles du premier ordre. 185 qui devieut infinie de l'ordre k + v, les coefficients 6rant des fonctions alggbriques de x. Toute fonctioa rationnelle qui devient infinie de l'ordre k + ~ peut s'6crire
r (x)/~l (y', y; x ) -~ ... ~.- e4,(x) l~,,.(~l', ~; x).
Introduisant pour y' le second membre de (4) ou (5) on aura pour R,(y', y; x) un d6veloppement de la forme
I : § t 1
(y - g (~)) ~ $ ~(~ - g ~))~; ~1, $ (o; ~) ~ o,
1
e~ ee~te s6rie peut s'6crire comme une s~rie de puissances de ( y - - g ( x ) ~ , x ~ x l , s i x se trouve dans le voisinage d'un point quelconque x I tel que I Xsl < r, r 6taut suffisamment petit. Introduisant y ~ g (x) + z~, off z est donn6 par (8), on aura un d6veloppement
les coefficients dans ~ , 6rant des fonctions alg~briques de x 1 n'ayant pour I x l l < r aucun point critique ~ o. Cetfe s6rie peut ~videmment s'6crire aussi
(I3') (X--Xl) "' ~ (:V--:Vl)u'; X , ~ , ( O ; X ) ~ O
les coefficients dans ~ , 6rant des fonctions alg6briques de x. Nous consid6rons les termes des sdries (I3), (r3') off les exposants sont des entiers n~gatifs, soient
x - x~ ( x - x~) ~ 9
(~4') ~1, (x) + . + ~ , , , (x)
x - x l (x -- x,)~'
ces termes, off ~ - ~ / ~ 1 " La diff6rence entre les expressions (I4), ( I 4 ' ) e s t finie pour x = x 1. Comme > ' > I on peut prendre v assez grand pour que 9 :> / k + ~ / Par suite, on peut d6terminer des fonctions alg6briques cl ( x ) , . . . c~,(x)
t # ' J"
de mani~re que la somme
C$ \X/ ( X _ _ X 1 "~ "'" "~ ( X - - Xl) ~)
186 J. Malmquist.
soit finie p o u r x i - ~ x. k l o r s le d d v e l o p p e m e n t de
(,
s) R (y', y; x) = ~ (x) R, (y', ~; x) + . . . § e, (~) R, (~', .v; x)darts le voisinage de x = x~ ne c o n t i e n t d ' a u t r e s puissances n~gatives que des puissances f r a c t i o n n a i r e s ,
P a r suite, la somme
~ R
(~:, .~.;x)
d6finit l%16ment ~(x) d ' u n e b r a n c h e a(x) qui n ' u p o u r I x l < r a u c u n poin~
s i n g u l i e r ~ o. A p p l i q u o n s ]e th6or~me de B o u t r o u x ~ la b r a n c h e 2 d o n t
(9:, 9,; x) (~ = ~
. . . . . ) d6finissent des gl~ments. D'apr~s le r 6 s u l t a t 6nonc6 ~, la page I82 on p e u t en- t o u r e r les p o i n t s xl duns le voisinage de o p o u r lesquels ~ d e v i e n t infini p a r des c o u r b e sI x':~ - xyq I = K , . ' . ' l x , P
de telle muni~re que ces courbes s o i e n t ext~rieures les unes a u x auh'es sur la s u r f a c e de R i e m a n n de ~ et que
121
<
V - " l ~ l -~l'ex~drieur de ces eourbes. II r~sulte de la derni~re in~galit~ que
I" (x)l
< . V - ~ l ~ l -~Or, la f o n c t i o n a (x) x ('/q ~tant r~guli~re p o u r
I
xI <
r, x ~ o, c e t t e in~galit~ a lieu aussi s l ' i n t ~ r i e u r des courbes e n t o u r a n t les points x], p a r suite elle a lieu p o u r I x l < r. L a b r a n c h e a(x) a y a n t u n n o m b r e fini de valeurs on volt doric que a(x) a au plus u n p o i n t singulier ulgdbrique p o u r x - ~ o.5- I1 i m p o r t e de m o n t r e r que la f o n c t i o n ( I 5 ) p e u t ~tre d6termin6e de ma- n i t r e que l ' e x p r e s s i o n
, k+~ (( :_ )
c, (x) (x - - x~) "' ~ , x - - x , ) ' v ; x, ,
i ~ 1
off e n t r e n t les d~veloppements (i3) , e o n t i e n n e , p o u r c h a q u e n o m b r e i satisfuisant I ~ i ~ / ~ ' - - I, des t e r m e s
Sur les ~quations diff~rentielles du premier ordre. 187 x
(x - ~ ) ~'
tels que ~----i (rood. /~'). P r e n o n s u n h o m b r e i de mani~re que I ~ i ~ t ~ ' - - I , soil ~ le plus p e t i t e n t i e r positif t e l que k + ~ 0 (rood./~') eL posons k + ~-~]c' ~'.
N o u s considgrons celles des f o n c t i o n s R~, R2, . . . d o n t les d~veloppements ( ~ 3 ) o u (~3') c o m m e n c e n t p a r les t e r m e s
( x - ~ ) ~ , (x - x~) - ~ ' - ~ , (~ - x~) - ~ ' - ~ ~ , ( x - x ~ ) - ~ ' - ~ , . , d~signons ces f o n c t i o n s p a r / t c~), / t (~), . . . et consid~rons l ' e x p r e s s i o n ( ~ ) c~ (~) ~ c , + c, (x)/r + . + c ~ , + ~ (x) ~ ( ~ ' § ~)
S o i e n t
a l l ( x ) ( X - - X l ) - k ' ~- a]$ ( x ) ( X - - Xl) - k ' a r 1 -'~ 9 ' ' + al, k' ( x ) ( x - - x l ) - 1 a~ (~)(x - x~) -~'-~ + ~ (x)(~ - x~)-~' + + ~ , ~, (x)(~ - ~ ) - ~
~ , (x)(~ - x~) - ~ ' - ~ + ~ I x ) ( x - x~)-~' + + ~ , ~,+, (~)(~ - ~ ) - ~ a2 k' (X) (x - - x 1)-2 k' _~ a2 k',l (X) (X - - X,) - 2 k'~-I ~ _ . . . 2ff a2 k',2 k'--, (X) (X - - X 1)-1
~2k'+l,1 (X)(X--Xl)--2k"~ - ~2k'+1,2 ( X ) ( X - - X l ) - - 2 k ' + l - ~ - ' ' " "J[- a2k'+l,2k' ( X ) ( X - - X l ) - I les Lermes s puissances ndgatives entibres dans les d~veloppements (~3') de / t (~), R (~) . . . . R (~*'+~). E c r i v a n t que le d ~ v e l o p p e m e n t de la f o n c t i o n ( ~ 6 ) n e conLienL pas les puissances
(~ - x ~ ) - ~ ' , (~ - x ~ ) - ~ ' § . (~ - x~)'~'-~
o n a ~ r a
C2k' a2k' "~- r (~2k'-t-l,1 ~ O
C2k'--2 a2k,--2 9 c2k'--1 a21:'--1,1 -{- e2k' a2k',l -~- V2k'+l a2k'+1,2 ~ O C~5~ ~- CS C~ -t- C45~1 - b - " - t - C~'+1 5.2k'+l,k'-~ O.
Les coefficients ~ , ~ , . . . ~k' ~ t a n t ~ 0 ces ~quations donnenL p o u r c2, c4, . . . c2k' des expressions lingaires eL h o m o g ~ n e s e n c s , c5, . . . c2k'+1. ]~crivan~ e n s u i t e que le d ~ v e l o p p e m e n t de la f o n c t i o n (I g) ne c o n t i e n t pas les puissances
( ~ - ~ ) - ~ ' , . . (x - ~,).~
on a u r a k' ~quations lin~aires eL h o m o g ~ n e s e n t r e les k ' + I coefficients cl,
188 J. Malmquist.
c a, . . . c~,+1. Ces 6qua~ions ont une solution. Si l'on peut prendre c2k'+1 ~ o
- - 2 k ' - - ~ - i
le d6veloppement de la fonetion ( I 6 ) e o n t i e n t la puissance (x--:x~) . Si
( ~ 2 k ' + l ~ O~ 'V2~k'--I = O~ 9 9 9 ~ 2 ~ - 1 = O~ ~ 2 u - - - 1 ~ o on aura aussi c2k' : O, .e2b'-2 = o,
. . . . c ~ = o. P a r suite, le d6veloppement de la fonction (~5) eon~ien~ ta puis-
$ . - - k * - - ~ ' t " 1 - 7 7 "
sanee (x --Xr) '~
D6signons l a fonction (~.6).ainsi d~termin6e par R--~. Alors c , / ~ § .... + c~,-x ~ ' - ~ , off v~, . v~,,-1 son~ des eonstuntes conwenables, satisfait s la condition posge.
1
Si r o n rem~l~ce, 4~,ns le d6veloppem,ent ( I 3 ) d e cette fonction, (x--x~)~' put des d6termin~r ,en hombre plus petit que :St' .et si l'on fuit lu somme des e~- pressions ain~i obtenues, les puissances fr~ctio.nnaires ne disparaissent p~s. Cette remurque est d'une grande i m p o t e n c e pour '1~ .suite.
6. ~ chaeun des 0 points (ga(x),
g(x))
pour lequel g ' > t correspond une fonction rationnelle (I5) satisfuisant s la condition pos6e dans le n:o prgegdent.En somme nous aurons q fonetions rationuelles, d6signons les par
Les expressions
nl
(y', ~; x), . . . R~(~', y ; x).d6finissent des 61~ments ~(x) (i-~ I, . . . 0) de branches a~(x) qui oat pour x : o un point singulier atg6brique au plus.
Nous consid6rons m a i n t e n a n t les 6quations alg6briques
n
(, 7) ~ n , (y;, y , ; x) = ~i(x) (i = ~, . . . q)
entre n points (y~, y,) de
F(y',
y; x) -~ o. D'upr6s la th~orie de l'41imination ce syst~me peut ~tre remplac6 par un certain nombre de syst6mes de la formeG (t, tl, . . . t,; x) = o
(~s) ~, = R , ( t , t,, . . . t,; x) (~ = ,, . . . , )
y: =
n:
(t, t l , . , , t,; x) ou de la formeSur les 6quations diff~rentielles du p r e m i e r ordre. 189 G (t; x) = o
(,s') y~ = R , ( t ; ~) ( ~ = ~, . . . , ) ,
~: = R: (t; z)
G ~ t a n t u n e f o n c t i o n enti~re et r a t i o n n e l l e de t; ti, . . . ts o u t e~: R , , R : g r a n t des f o n c t i o n s r a t i o n n e l l e s de t, tl, . . . t~ o u t . L e s coeffieiens d a n s (I8), (I8') s o n t r a t i o n n e l s en les c o e f f c i e n t s de F(y'i y;~x) e t les, c o e f f i c i e n t s d a n s ( : 7 ) . U n e s o t u t } o n d u s y s t ~ m e (:7) o b t e n u e p a r ' u n syst~me, ( I 8 ' } a don~e, p o u r x := o un p o i n t s i n g u l i e r a t g 6 b r i q u e a u plus. Par, su~,t:e. ~):, ~,, (~. : :, . . . . n), qu~i satis- fon~ a u sys,t~me, (I7) , n e p e u v e n t pas, 6tre~ o b t e n u s d'u:a s y s t ~ m e
(ISf):
]~-ons c o n s i d . d r o n s u n s y s t ~ m e (:8) q u i d o n n e ~)',,#~, ( v = ~, . . . ~) si }'o~ p r e ~ 4 p o u r ti . . . . ts, t cer~aines f o n c t i o n s de x ; soie,n~/-: ~ : ~ , . . . t~ = ts:, ~ = LD ~ n s c e s y s t S m e (~8) n o u s p o u v o n s s u p p o s e r q u e 1.e. d 6 t e , r m i n a ~ t fo~c~i:onnel
(~i ~ ~- 1 , .... tS t
n e s a ~ a u l e p a s i d e n t i q u e m e n t . E n effet~ s u p p o s o n s q u e t o u s l e s d ~ t e r m i n a n t s
o (t, . . . . ts)
s~ient~ n u l s i d e n t i q u e m e n ~ m a i s %.ue
0'(y,, . . . .us-:)
~(t~, . . . t~_:)
p. ex. s o i t ~ o . A l o r s R~, . . . Tt,~ s o n t i n d g p e n d a n t s de t~ si o n les e x p r i m e c o m m e f o n c t i o n s de Yl, . . . Y s - : , et c o m m e F(y'~, y~; x ) : o il en est de m ~ m e de R~ . . . . R'~. Le s y s t ~ m e (I8) n ' e s t d o n c p a s c h a n g g si l ' o n d o n n e ~ t~ u n e v a l e u r d 6 t e r m i n ~ e quelco~,que. O n a u r a i t d o n c u n s y s t ~ m e (I8) o~: s est r e m p l a c 6 p a r s - - I. N o u s pouvon.s d o n c s u p p o s e r q u e
0(.~,, ....v.~)
~ O . 0 ( t : , . . . ts)
C e t t e in~galit~ a lieu aussi p o u r les v a l e u r s de t~, . . . ts telles q u e ~: : R : , c a r d a n s le cas c o n t r a i r e ~2: s ' o b t i e n d r a i t a l g ~ b r i q u e m e n t en les c o e f f i c i e n t s d a n s (18) et s e r a i t d o n c 616merit d ' u n e b r a n c h e a y a n t p o u r x = o u n p o i n t s i n g u l i e r algd- b r i q u e a u plus.
190 J. Malmquist.
P o s o n s t 1 = tl, . . - t ~ = i~, t = t dans le syst~me ( ~ 8 ) e t d & i v o n s p a r rap- por~ g x, done
- + + + O - 7 ' '
P o u r des v a l e u r s q u e l c o n q u e de t~ . . . . t~ n o u s c o n s i d & o n s les ~quations
(I9) R ' - - ~[1 t' q- " " q - - ~ s ts q- O ~ " ""
P a r 61imination de t], . . . t', on a u r a n - s ~quations alg~briques e n t r e tl . . . . t~
qui s e n t s a t i s f a i t e s p o u r t 1 = il, . . . ts = t~, t = i. D e u x cas s e n t g considgrer s u i v a n t que ces ~quations e n t r e tl, . . . t, s e n t o u non des identit6s. D a n s le cas off elles ne s e n t pas des i d e n t i t ~ s la th~orie de l'61imination d o n n e un n o u v e l systgme (I8) o~ s a u n e v a l e u r plus petite. E n poursuivan~ ce proc~d6 on a b o u t i r a g u n syst6me (I8) t e l que les dites 6quations a]g6briques e n t r e t~ . . . . t, o b t e n u e s p a r 61imination de t~, . . . t~ e n t r e les 6quations (I9) c o r r e s p o n d a n t e s soient des identit6s, dans le cas c o n t r a i r e 9~ . . . . *), s ' o b t i e n d r a i e n t a l g 6 b r i q u e m e n t et se- r a i e n t 616ments d ' u n e b r a n c h e a y a n t p o u r x = o u n p o i n t singulier algdbrique au plus. N o u s p o u v o n s donc s u p p o s e r q u ' o n a un systgme de la f o r m e (i8) t e l que les dites 6quations alggbriques e n t r e t~ . . . . ts s o i e n t des identit6s.
Ce systgme d o n n e , des solutions de (I7) p a r m i lesquelles se t r o u v e ~:, *),
1 , . . . , ) .
7. P r e n o n s p o u r t~, . . . t~, t des f o n c t i o n s de x dans le voisinage de tj, . . . i~, de telle mani~re que y~, . . . y~ soient des int~grales quelconques de (i) dans le voisinage de Yl, . . - Y~. J e dis que y~+l, . . . y,~ s e n t aussi des intggrales de (I).
En effet, on volt d ' a b o r d que
dy,. ,
d x - - I , . . . s ) ,
car p o u r c h a q u e v a l e u r de ~ F~quation F ( y ' , y,.; x ) = o n ' a q u ' u n e seule r a c i n e y' dans le v o i s i n a g e de ~)'~. C o m m e
o n a u r a d o n e
dy~. O t t , d t~ i ) R ~ d t 8 O R ~
+ . + - - - - + - - . . . . , )
d x O t 1 d x Ot~ d x O x
, - - O R ' d t l + . . . + - - - - + - - OR, d h O R , ( v = r . . . . s).
tg~ O tj d x O t~ d x O x
Sur les gquations diff~rentielles du premier ordre. 191 L e s r e l a t i o n s alg~briques e n t r e t~, . . . t~ o b t e n u e s p a r ~ l i m i n a t i o n de t~ . . . . t~
e n t r e tes ~ q u a t i o n s (~9) se r ~ d u i s a n t s des i d e n t i t ~ s on a u r a aussi
_ O R ,
, OR~dt~ OR, d t , + _ _
( v ~ s + I . . . . n)R~ O t i d x + ' ' + Ot--~d-x Ox
d o n c
dy___~ = R;,
F [ d - - -[dye,
y ;x = o)
i, . . ) .N o u s d ~ m o n t r o n s m a i n t e n a n t que les f o n c t i o n s s y m d t r i q u e s ~ l d m e n t a i r e s des i n t ~ g r a l e s Yl, - . .
Y,~
s o n t des dl~ments de b r a n c h e s n ' a y a n t d a n s le v o i s i n a g e de x - ~ o a u c u n p o i n t c r i t i q u e ~ o. E n effet, f a i s o n s d~crire ~ x u n c h e m i n duns le v o i s i n a g e de x = o depuis x 0 j u s q u ' s u n p o i n t c r i t i q u e xl de l ' u n e des intd- g r a l e sy~ . . . . yn,
p. ex. de Yl- A l o r s Yl s ' o b t i e n t d ' u n e d q u a t i o n (4) ou (5), soit(gi(x), g(x))
le p o i n t c o r r e s p o n d a n t de F ( y ' , y; x) ----o et s u p p o s o n s q u e / t l(y', y; x)
p. ex. soit infini en ce point. D ' a p r ~ s le n:o 5 le d ~ v e l o p p e m e n t de
R~(y'~, Yl; x)
s u i v a n t les p u i s s a n c e s de x - - x ~ c o n t i e n t , p o u r c h a q u e h o m b r e i s a t i s f a i s a n t s I ~ i ~
it'--
I, des p u i s s a n c e s n ~ g a t i v e s ( x - - x l ) t~' tetles q u e x----i (mod. t~').P a r suite R 1 (Y'I, Y,.; x) a c q u i e r t tt' vuleurs a u t o u r de x I et ces v a l e u r s s ' o b t i e n n e n t de e e r t a i n e s des e x p r e s s i o n s
Rl(y: ,
y~; x) (~ = I, . . . n), cur duns le cas c o n t r a i r e la f o n c t i o nn
(y:,, y.; x) = (x)
a u r a i t , d ' a p r ~ s la r e m u r q u e f a i t e s la fin du n:o 5, un p o i n t c r i t i q u e en x~, ce qui n ' e s t pus le cus. I1 en r d s u l t e que les f o n c t i o n s s y m ~ t r i q u e s ~l~mentaires de Y i , - - . yn n ' o n t pus x 1 c o m m e p o i n t critique. P a r suite, elles n ' o n t uucun p o i n t c r i t i q u e duns le v o i s i n a g e de x---o diff~ren~ de ce point.
~- l ' a i d e de ce r 5 s u l t a t n o u s p o u v o n s f a c i l e m e n t d ~ m o n t r e r qne s ~ - I . E n effet, s u p p o s o n s que l ' o n air s > I. N o u s s u p p o s o n s c o m m e p r ~ c d d a m m e n t que y~, . . . y, s o n t des int6grules de (I), n o u s s u p p o s o n s que y~----~1 et que y~ . . . . y~
s o n t des i n t d g r a l e s q u e l c o n q u e s duns le v o i s i n a g e de ~ , . . . ~)~. A l o r s y ~ , . . , y,, s a t i s f o n t 's u n e d q u a t i o n
yn + Zl y,~-I + ... _~ Z~ ~ O,
Off Zl . . . . Z,, n ' o n t s l ' e x c e p t i o n de x - ~ o u u c u n p o i n t c r i t i q u e d a n s le v o i s i n a g e de ce point. C e t t e ~quation, g r a n t s a t i s f a i t e p a r ~ , est n 6 c e s s a i r e m e n t satisfuite p a r
199 J. Malmquists.
Yl, . . . Y-, e o m m e on le v o l t en faisan~ d6crire ~ x des e h e m i n s f e r m 6 s ne t o u r n a n t pus a u t o u r de x ~ o . Elle est sa~isfMte en o u t r e p a r y ~ y~, ce qui e s t impossible. O n d o l t d o n e a v o i r s ~ I.
8. N o u s a v o n s d o n e u n s y s t g m e (I8) off s - ~ I d o r m a n t des s o l u t i o n s d u s y s t g m e (17) p a r m i lesquelles se t r o u v e n t la s o l u t i o n ~:, ~)~ (v---x, . . . n). E n p a r t i c u l i e r , il y a des s o l u t i o n s telles que y~, . . . y~ s o i e n t des i n t d g r a l e s de (I) duns te v o i s i n a g e de Yl, . . . Y,~. L e s f o n c t i o n s s y m 6 t r i q u e s 416mentaires d e ! h , 9 , 9 Y ~ , n ' o n t a u e u n p o i n t c r i t i q u e p o u r o < I x [ < r, si r e s t s u f f i s a m m e n t petit. On en c o n c l u t q u e r o u t e i n t 6 g r u l e de (I) d u n s le v o i s i n a g e de #~ a c q u i e r t n v a l e u r s Yi, . - . Yn a u t o u r des p o i n t s c r i t i q u e s m o b i l e s s a t i s f a i s a n t g I x [ < r, c a r elte aequier6 6 v i d e m m e n t a u mo~ns ~ valeurs. D e plus, ys, . . . yn s o n t d e s f o n c t i o n s a t g 6 b r i q u e s de y~.
S o i e n t j~(yt, . . . y,,) ( i = I , . . . n) les f o n c t i o n s s y m 6 t r i q u e s 616mentaires de y~ . . . . y,~ et p o s o n s
i=1
o~ e ~ , . . , c~ s o n t des c o n s t a n t e s . E n d ~ s i g n a n t y~ p a r y on a u r a e n t r e z, y u n e 6 q u a t i o n a l g 6 b r i q u e
e y; x) = o ,
et les coefficients de c e t t e ~quation n ' o n t a u c u n p o i n t c r i t i q u e p o u r o < I x [ < r e a r il e n e s t ainsi des coefficients du s y s t g m e (I8).
merit s a t i s f a i t e p a r Y l . . . Y,~.
P o u r ~ on a u r a u n e g q u a t i o n diff4rentielle
~ransform~e alg~brique de (i).
p o i n t critique p o u r o < I x [ < r.
L ' 6 q u a t i o n (2I) est 6videm-
L e s coefficients de c e t t e gqu~tion n ' o n t a u c u n L ' 6 q u a t i o n (22) est s a t i s f a i t e p a r
i~l
L a b r a n c h e d ' i n t g g r a l e y don~ nous a v o n s suppos6 l ' e x i s t e n c e et d o n t 9~, . . . ~,, s o u r des glgments ~ n 6 c e s s a i r e m e n t u n e infinit6 de Dbles cur duns le
Sur les ~quations diff~rentielles du premier ordre. 193 cas c o n t r a i r e y satisferait, d'apr~s le thdor~me de B o u t r o u x , s u n e in~galit~
(voir p. I82)
l y l < K l x l
p o u r [ x [ < r, p a r suite y, qui a u n n o m b r e fini de valeurs, serait alg~broide dans le voisinage de x = o, c o n t r a i r e m e n t s ]a supposition. On p e a t donc p r e n d r e les c o n s t a n t e s c,, . . . en de mani~re que Z soit ~l~ment d ' u n e b r a n c h e a y a n t u n e infinitg de p61es p o u r I x [ < r . Or, c e t t e b r a n c h e a un h o m b r e fini de valeurs et elle n ' a a u c u n p o i n t critique p o u r o < I x [ < r. On en conclut, d'apr~s le th~or~me ddmontrd s la f i n du n:o 3, que l'~quation (22) est une d q u a t i o n s points critiques fixes qui p e u t ~ t r e t r a n s f o r m d e '~ u n e ~quation de Riccati off s u n e dquation diff@entielle elliptique. P a r suite, l'int~grale g~n~rale de l'~qua- t i o n (1) est f o n c t i o n alg~brique de la v a l e u r initiale Y0.
L ' ~ q u a t i o n alg~brique (2I) p e a t s'dcrire de deux a u t r e s formes. S o i e n t
, d y ,
Yo, y0 les valeurs initiales de y, dxx p o u r x ~ x 0 et faisons ddcrire h (yo, Yo) u n c h e m i n ferm6 L sur la surface de R i e m a n n de F ( y ' , y; Xo) ~- o. Les int~grales Yl . . . . yn v a r i e n t avec c o n t i n u i t 4 et q u a n d (yo, Yo) a d~crit L on a u r a des int&
grales yl . . . . <') y n . (') Ces intdgrales s a t i s f o n t au syst~me (i7) si y~ est la dgriv~e de y,,, et on v o i t c o m m e p r ~ c d d a m m e n t que les f o n c t i o n s s y m d t r i q u e s ~l~- m e n t a i r e s de yl , <" . . . <~ y,~ n ' o n t a u c u n p o i n t critique p o u r o < [x[ < r . Or y~t)----y~ si I x - - x 0 [ es~ assez petit. Alors le r a i s o n n e m e n t employ~ s la fin de n:o 7 m o n t r e que y2<1), . . . yn(" sont les f o n c t i o n s y.~, . . . y~ dans un c e r t a i n ordre, donc
ft(Y(ll), **" Y n ' ) ) - - J ~ ( ~ ] l , ' ' ' yn) (i--~--I, ... TI).
Les fonc~ions fi(y~ . . . . y,~) (i--~ I, . . . n) sont donc u n i f o r m e s en y', y li~s p a r F ( y ' , y; x ) ~ o. ]~tant des f o n c t i o n s alg~briques de y elles p e u v e n t donc s'~crire
d y ,
c o m m e des f o n e t i o n s r a t i o n n e l l e s de d x y, soit
x) (:
\iti u' y; = ,,)
Nous les supposons ~criLes c o m m e des f o n e t i o n s enti~res et r a t i o n n e l l e s de d y d x de degr6 au plus 6gal "s m - I. P o s o n s
i ~ l 13
194 J. Malmquist.
d ~
Soient ensuite z o, z~ les valeurs initiales de z, dxx pour x : Xo et faisons dderire ~ (z~, zo) un t h e r e i n fermd L sur la surface de R i e m a n n de 9 (z', z; x o ) = o.
Les int~grales y~, . . . y~ de (I) varient avec continuit~ et q u a n d (Zo, z0)a dderit le ehemin L on a u r a des intdgrales y]', . . . y~:). Ces int6grales s o n t ind~pendantes L ' i n t d g r a l e z de
(22)
revient ~ l'int~grale d'od 1'on est partie,d e c 1~ . . . Cn.
par suite
/ t n
e,f,(yi", . . . y::') = Z (u,, . . . y,,),
i = l i = 1
et eette 4quation a lieu pour des valeurs quelconques de c t , . . , c, dans le voisinage de valeurs d~termindes, d'ofi r~sulte que yi , . . . (') y . sont identiques ("
Yl, . . . Y~ dans u n c e r t a i n ordre. Les f o n c t i o n s j ~ ( y l , . . . yn) (i-~-I, . . . , ) s o n t donc u n i f o r m e s en z', z lids par q~(z',z; x ) = o ; ~tant algdbriques en z elles sont donc rationnelles en z', z. Nous pouvons donc ~crire
''ld )
fi(Y,,
. . .Y,,)--
~ d x ' z ; x ( i - ~ - I, . . . ~1)et nous pouvons supposer que R~ '~ sont des fonetions enti~res et rationnelles de d z de degrd plus petit que le degr~ de q)(z', z" x) par r a p p o r t ~ z'. ik la rela- d x
t i o n (23) correspond
z - - ~ , c~)Idz, " x )
(233
~_ c~R~ ~,dx z, .Les int~grales Ya, . - . Y~ son~ racines de l'~quation
( - ~ x ' z ; x y " - ~ + ' - . + R ~ ~ d x z ; x = 0 .
Nous ~tudions m a i n t e n a n t les coefficients dans (22), (23), (24). P o u r u n m o m e n t nous laissons les coefficients dans (22), (24) ind~terminds, dgsignons les par ?. l~crivant que l'~quation
(22)
est a points critiques fixes et que l'intdgrale g~n6rale de (I) s'obtient de (22), (24) et s ' a p p u y a n t sur (23') on a u r a p o u r les coefficients 7 u n systbme d'dquations diffdrentielles (S) qui a c e r t a i n e m e n t une solution. Nous d6montrons qu'il a u n e seule solution 1. Supposons qu'il y air u n e a u t r e solution ~. A eette solution correspondent des dquationsa C f . P . P A I N L E V E , L e m o n s d e S t o c k h o l m , p. 8 9.
Sur les ~quations diff6rentielles du premier ordre. 195
(22') (d
\ d x z;x)
-- o)
(24') y~ + ~ d Z , z; x y'~-~ + . . . + R ( , ~ d x , Z; X ~ - o
analogues aux 4quations
(22), (24) et
l'~quationi
z - - c~ Ri') d x ' z; x
t ~ l
analogue s (23'). Si z e s t une int~grale quelconque de (22') les racines y~, . . . y,~
de (24') sont des in t~grales de (I), par suite _ ~ ' , . . . /~(,:) et z n ' o n t duns le voisinage de x ~ 0 que des points singuliers alg~briques au plus. L'~quation
(22')
dtaut s points critiques fixes et y~ p o u v a n t ~tre suppos~e voisine de ~)~, y~, . . . y,~ se p e r m u t e n t a u t o u r des points critiques mobiles dans le voisinage de x ~ o . P a r suitei = 1 i = l
est une int~grale de (22). De m~me, route int~grale de (22) est aussi une intd- grale de (22'). Les dquations (22), (22') sont done identiques. P o u r une intd- grale quelconque de (22) on a R ~ " ~ R ~ " ( i ~ x, . . . ~). P a r suite, les coef- ficients darts R~ ~), R~ ~) sont identiques. Le syst~me (8) a done une seule solution.
I1 en r~sulte que les coefficients dans (22), (24) p e u v e n t s'~crire comme des fonc- tions rationnelles des coefficients dans (I) et de leurs ddrivdes. Si l'on exprime les coefficients duns (I) comme des fonctions rationnelles de x et d'une variable t li~e s x par une ~quation alg~brique irrgductible, on voit donc que les coefficients dans (22), (24) p e u v e n t s'~crire comme des fonctions rationnelles d e x , t.
L a fonction (23) est u n i v o q u e m e n t ddtermin~e par la condition que
l -dy, x)
z : R k d x Y;
satisfasse s l'~quation
(22)
pour une int~grale y quelconque de (I). Alors, on volt c o m m e tout-~-l'heure que les coefficients de cette fonction p e u v e n t s'~crire eomme des fonctions rationnelles de x, t.196 J. Malmquist.
En effeetuan~ la transformation de l'dquation (22) "s une dquation de Ric- cati ou ~ une 6quation ditfdrentielle elliptique on parviendra enfin au th6orbme que nous voulions ddmontrer.
La th6orie pr6cddente es~ dvidemment applicable sous la seule supposition concernant les coefficients duns (r) qu'ils sont ulgdbroi'des pour x = o. Le ~hdo- rbme d~montr6 es~ valuble aussi duns ce cas, les coefficients pouvant s'dcrire eomme des fonetions rationnelles des coefficients duns (I) et de leurs ddriv~es.
