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MP-2
TD 1 : Oscillateurs m´ ecaniques
Exercice 1 D’apr`es Oral Mines-Ponts 07, 08, Oral CCP 10, 11, 15
Une balle de rayonr, de massemroule sans glisser dans une cavit´e sph´erique de rayon R. On rep`ere par θ la position du centre C de la balle, on n´egligera l’influence des frottements.
x O
C y z
θ
θ
er e
1 - `A quelle condition peut on consid´erer la balle comme ponctuelle.
2 - D´eterminer la forces appliqu´ees `a la balle.
3 - Exprimer l’acc´el´eration de la balle.
4 - Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour d´eterminer une
´equation diff´erentielle v´erifi´ee parθ(t).
5 - D´eterminer la p´eriode des oscillations de faible amplitude.
6 - Montrer que l’´equation diff´erentielle peut ˆetre retrouv´ee par une m´ethode
´energ´etique.
Exercice 2 D’apr`es E3A 16
La pointe d’un microscope `a force atomique est constitu´e d’un levier par- all´el´epip´edique de longueur L, de largeur a et d’´epaisseur e encastr´e horizon- talement dans une paroi. Au repos, le syst`eme levier-pointe, de masse m, est horizontal, `a la hauteur d0 de l’´echantillon (on n´eglige son poids). Quand on applique une force verticale ~Fext (on supposera que la force reste verticale tout au long de l’exp´erience) `a l’extr´emit´e libre du syst`eme, celui-ci est d´eform´e.
L’extr´emit´e est d´eplac´ee verticalement d’une distancezque l’on appelle la fl`eche (voir figure 2 ci-dessous) et se trouve alors `a une distanced(z) de l’´echantillon.
Figure 1: Syst`eme encastr´e dans une paroi et mod`ele.
La fl`eche z est donn´ee par la relation suivante z= 4L3
Eae3Fext
o`u E = 1,0.1011 SI est appel´e module d’Young du mat´eriau constituant le levier et la pointe et~Fext= Fext~ez
1 - Quelle est la dimension du module d’Young E ?
2 - En se pla¸cant `a l’´equilibre, montrer que l’on peut mod´eliser le syst`eme par un ressort de longueur `a vide nulle et de constante de raideur k dont on donnera l’expression analytique en fonction deE,a,L ete.
3 - Etablir num´eriquement que k = 20 SI pour une fibre de longueur L = 2,0.102 m, de largeura= 50 µmet d’´epaisseure= 5,0 m.
z(t)
t
Figure 2: Oscillations libres de la pointe.
Dans un premier temps, on ne consid`ere pas les forces d’interactions entre la pointe et l’´echantillon. Le levier et la pointe sont seuls, la bˆati est immobile. Lorsque la pointe est lach´ee sans vitesse initiale, on obtient les oscilla- tions repr´esent´ees sur la fig- ure ci-contre.
4 - A partir du graphique` des oscillations libres et en le justifiant, d´eterminer la pul-
sation propre et le facteur de qualit´e du syst`eme oscillant.
Le d´eplacement d’une c´eramique pi´ezo´electrique, soumet le bˆati `a un mou- vement zbati(t) = Zbaticosωtdans le r´ef´erentiel du laboratoire.
M. BARTHES
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5 - Montrer que dans le r´ef´erentiel li´e au bˆati la pointe est soumise `a une force excitatrice~Fext= Fmcosωt ~ez.
6 - De plus, le syst`eme est soumis `a une force de frottement fluide de coefficient α et `a la force de rappel du ressort. On notez l’´ecart `a la position d’´equilibre.
En d´eduire l’´equation de la dynamique du mouvement du syst`eme pointe-levier :
¨
z+ 2γz˙+ω02z= A cosωt
Donner les expressions litt´erales de la pulsation propre ω0 et des facteursγ et A.
7 - En d´eduire l’expression du facteur de qualit´e Q en fonction dem etα.
ω / ω
0
Ζ0
( µm )
Figure 3: Amplitude des oscillations en fonction de la pulsation d’excitation.
On note z(t) = Z0ejωt la solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente.
8 - En d´eduire l’expression de l’amplitude complexe d’oscillation Z0 en fonction de la pulsation ω et montrer que sa norme peut se mettre sous la forme :
|Z0|= A
p(ω02−ω2)2+ω20ω2/Q2
9 - ´Etablir l’expression de la
pulsation de r´esonanceωRen fonction de la pulsation propreω0 et du facteur de qualit´eQ. A quelle condition sur le facteur de qualit´e la r´esonance existe-t-elle
? Pour Q = 5que vaut le rapportωR/ω0 ?
10 - Sur la figure fournie en annexe est repr´esent´ee l’amplitudeZ0 des oscilla- tions dans le cas o`u il y a r´esonance. D´eterminer les valeurs de QetAdans ce cas.
Exercice 3 On souhaite ´etudier plus finement la r´eponse en amplitude du verre au voisinage de la fr´equence de r´esonance du mode 1 pr´ec´edemment d´etermin´ee.
Un hautparleur reli´e `a un g´en´erateur basse fr´equence produit une onde sonore sinuso¨ıdale de fr´equence f. Le verre, plac´e `a proximit´e du hautparleur (figure 5), est ainsi plac´e en r´egime sinuso¨ıdal forc´e.
Figure 4
1 - Approche th´eorique
L’´equation diff´erentielle traduisant l’´evolution temporelle dex(t)est alors de la forme suivante, avec ω = 2πf la pulsation et Φ la phase du signal acoustique d´elivr´e par le g´en´erateur basse fr´equence :
¨ x+ω0
Qx˙+ω20x= A0cos(ωt+ Φ)
En r´egime sinuso¨ıdal forc´e, la solution est de la forme x(t) = X cos(ωt+ϕ).
Comme en ´electrocin´etique, on introduit la grandeur complexe associ´eex(t) = X exp(jωt)avec j2 =−1.
1 - Comment nomme-t-on la grandeur X ? Que repr´esente son module, son argument ?
2 - ´Etablir l’expression du module de Xen fonction de ω,ω0,A0 etQ.
3 - `A partir d’une ´etude qualitative, justifier le num´ero de graphe de la figure 6 compatible avec le trac´e du module deX en fonction de la pulsationω.
4 - `A quelle condition sur le facteur de qualit´e peut-on envisager une r´esonance d’amplitude ?
On note Q0 cette condition.
5 - Dans le cas d’une r´esonance d’amplitude, exprimer la pulsation correspon- dante, not´eeωr en fonction deω0 etQ.
Dans la suite, on suppose QQ0.
6 - Quelle est alors l’expression de la pulsation de r´esonanceωr ?
7 - On noteXrle module deXpourω=ωr. ´Etablir son expression en fonction de ω0,A0 etQ.
8 - D´efinir les pulsations de coupure ω1 et ω2 (ω1 < ω2) du module de X.
Rappeler la relation liant ω0,Qet∆ω=ω2−ω1.
M. BARTHES
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Figure 5: Module de X en fonction de ω
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