ATS 2021-22 TD M9
ONDES
1 Une onde...*
Peut-on conclure sur la nature progressive ou station- naire de l’onde représentée sur le graphe ci-dessous ?
Dessiner sur le document ci-dessus l’onde à un ins- tant ultérieur dans le cas progressif puis stationnaire.
2 Onde lumineuse**
La lumière est une onde progressive de nature élec- tromagnétique. On fournit le graphe de la sensibilité de l’œil à la lumière en fonction de sa longueur d’onde (le maximum correspond à une lumière verte) :
Dans un autre milieu que le vide, la fréquence d’une onde lumineuse reste constante mais sa célérité varie : elle ne se propage plus à c mais à c/n, n étant l’indice optique du milieu. Par exemple, pour l’eau,n= 1.33.
1. Rappeler la valeur de la célérité de la lumière dans le vide.
2. Déterminer la plage de fréquences à laquelle l’œil est sensible.
3. La longueur d’onde d’un rayon de lumière augmente-il ou diminue-t-il lorsqu’il passe du vide à l’eau ? Justifier si possible sans calculs. S’il était vert dans le vide, reste-il visible pour un observa- teur aquatique ?
4. En réalité la dernière question n’a pas lieu d’être, savez vous pourquoi ?
3 Superposition d’ondes**
Deux perturbations symétriques et opposées se pro- pagent sur une corde dans des sens opposés :
On note y1(x, t) = f(−x+ct) le champ de l’onde allant vers la droite et y2(x, t) celui de l’onde allant vers la gauche.
1. Exprimery2(x, t) en fonction def.
2. Dessiner intuitivement l’allure de la corde lorsque les deux ondes se superposent. Est-ce paradoxal ? Que dire de l’énergie du système ?
3. Quelle est en fonction def l’expressiony(x, t) de l’allure de la corde à un instant quelconque.
4. Cas particulier de deux OPH : donner l’expression mathématique de deux ondes progressives harmo- niques d’amplitude identiqueA, de même pulsa- tionω, sans déphasage, l’une se propageant vers lesxcroissant et l’autre vers lesxdécroissant. En exploitant la formule de trigonométrie suivante, faites apparaître l’onde résultante sous une forme remarquable.
cosa+ cosb= 2 cos(a+b
2 ) cos(a−b 2 )
4 Analyse graphique**
Dans chacun des cas suivants, une onde stationnaire comprise sur une corde de longueur L est représentée. On notecla célérité. Exprimer la fréquence de l’onde en fonction deLetc.
1.
2.
5 Onde de houle**
— Doc 1 : Simulation de la houle au laboratoire avec une cuve à ondes en utilisant une lame vibrante (située à gauche sur la photo) qui crée à la surface de l’eau une onde sinusoïdale de fréquence f = 7,9 Hz. La flaque d’eau contenue dans la cuve est d’ une épaisseur de l’ordre dumm.
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— Doc 2 : Vitesse de propagation des ondes à la sur- face de l’eau.
- cas des ondes dites « courtes » (en eau pro- fonde), si la longueur d’onde λ est faible devant la profondeurhdu milieu (λ <0,5h)
c= rgλ
2π
- cas des ondes dites « longues » (en eau peu profonde,λ >10h)
c=p gh
1. A quelle type les ondes de cette expérience appar- tiennent elles (2 adjectifs attendus) ? (la réponse ne porte pas sur le caractère court ou long) 2. Déterminer l’épaisseur d’eau déposée dans la cuve
à onde. Combien de temps met une onde pour la traverser ?
3. Calculer la période d’une houle de longueur d’onde 60m, au niveau d’une fosse océanique de 3000m.
Réponse : 2)h= 1.2mm; 3)T = 6.2s
6 Réflexion/Transmission sur une discontinuité de corde**
Une corde très longue est composée de 2 tronçons, reliés par un nœud (un vrai, pas un nœud au sens onde stationnaire...) en x= 0, de masse linéique µ1 pour x < 0 et µ2 pour x >0 de sorte que la célérité des ondes qu’elles supportent vaillec1et c2 dans ces zones respectives.
Du coté x < 0 arrive une onde incidente (élonga- tion transversale de la corde) de forme réelle hi(x, t) = himcos(ωt−k1x) qui donne naissance à une onde réfléchie hr(x, t) dans la zone x < 0 et une onde transmise ht(x, t) dans la zone x > 0. Comme dans un problème de régime sinusoïdal forcé (RSF), on peut voir l’onde incidente comme un excitateur sinusoïdal engendrant les ondes réfléchies et transmises qui sont comme la réponse du système "corde".
De ce fait, les pulsations temporelles des réponses sont les mêmes que celle de l’excitateur, c’est-à-direω.
1. Exprimer k1 en fonction des données. Exprimer le complexehi associé au champ hi de l’onde in- cidente.
2. Donner en réel les expressions générales de l’onde réfléchie hr(x, t) et transmise ht(x, t). Puis leur complexe associée en introduisant de nouvelles amplitudes complexeshrm et htm.
3. Exprimer le champ de l’onde totale dans la zone x <0 puis dans la zonex >0. Ne pas chercher à simplifier.
4. La présence du nœud impose des conditions aux limites qui conditionnent l’amplitude des ondes réfléchie et transmise : tout d’abord le fait que le brin de corde juste à droite du nœud ait la même altitude que le brin juste à gauche
h(0−, t) =h(0+, t)
puis le PFD écrit au nœud de masse négligeable implique (après quelques calculs...) :
∂h
∂x(0−, t) =∂h
∂x(0+, t)
Appliquer ces deux conditions en utilisant les grandeurs complexes.
5. On définit les coefficients de réflexion r = hhrm
im
et de transmission t = hhtm
im. Réécrivez les deux équations de la question précédente en fonction de ret tpuis en déduire leur expression en fonction du rapportα=c1/c2.
6. On fournit l’expression de la célérité :c=p T /µ avecT la tension de la corde (identique partout).
Commenter les deux cas particuliersα→1, ∞.
Réponse : 5)t= 2/(1 +α) ;r= (1−α)/(1 +α)
7 Onde progressive le long d’une corde*
On étudie la propagation sans amortissement d’une perturbation le long d’une corde élastique. Au tempst= 0, le front de l’onde (= 1er point perturbé) quitte extrémité S de la corde.
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On trace ci-dessous la forme de la corde au tempst1= 2.3s.
1. Calculer la célérité c de l’onde qui se déplace le long de la corde.
2. Pendant combien de temps un point de la corde est-il mis en mouvement par le passage de l’onde ? 3. Au tempst1, quels sont les points qui s’élèvent ?
Quels sont ceux qui descendent ?
4. Représentez sur le graphique l’allure de la corde à t2= 1s.
5. Tracez l’évolution temporelle de la position de la corde au pointQ(x= 12m).
8 Résolution de problème**
En appuyant votre raisonnement sur le calcul de deux ordres de grandeurs, expliquer pourquoi il est plus facile de transporter, sans rien en renverser, une chope de bière qu’une assiette de soupe.
On donne l’expression de la célérité des ondes de sur- face dans un liquidec=√
gh.
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Je sais exprimer une onde progressive (célérité et sens de propagation)
3,6 Je distingue mouvement de l’onde progressive et mouvement du milieu
7 Je sais exprimer une onde progressive harmonique - lien entre pulsations et célérité
cours Je distingue représentation spatiale et représentation
temporelle
7 Je sais exprimer une onde stationnaire - lien entre pulsations et célérité
4 Je sais passer deλàω,f,c,k, etc...et inversement 2,5,6 Je sais représenter une OS et je connais la distance internodale
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