ONDES - OPTIQUE - ÉLECTRICITÉ

(1)

Stanislas - PCSI Concours Blanc de PHYSIQUE N^◦1 - 19/12/13- durée 4H Corrigé

ONDES - OPTIQUE - ÉLECTRICITÉ

I. Modulation d’amplitude et de phase

1. Modulation d’amplitude 1.1. Fabrication du signal modulé

1. Le montage conduit àv_s=ku1u2+u2=u2(1 +ku1), d’où l’expression proposée avec m=kU_m. 2. Commeω_pω_m, on a un signal porteur rapide dont l’amplitude est modulée lentement par le signal

modulant :

3. On décomposevsen série de Fourier grâce aux relations du formulaire : vs=1

2mU0cos((ωp−ωm)t) +U0cos(ωpt) +1

2mU0cos((ωp+ωm)t).

Il y a donc 3 composantes spectrales, toutes situées dans les hautes fréquences¹. D’où le spectre :

ω An

1 2mU0

U0

0 ωp−ωm ω_p ωp+ωm

1.2. Extraction du signal modulant par démodulation synchrone 4. On av_s2=kv2v_s. On obtient de même après développement

v_s2=¹₂kU0V0[1 + cos(2ω_pt)] +¹₄mkU0V0[cos((2ω_p−ω_m)t) + 2 cos(ω_mt) + cos((2ω_p+ω_m)t)]

Il y a donc 5 composantes spectrales, dont une composante "continue" et une basse fréquence correspondant au signal modulant de pulsationω_m:

1. C’est le principe de la modulation : les ondes électromagnétiques haute fréquence se propagent mieux qu’à basse fréquence, pour des raisons de rayonnement d’antenne notamment.

1 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira

2ωp+ωm ω 0

1 2kU₀V₀

2ω_p

1 4mkU₀V₀

A_n

ωm 2ωp−ωm

1 2mkU0V0

5.Conception du filtreF1

a) On prend la tension de sortie sur le condensateur, car il coupe le circuit à basse fréquence alors qu’il se comporte comme un fil à haute fréquence, ce qui donne un comportement passe-bas :

R

C L

R R

s1

vs2 vs2 s1=vs2

BF

vs2

HF

s1= 0

⇔ ou

b) La règle du pont diviseur de tension conduit àH= [1 +jCω(R+jLω)]⁻¹=^h1 +^jx_Q−x²ⁱ⁻¹avec x=_ω^ω

0, ω0= 1

√LC et Q= 1 R

s L C . c) Le gain vautG1(x) =^h(1−x²)²+_Q^x²2

i−¹

2. Pour avoir un vrai comportement de passe-bas avec un gain monotone (décroissant), il faut éviter toute résonance. Sinon le filtre va se comporter de fait comme un passe-bande en privilégiant les fréquences centrales. On posef(x) = (1−x²)²+_Q^x²2et on en cherche le minimum :f⁰(x) = 0 conduit àx²= 1−_2Q¹2, ce qui n’est possible que siQ >^√¹₂. On souhaite donc imposer Q≤Q_m= 1

√2.

Par ailleursG1(1) =Qdonc le gain à basse fréquence décroît d’autant moins vite queQest grand.

Pour restituer au mieux les basses fréquences on choisit donc Q=Q_m. d) Pour cette valeur deQ, le gain s’écrit simplement G1(x) = 1/√

1 +x⁴. La fréquence de coupure vérifieG(x_c) =Gmax/√

2 = 1/√

2 doncx_c= 1, d’où f_c1=f0= 1 2π

√1 LC e) On imposef_c1= 6 kHz donc C= 1

4π² 1

Lf_c²₁ = 7 nF. De plus, le choix deQimpose la valeur deR: R= 1

Q s

L C = 5 kΩ.

f) GdB 1= 20 logG1=−10 log(1+x⁴). Donc les deux asymptotes sontGdB 1−→

x10 etGdB 1 ∼

x∞−40 logx. La transition s’opère de part et d’autre dex= 1, cf schéma en annexe (trait bleu continu).

6.Conception du filtreF2

a) On réalise un montage série en prenant la tension sur la résistance :

R C

R R

s1 s s= 0

BF

s1 s=s1

HF s1

⇔ ou

(2)

b) La relation du pont diviseur de tension conduit àH₂ = _s^s

1 = 1

1 + ¹

jRCω

. Le gain G2(ω) = h1 + ¹

(RCω)² i−¹₂

ω→∞→ G2 max= 1. DoncG2(ω_c2) = 1/√

2⇔RCω_c2= 1, d’où f_c2= 1 2πRC . c) On impose quef_c2= 20 Hz, ce qui donne C= 1

2πRf_c2 = 1,5µF.

d) Sachant queRCω= _f^f

c2 = ^f_f^c1

c2x, on exprime le gain en fonctionx:G2(x) =^h1 + ^f²^c2

f_c1²x² i−¹

2. On obtient ainsi les formes asymptotiques suivantes : GdB 2 ∼

x^fc2 fc1

20 logf_c1

f_c2+ 20 logx d’une part et GdB 2 →

x^fc2 fc1

0 d’autre part. La transition a lieu en x=f_c2

f_c1 = 3,3×10⁻³. D’où le tracé en annexe (trait discontinu vert).

7. Mise en cascade des filtres_F1 et_F2.

a) Si l’on met les filtres directement en cascade, le filtreF1n’aura plus la même fonction de transfert qu’en sortie ouverte, donc on aura pas globalement pourF :H = H

|{z}

1

.H₂. Pour que les fonction de transfert en sortie ouverte soient préservées dans le montage, une solution est d’intercaler un montage suiveur constitué à partir d’un Amplificateur Opérationnel, selon le montage suivant :

+

F₁ F₂

Le montage suiveur ayant une impédance d’entrée quasi infinie et une impédance de sortie quasi nulle, on dit qu’il y a adaptation d’impédances et alorsH=H₁.H₂.

b) On a alorsG(ω) =G1(ω).G2(ω), d’où GdB=GdB 1+GdB 2. Le diagramme de Bode en gain deF est la somme de celui deF1et celui deF2(cf annexe, tiret-point rouge).

1.3. Application

8. a) Le signal détaillé dans la question 4. entre dans le filtre. Il en sorts(t) : s(t) = G(0)¹₂kU0V0cosϕ(0)

+ G(ω_m)¹₂mkU0V0cos(ω_mt+ϕ(ω_m))

+ G(2ω_p−ω_m)¹₄mkU0V0cos((2ω_p−ω_m)t+ϕ(2ω_p−ω_m)) + G(2ω_p)¹₂kU0V0cos(2ω_pt+ϕ(2ω_p))

+ G(2ω_p+ω_m)¹₄mkU0V0cos((2ω_p+ω_m)t+ϕ(2ω_p+ω_m)) Notons que de fait la composante continue n’apparaît pas carG(0) = 0.

b) On a G(ω) =G1(ω)G2(ω) =

"

1 +ω⁴ ω⁴₀

! .

1 + 1

(RCω)² #−¹₂

. Pour l’application numérique, il est plus pratique de travailler avec la fréquence compte-tenu des données :G(f) =^h1 + ^f⁴

f_c1⁴

.1 +^f^c2²

f² i−¹₂

. On calcule les amplitudes de chacune des composantes du signals(t) :

ω 0 ω_m 2ω_p−ω_m 2ω_p 2ω_p−ω_m S_m(ω) (V) 0 1,2×10⁻¹ 2,2×10⁻⁵ 8,6×10⁻⁵ 2,1×10⁻⁵

c) On peut donc à 0,02 % près retenir uniquement la composante fondamentale àω=ωm, qui cor- respond au signal modulant. Par ailleurs, on aϕ(f_m) = ϕ1(f_m) +ϕ2(f_m) carH = H₁.H₂. De plus, comme_f^f^m

c1= 0,161 et_f^f^m

c2= 501, on peut approximerϕ(f_m)≈arg(1) + arg(j_f^f^m

c2), d’où ϕ(f_m)≈π

2 ≈90^◦. Finalement, s(t)≈S_mcos(2πf_mt+π

2) =−Smsin(2πf_mt) avec S_m≈1,2×10⁻¹V .

2. Modulation de phase 2.1. Principe de la modulation

9. a) On développe le cosinus puis on approxime le sinus et le cosinus pourm1 (cf formulaire) : v_s=U0[cos(ω_pt) cos(mcos(ω_mt))−sin(ω_pt) sin(mcos(ω_mt))]≈U0[cos(ω_pt)−sin(ω_pt)mcos(ω_mt)]. D’où la relation demandée, avec f(t) =−mU0cos(ω_mt) .

b) On doit avoiru⁰₂(t) = −U0sin(ω_pt). L’opérateur « D_P » doit donc déphaser le signalu2 en lui ajoutant^π₂.

2.2. Réalisation de l’opérateur «D_p»

10. Il s’agit d’un pont de Wheatstone. On applique deux fois la règle du pont diviseur de tension :H=^u_u⁰²

2=

−_1+jRCω¹ +₁₊¹1 jRCω

, d’où H=−1−jRCω 1 +jRCω.

(3)

11. Le gain vaut|H|= 1 donc le filtre n’agit que sur la phase. On a arg(H) = arg(−1) + arg(1−jRCω)− arg(1 +jRCω) =π−2 arg(1−jRCω), d’où ϕ_D=π−2 arctan(RCω) .

12. On veutϕ_D=^π₂, donc^π₄= arctan(RCω_p) d’où RC= 1 ω_p.

II. Caméra de controle des plaques d’immatriculation

1. DIMENSIONNEMENT DES CAMERAS

1. D≥4f⁰. On parle de projection.

2. La relation de Descartes ¹

OC+ ¹

P O= _f¹0 soit : OC= 1

f⁰−1 L

−1

. Dans la relation de Descartes pré- cédente, on aOC >0 etP O >0, il vient une distance focale nécessairement positive, soit une lentille convergente.

3. La relation de grandissement donneγ=^OC

OP soit γ=− f⁰ L−f⁰ .

4. On observe quef⁰<< L, il vient doncOC≈f⁰: l’image se forme presque dans le plan focal image ce qui attendu car cette approximation revient à considérer l’objet à l’infini.

5. γ≈ ^f_L⁰ ={1,75.10⁻³; 1,72.10⁻³; 1,78.10⁻³; 1,71.10⁻³; 1,78.10⁻³;}. Les valeurs de grandissement sont à peu près identiques. Le capteur étant le même dans toutes les caméras, et l’objet étant toujours de même taille, la taille finale de l’image doit toujours être la même pour ne pas avoir à modifier le traitement numérique de l’image. D’où un grandissement fixé.

Dans la suite on utilise la valeur moyenneγ= 1,75×10⁻³.

6. Soit`la largeur ethla hauteur, on a :`²+h²=d²avecdla diagonale. Or, en ramenant l’ensemble à la taille d’un pixel, il vient : (752a)²+ (582a²) =d² soita=^√ ^d

725²+582²= 6,7µm. Il vient :`= 5,0 mm et h= 3,9 mm.

7. En utilisant le grandissement moyen, les dimensions du champ d’observation sont une largeur de ∆_L=γ` = 2,9 m sur une hauteur de ∆_H=γh = 2,2 m. Ces dimensions (surtout la largeur) sont justes en compa- raison de la largeur d’une chaussée conventionnelle. Il conviendrait donc de placer deux caméras.

8. On utilise le grandissement dans l’autre sens et on trouve que l’image d’un caractère fait 88µm de large sur 1,4×10²µm de haut soit 13×20 pixels.

9. Le grandissement doit être assez grand pour distinguer les caractères mais doit permettre d’avoir un champ suffisamment grand pour couvrir notamment l’ensemble de la plaque.

10. La nuit, on ne verrait pas les plaques. L’éclairage des plaques par infra-rouge ne risque pas d’éblouir le conducteur.

11. L’ordre de grandeur de l’ouverture angulaire du faisceau donneθ≈sin(θ)≈_D^λ soit une taille de tâche δ=f⁰λ

D ≈1,8µm. Ce phénomène est donc inférieur à la pixellisation, il limitera donc pas la résolution.

2. PROFONDEUR DE CHAMP

12. cf. schéma. On trace un rayon parallèle à au premier rayon passant part l’axe optique. Il ressort non dévié et intersecte le premier rayon sortant dans le plan focal image de la lentille (faisceau incident parallèle convergent en foyer secondaire). On obtient par symétrie la marche du second rayon. Leur intersection (sur l’axe optique) est l’imageC0.

13. Le principe de construction est le même que précédemment.

14. La position des pointsC0etC1 est donnée par les relations de Descartes :− ¹

OP0+ ¹

OC0 =_f¹0 et −

1 OP1+ ¹

OC1=_f¹0. Le théorème de Thalès dans les triangles formés par les rayons extrêmes donne donc : d1=DC0C1

OC1

=D

"

1−OC0

OC1

#

=D

"

1− 1

f⁰+ 1 OP1

1 f⁰+ 1

OP0 −1#

En introduisantOP0=−LetOP1=−L+ ∆1on obtient d1=D f⁰∆1

(L−∆1)(L−f⁰). On a donc β=D. 15. cf. schéma

16. On obtient d1≈D f⁰∆1

(L−∆1)L) et d2≈D f⁰∆2

(L+ ∆2)L). 17. En inversant les relations, on trouve : ∆1 lim= L²a

Df⁰+La et ∆2 lim= L²a Df⁰−La. 18. ∆1 lim= 2,5 m et ∆2 lim= 5,8 m. D’oùZ= ∆1 lim+ ∆2 lim= 8,4 m.

19. On peut remarquer que la profondeur de champ augmente quand le diamètre de l’objectif diminue, c’est logique puisqu’on diminue la largeur du faisceau incident. Il est donc souhaitable de choisir un petit diamètre d’objectif (petite ouverture) pour viser un objet mobile comme une voiture.