Ondes électromagnétiques dans le vide
Les points du cours à connaître
I- Ondes électromagnétiques dans le vide
1. Structure des ondes électromagnétiques
Equation de d'Alembert suivie par les champs électromagnétiques dans le vide dans le vide illimité, les équations de Maxwell entraînent
∆ψ =O2ψ = 1 c2
∂2ψ
∂t2 avec : ψ =Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz.
Dans le vide, la vitesse (de phase et de groupe) de propagation des ondes électromagnétique est la vitesse de la lumière,
c= 1
√ε0.µ0
= 3×108 m·s−1
Structure d'une onde électromagnétique plane dans le vide
L'onde électromagnétique dans le vide est transverse : B~ et E~ sont orthogonaux à la direction de propagation.
E, ~~ B, ~k
forment un trièdre orthogonal direct.
kEk~ =ckBk~ .
Tout ce qui précède peut se résumer par
B~ = ~k ω ∧E~
2. Divers domaines des ondes électromagnétiques 3. Ondes monochromatiques
OPPH/OPPM et OPPHH
Une onde harmonique (ou monochromatique) est qualiée de plane et progressive quand les surfaces équiphases sont des plans :
OPPH : E =E(r) cos(ω t−~k ~r)
Si en outre l'amplitude est uniforme l'onde est qualiée de plane et homogène : OPPHH :E =E0 cos(ω t−~k ~r)
4. Photon
Le photon associé à une OPPM
à toute OPPM qui se propage dans le vide illimité, de fréquenceν et de pulsation ω = 2π ν
de vecteur d'onde~k,
on peut associer une particule, le photon, avec
une masse nulle une vitessec
une énergie :Eϕ =~ω =h ν une quantité de mouvement : ~p = ~k
où~ est la constante de Planck réduite (~ 2.π).
5. Etude énergétique
Energie d'une onde électromagnétique plane dans le vide
La densité volumique d'énergie électromagnétiqueeem =ee+em d'une onde électromagnétique plane est équipartie entre terme électrique (ee) et terme magnétique (em)
ee= 1
2ε0.E2 =em= B2
2.µ0 = eem 2
II- Phénomènes de polarisation (TP cours)
1. Polarisation des ondes planes progressives monochromatiques Diérentes polarisations d'une OPPM
La polarisation d'une OPPM qui se propage vers les z croissants avec Ex =E0x cos (ω t) etEy =E0y cos (ω t−ϕ) avec E0x etE0y positifs, est :
• elliptique en règle générale (si ϕ6= 0 [π]),
• rectiligne si ϕ= 0 [π] ou si E0xE0y = 0,
• circulaire si ϕ= π2 [π]et E0x =E0y =E0. Hélicité
Dans le cas d'une OPPM qui se propage vers les z croissants avec Ex =E0x cos (ω t) etEy =E0y cos (ω t−ϕ) avec E0x etE0y strictement positifs,
• si ϕ∈]0, π[, l'hélicité est positive (on parle de polarisation elliptique gauche) ;
• si ϕ∈]−π,0[, l'hélicité est négative (on parle de polarisation elliptique droite).
2. Polariseurs Loi de Malus
Après un analyseur qui fait un angleθ avec une polarisation rectiligne, l'intensité est multipliée par cos2θ :
I2 = cos2(θ).I1
3. Lames à retard
Axes neutres d'une lame à retard
Une onde pénétrant en incidence normale dans un tel milieu, et polarisée suivant l'axe lent ou l'axe rapide, ressortira du milieu avec la même polarisation. C'est pour cela qu'on parle d'axes neutres.
Lame à retard (ou anisotrope) :
Une OPPM qui se propage vers les z croissants qui pénètre dans une lame anisotrope avec Ex =E0x cos (ω t) etEy =E0y cos (ω t−ϕ)
(avecE0x et E0y positifs), ressort de la lame anisotrope telle que Ex =E0x cos (ω t) etEy =E0y cos (ω t−ϕ0) avec
4. Applications de la polarisation Loi de Biot
on s'intéresse à un faisceau de lumière traversant sur une distance ` une solution de concen- tration C d'une molécule optiquement active. La polarisation de la lumière tourne alors d'un angle
α =θ0.C.`
oùθ0 est l'activité optique, caractéristique de la molécule.
5. Détermination d'une polarisation inconnue
III- Propagation d'une onde électromagnétique
1. Propagation dans les conducteurs Conductivité d'un métal réel
Pour un métal, la conductivité est complexe :
˜
γ(ω) = γ0
1−j τ ω = ε0ω2p
1 τ −j ω 2. Propagation dans un diélectrique
Indice complexe du milieu :
La relation de dispersion peut se simplier en
˜k =±˜nω c
˜
n (sans dimension) est appelé indice du milieu diélectrique. Il est complexe, on peut écrire : Re (˜n) = nr etIm (˜n) = −ni.
Structure de l'onde dans un milieu diélectrique
L'onde plane progressive monochromatique qui se propage avec un vecteur d'onde~k˜= ˜k.~uz =
˜
nωc~uz est telle que
~˜ B =
~k˜
ω ∧E~˜ = ˜n~uz c ∧E~˜ Absorption
Si ni 6= 0 ⇒ n˜ ∈ C, l'onde qui se propage est une onde amortie : l'amplitude de l'onde est atténuée par le terme e−niω.zc . Il y a absorption de l'onde par le milieu de propagation.
3. Interface entre deux milieux Relation de passage sur un dioptre
On admet qu'à l'interface (z = 0), le champ électromagnétique est continu : (
∀t E~˜i(z = 0, t) +E~˜r(z = 0, t) = E~˜t(z = 0, t)
∀t B~˜i(z= 0, t) +B~˜r(z= 0, t) = B~˜t(z = 0, t) Coecients de réexion et transmission
Les coecients en amplitude sont :
• coecients de réexion tels que :
~˜
Er(z = 0, t) = ˜rEE~˜i(z = 0, t) et B~˜ (z = 0, t) = ˜r B~˜ (z = 0, t);
coecients de transmission tels que :
~˜
Et(z = 0, t) = ˜tEE~˜i(z = 0, t) et B~˜t(z = 0, t) = ˜tBB~˜i(z = 0, t). Les coecients en énergie sont :
• coecient de réexion : R=|˜rE|2 =|˜rB|2
• coecient de transmission : T = 1−R.
Exercice traité en n de cours
exo 19.1) Modélisation de l'absorption et de la dispersion dans l'eau 1) Données relatives à l'eau
La partie réelle nrde l'indice de l'eau varie de 1,329 à 1,343 d'un bout à l'autre du spectre visible, entre le rouge et le bleu. L'absorption de l'eau est donnée par le graphique suivant :
1.a) L'eau est-elle un milieu dispersif dans le visible ? Modéliser les variations de la partie réelle de l'indice de l'eau grâce à la formule de Cauchy :nr=A+λB2.
1.b) L'indice de l'eau a-t-il une partie imaginaire non nulleni dans le visible ? Justier.
2) Application à la couleur de la mer
2.a) Dans quelle partie du spectre visible l'absorption de l'eau est-elle la plus faible ? 2.b) Proposer une interprétation à la couleur de la mer.
3) Arc en ciel
Un rayon de lumière monochromatique pénètre dans une goutte d'eau assimilée à une sphère homogène d'indicensous une incidencei, il subit une réexion à l'intérieur de la sphère avant de sortir.
3.a) Faire un schéma.
3.b) Calculer la déviation D du rayon émergent par rapport au rayon incident en fonction de i et r, l'angle du premier rayon réfracté.
3.c) Montrer que cette déviationD passe par un extremum lorsquesin2i=4−n32.
D est extrémale lorsqu'il y a accumulation de lumière : c'est l'arc en ciel (la symétrie de révolution donne un arc).
3.d) Applications numériques pour l'arc-en-ciel : calculer la déviationD lorsqu'elle est extrémale, pour le bleu et pour le rouge. Expliquez pourquoi l'arc en ciel est coloré.
Techniques à maîtriser
I- Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
Établir et citer les équations de propagation.
Établir et décrire la structure d'une OPPHH.
Utiliser le principe de superposition d'OPPHH.
Relier la direction du vecteur de Poynting et la direction de propagation de l'onde.
Relier le ux du vecteur de Poynting à un ux de photons en utilisant la relation d'Einstein-Planck.
Citer quelques ordres de grandeur de ux énergétiques surfaciques moyens (laser hélium-néon, ux solaire, téléphonie, etc..) et les relier aux ordres de grandeur des champs électriques associés.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Il faut repartir des équations de Maxwell et appliquer∆E~ =−−→
grad div ~E
−−→
rot−→
rot ~E
Des équations de maxwell aux ondes électromagnétiquesméthode
19.1.1) Longueurs d'onde de quelques ondes radios
1) Déterminer la longueur d'onde λ, le nombre d'ondeσencm−1 et la norme du vecteur d'ondek pour : 1.a) une station grande onde (de fréquenceν = 250kHz) ;
1.b) une station FM (de fréquenceν = 100M Hz) ; 1.c) un téléphone portable (de fréquenceν= 1,8GHz).
19.1.2) Caractéristiques ondulatoires de l'onde émise par un laser hélium-néon
Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1,0mm d'une onde plane pro- gressive monochromatique de longueur d'ondeλ= 632,8nm. La puissance moyenne émise est Pe= 1,0mW.
On donne :µ0= 4.π.10−7H.m−1. 1) Calculer les amplitudes
1.a) Emax du champ électrique ; 1.b) etBmax du champ magnétique.
19.1.3) Caractéristiques corpusculaires de l'onde émise par un laser hélium-néon
Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1,0mm d'une onde plane pro- gressive monochromatique de longueur d'ondeλ= 632,8nm. La puissance moyenne émise est Pe= 1,0mW.
On donne :h= 6,62.10−34J.s. 1) Déterminer le nombre de photons
1.a) npar unité de volume dans le faisceau ; 1.b) N de photons émis par seconde par le laser.
19.1.4) Onde sphérique
On s'intéresse à une onde sphérique monochromatique, de pulsationω et de centreO. Son amplitude est de la forme :A(~r, t) =a(r).cos
ω.t−~k.~r
1) Donner l'expression du vecteur d'onde ~k dans le repère sphérique en distinguant les deux cas : onde convergente ou onde divergente.
2) Pourquoi l'amplitude a(r)est-elle proportionnelle à l'inverse de la distancer?
19.1.5) Les photons émis par le Soleil Le ux solaire sur Terre est1,36 kW·m−2.
1) En déduire la puissance totale rayonnée par le Soleil, situé à 8 min lumière de la Terre.
2) Estimer l'ordre de grandeur du nombre de photons arrivant par seconde sur 1m2, sur la Terre.
3) A quelle distance du Soleil faudrait-il se placer pour recevoir 1 photon par seconde sur 1m2?
II- Polarisation des ondes électromagnétiques
Relier l'expression du champ électrique à l'état de polarisation d'une onde.
Reconnaître une lumière non polarisée.
Distinguer une lumière non polarisée d'une lumière totalement polarisée.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Il faut d'abord faire tourner un analyseur devant la lumière à analyser.
- Si la lumière s'éteint, il s'agit d'une polarisation rectiligne,
- si l'intensité lumineuse présente un minimum, il s'agit d'une polarisation elliptique,
- si l'intensité est constante, il peut s'agir d'une polarisation circulaire ou bien d'une lumière non pola- risée.
Pour diérencier ces deux derniers cas, il faut alors introduire une lame quart d'onde devant l'analyseur.
En tournant l'analyseur,
- si la lumière s'éteint il s'agit d'une polarisation circulaire,
- sinon (si l'intensité est constante) il s'agit d'une lumière non polarisée.
Etude de la polarisation des ondes électromagnétiques méthode
19.2.1) Variation de l'intensité lumineuse avec la loi de Malus
Un faisceau parallèle de lumière traverse un polariseur xe. Son intensité est notée I0 après ce polariseur.
Le faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur dont l'axe fait un angle θ avec l'axe du premier polariseur.
1) Déterminer l'intensité lumineuse I sortant du second polariseur (loi de Malus).
2) Initialement, θ = θi, et l'intensité lumineuse sortant du second polariseur est Ii. On fait varier θ de dθπ.
2.a) Exprimer la variation relative dIIi de l'intensité lumineuse sortant du second polariseur, en fonction deθi etdθ.
Application : dθ= 1◦, que vaut dIIi 2.b) siθi = 10◦?
2.c) siθi= 80◦?
19.2.2) Modulation de l'intensité lumineuse grâce à un polariseur tournant
Un faisceau parallèle de lumière naturelle non polarisée d'intensitéI0traverse un polariseur xe.
1) Quelle est l'intensitéI1après ce polariseur ?
Le faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur qui tourne autour de l'axe optique avec une vitesse angulaireω.
2) Déterminer l'intensité lumineuse I2 sortant du second polariseur.
(On supposera que le second polariseur tourne lentement devant le temps de réponse du détecteur).
3) Montrer que l'on a modulé l'intensité à la pulsation2.ω.
19.2.3) Détection de lumière au voisinage de l'extinction
Un polariseur et un analyseur sont réglés à l'extinction. On fait tourner l'analyseur d'un angleα.
1) Exprimer l'intensité I2 après l'analyseur en fonction deI1, l'intensité entre le polariseur et l'analyseur, et deα.
2) Pour détecter de la lumière après le polariseur, il faut que l'intensité soit supérieure au bruit, qui vaut 5%.I1. Déterminer numériquement en secondes d'angle, l'angle minimumαmin dont il faut tourner l'analyseur pour détecter de la lumière.
19.2.4) Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement
1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère(Oxyz)du champ électriqueE~˜ de l'onde plane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'ondek), polarisée rectilignement suivant l'axe (Oy)se propageant suivant une direction faisant, dans le plan(xOz), un angle de45◦ avec l'axe (Oz).
On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.
19.2.5) Décomposition d'une OPPM polarisée rectilignement
Soit une onde plane progressive monochromatique, de pulsation ω et de vecteur d'onde~k=k.~uz, polarisée rectilignement selon un axe qui fait l'angleαavec(Ox).
1) Donner l'expression des composantes Exet Ey du champ électrique. On prendraE0 comme amplitude de ce champ.
2) Montrer que la superposition de deux OPPM de mêmes caractéristiques polarisées circulairement : Ex=E00.cos (ω.t−k.z+α)
Ey=E00.sin (ω.t−k.z+α)
et
Ex=E00.cos (ω.t−k.z−α) Ey=−E00.sin (ω.t−k.z−α)
redonne l'OPPM polarisée rectilignement. On exprimeraE00 en fonction deE0.
19.2.6) Polariseur circulaire
On s'intéresse à un ltre suivi d'un polariseur, lui-même suivi d'une lame quart d'onde avec ses lignes neutres à 45◦ de la direction du polariseur.
1) On envoie de la lumière naturelle dans le dispositif. Quelle est la polarisation de la lumière ainsi produite ? On retourne le dispositif donc la lumière naturelle rencontre d'abord la lame quart d'onde puis le polariseur.
2) La polarisation de la lumière produite a-t-elle changé ?
19.2.7) Détection de l'hélicité d'une polarisation circulaire
On s'intéresse à un ltre suivi d'une lame quart d'onde (qui ajoute un déphasage +π2 sur l'axe vertical), lui-même suivi d'un polariseur, qui peut librement tourner dans son plan. On envoie de la lumière polarisée circulairement dans le dispositif.
1) Pour quelle direction du polariseur obtient-on l'extinction si : 1.a) la polarisation est circulaire gauche ?
1.b) la polarisation est circulaire droite ?
19.2.8) Caractéristiques d'une OPPM On se place dans un repère cartésien(Oxyz).
Un faisceau laser émet une onde plane progressive (suivant ~u), monochromatique (de longueur d'onde λ), polarisée rectilignement suivant(Oz).
On poseθ= (~ux, ~u).
1) Ecrire, en fonction de E0 (l'amplitude du champ électrique) et de λ, les composantes dans le repère cartésien(Oxyz)
1.a) du vecteur d'onde~k, 1.b) du champ électriqueE~, 1.c) du champ magnétiqueB~, 1.d) et du vecteur de PoyntingΠ~.
19.2.9) Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement
1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère(Oxyz)du champ électriqueE~˜ de l'onde plane progressive monochromatique (de pulsationω, de norme de vecteur d'ondek), se propageant suivant l'axe (Ox), polarisée rectilignement, le champ électrique faisant un angle de60◦ avec l'axe(Oy).
On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.
19.2.10) Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée elliptiquement 1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère(Oxyz)du champ électriqueE~˜ de l'onde plane progressive monochromatique (de pulsationω, de norme de vecteur d'ondek), se propageant suivant l'axe (Oy), polarisée elliptiquement à droite.
Le demi grand axe de l'ellipse, étant suivant (Oz), est trois fois plus grand que le demi petit axe (notéE0).
Le déphasage entre les deux axes de l'ellipse est π2.
III- Propagation dans un milieu
Décrire le modèle d'un plasma localement neutre sans collisions.
Construire une conductivité complexe en justiant les approximations.
Associer le caractère imaginaire pur de la conductivité complexe à l'absence de puissance échangée en moyenne temporelle entre le champ et les porteurs de charges.
Traiter le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Établir une relation de dispersion pour des ondes planes progressives harmoniques.
Associer les parties réelle et imaginaire de ˜kaux phénomènes de dispersion et d'absorption.
Reconnaître une onde évanescente (onde stationnaire atténuée).
Dans le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle, repérer une analogie formelle avec les phénomènes de diusion.
Connaître l'ordre de grandeur de l'épaisseur de peau du cuivre à50 Hz.
ce qu'il faut savoir faire capacités
19.3.11) Conductivité d'un plasma
Une onde électromagnétique de champ électrique complexeE~˜= ˜E0e−j(ω t−k z)~uxexiste dans le plasma.
1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.
2) Montrer que la conductivité complexe du plasma peut s'écrire
˜
γ=j ε0ω2p ω
19.3.12) Pulsation plasma
La conductivité complexe du plasma peut s'écrire
˜ γ=j ε0
ω2p ω
1) Montrer que ωp a bien la dimension d'une pulsation.
19.3.13) Absence d'eet Joule dans le plasma
1) Montrer qu'il y a absence de puissance échangée en moyenne temporelle entre le champ et les porteurs de charges dans un plasma.
19.3.14) Neutralité locale d'un conducteur
1) Montrer qu'un conducteur est localement non chargé.
19.3.15) Propagation dans un métal réel pour les ondes hertziennes
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E~˜ = E0.e−j.(ω.t−˜kz−ϕ)~uqui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
˜k2=ω2
c2 1 +j ωp2.τ ω.(1−j.ω.τ)
!
On suppose queω τ1 ωp (c'est le cas pour les ondes hertziennes).
1) Montrer que ˜k=±1+jδ .
2) En déduire que l'onde est amortie.
19.3.16) Propagation dans un métal réel pour les ondes visibles
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E~˜ = E0.e−j.(ω.t−˜kz−ϕ)~uqui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
˜k2=ω2
c2 1 +j ωp2.τ ω.(1−j.ω.τ)
!
On suppose que τ1 ω < ωp (c'est le cas pour les ondes visibles).
1) Montrer que ˜k=±δj0.
2) En déduire que l'onde est évanescente.
19.3.17) Propagation dans un métal réel pour les ondes UV
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E~˜ = E0.e−j.(ω.t−˜kz−ϕ)~uqui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
˜k2=ω2
c2 1 +j ωp2.τ ω.(1−j.ω.τ)
!
Supposons que 1τ ωp< ω(c'est le cas à partir du domaine UV).
1) Montrer qu'on retrouve l'équation de dispersion de Klein-Gordon.
2) En déduire qu'il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.
19.3.18) Propagation dans un métal réel pour les ondes X
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E~˜ = E0.e−j.(ω.t−˜kz−ϕ)~uqui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
˜k2=ω2
c2 1 +j ωp2.τ ω.(1−j.ω.τ)
!
Supposons enn que τ1 ωpω (c'est le cas pour les rayonnements X).
1) Montrer qu'il y a propagation sans dispersion ni absorption, comme dans le vide.
19.3.19) Indice optique et vitesse de l'onde
1) L'indice optique correspond-il à une vitesse de phase ou à une vitesse de groupe ?
19.3.20) Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de Cauchy On s'intéresse à un milieu vériant la loi de Cauchy :
n=A+ B λ2
On donne la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe : vg=vϕ−λdvϕ
dλ
1) Exprimer la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase, den, deB et de λ. 2) Comparer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
3) Que se passe-t-il si le milieu est non dispersif ?
19.3.21) Propagation dans un plasma
On peut montrer que dans un plasma, la relation de dispersion est de la forme k2=ω2−ωp2
c2
On se place dans le cas d'une onde de pulsationω > ωp, la pulsation plasma.
1) Indice du milieu :
1.a) Pourquoi a-t-on le droit de parler d'indice ? 1.b) Quel est l'indicen(ω)du milieu ?
2) Exprimer les vitesses : 2.a) vϕ de phase ; 2.b) vg de groupe ; 2.c) et les comparer àc.
IV- Interface entre deux milieux
Dans le cas de d'une onde plane progressive harmonique sous incidence normale entre deux demi-espaces d'indices complexes n1 et n2, exploiter la continuité (admise) du champ électromagnétique dans cette conguration pour obtenir l'expression du coecient de réexion en fonction des indices complexes.
Distinguer les comportements dans le domaine de transparence et dans le domaine réactif du plasma.
Établir les expressions des coecients de réexion et transmission du champ pour un métal réel. Passer à la limite d'une épaisseur de peau nulle.
Dans le cas d'une interface vide-conducteur ohmique dans le domaine optique visible, identier le com- portement du métal dans ce domaine, avec celui d'un plasma localement neutre peu dense en-dessous de sa pulsation de plasma.
Associer la forme du coecient complexe de réexion à l'absence de propagation d'énergie dans le métal en moyenne temporelle.
Identier l'incidence de Brewster et utiliser cette conguration pour repérer la direction absolue d'un polariseur.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Les trois OPPM impliquées dans le processus sont
l'onde incidente, de vecteur d'onde~ki= 2π.nλ1~uz, de champ électrique complexe E~˜i=E~˜0i.ej.(ωt−ki.z)et magnétiqueB~˜i= n1c.~uz ∧E~˜i;
l'onde rééchie, de vecteur d'onde~kr =−2π.nλ 1~uz, de champ électrique complexe E~˜r=E~˜0r.ej.(ωt+kr.z) et magnétiqueB~˜r= −n1c.~uz ∧E~˜r;
l'onde transmise de vecteur d'onde~kt= 2π.nλ 2~uz, de champ électrique complexeE~˜t=E~˜0t.ej.(ωt−kt.z)et magnétiqueB~˜t=n2c.~uz ∧E~˜t.
Les coecients en amplitude pourE~ sont
Coecients de réexion et de transmission dans le cas de l'incidence normale
méthode
• en transmissiontE tel que E0t=tE.E0i. Les coecients en amplitude pourB~ sont
• en réexionrB tel que B~˜0r=rB.B~˜0i,
• en transmissiontB tel que B~˜0t=tB.B~˜0i.
On peut dénir les coecients énergétiques suivants :
• en réexionR=hΦhΦri
ii;
• en transmissionT =hΦhΦti
ii.
Les conditions de passage sur les champs électromagnétiques (continus) permettent de déterminer tous ces coecients.
19.4.1) Coecients de transmission et réexion
On s'intéresse à une interface en z= 0. Dans le milieu z <0l'indice optique estn˜1 et dans le milieuz >0 l'indice estn˜2.
L'onde incidente a pour champ électrique
~˜
Ei= ˜E0ie−j(ω t−˜k1z)~ux
1) Déterminer la forme des diérentes ondes électromagnétiques.
2) Calculer les coecients de transmission et réexion pour les champs E~ etB~. 3) En déduire les coecients de transmission et réexion en énergie.
19.4.2) Réexion du diamant
On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champsE~ etB~ à l'interface entre deux milieux d'indicesn˜1 etn˜2 sont :
˜rE=nn˜˜1−˜n2
1+˜n2 =−˜rB
˜tE= n˜2 ˜n1
1+˜n2 = nn˜˜1
2
˜tB
Le diamant est transparent, translucide ou opaque.
Son indice de réfraction est particulièrement élevé :n≈2,4.
1) Qu'est-ce qui donne au diamant son éclat caractéristique, dit adamantin ?
19.4.3) Déphasage deπ pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champsE~ etB~ sont :
˜rE=nn˜˜1−˜n2
1+˜n2 =−˜rB
˜tE= n˜2 ˜n1
1+˜n2 = nn˜˜1
2
˜tB
1) Justier qu'il existe un déphasage de πpour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur.
19.4.4) Déphasage deπ pour une réexion sur un miroir
On rappelle que ˜k ≈ ±jωcp pour la propagation dans un métal dans le domaine visible c'est-à-dire si
1
τ ω < ωp.
On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champsE~ etB~ à l'interface entre deux milieux d'indicesn˜1 etn˜2 sont :
˜rE=nn˜˜1−˜n2
1+˜n2 =−˜rB
˜tE= n˜2 ˜n1
1+˜n2 = nn˜˜1
2
˜tB
1) Montrer que le métal se comporte comme un miroir parfait.
2) Justier qu'il existe un déphasage de πpour une réexion sur un miroir.
19.4.5) Interface vide/plasma On rappelle que˜k=
√ω2−ω2p
c pour la propagation dans un plasma.
On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champsE~ etB~ à l'interface entre deux milieux d'indicesn˜1 etn˜2 sont :
˜rE=nn˜˜1−˜n2
1+˜n2 =−˜rB
˜tE= n˜2 ˜n1
1+˜n2 = nn˜˜1
2
˜tB
1) Montrer que le plasma se comporte comme un miroir parfait siω < ωp.
19.4.6) Polarisation d'une onde rééchie à l'incidence de Brewster
On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques, d'indices n1 et n2. Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe le demi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une incidenceθ1=
~ uz, ~ki
. On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.
On noteraθ2=
~ uz, ~kt
l'angle de réfraction et−θ1=
~ uz, ~kr
l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.
On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidente polarisée rectilignement :
• dans le plan d'incidence r//= tan(θtan(θ1−θ2)
1+θ2);
• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥=sin(θsin(θ1−θ2)
1+θ2).
1) Montrer qu'il existe une incidenceθ1=θB telle que l'onde est totalement polarisée.
2) ExprimerθB en fonction den1et n2 uniquement.
19.4.7) Coecients de réexion et de transmission à l'interface entre deux diélectriques
On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques, d'indices n1 et n2. Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe le demi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une incidenceθ1=
~ uz, ~ki
. On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.
On noteraθ2=
~ uz, ~kt
l'angle de réfraction et−θ1=
~ uz, ~kr
l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.
On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidente polarisée rectilignement :
• dans le plan d'incidence r//= tan(θtan(θ1−θ2)
1+θ2);
• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥=sin(θsin(θ1−θ2)
1+θ2).
De même, les coecients de transmission en amplitude du champ électrique sont :
• dans le plan d'incidence t//= sin(2θ4.sinθ2.cosθ1
1)+sin(2θ2);
• perpendiculairement au plan d'incidence t⊥ =2.sin(θsinθ2.cosθ1
1+θ2) . 1) En incidence normale, déterminer les coecients de réexion
1.a) r// , 1.b) r⊥,
1.c) et conclure.
2) En incidence normale, déterminer les coecients de transmission 2.a) t//,
2.b) ,
Résolution de problème
La dangerosité du Wi-Fi
On s'interroge sur l'eet des émetteurs d'ondes électromagnétiques sur la santé Les antennes Wi-Fi
L'antenne tige basique omnidirectionnelle à 2,4 GHz (1/4 d'onde) ressemblant à un stylo est la plus rencontrée. Elle est omnidirection- nelle, et est dédiée à la desserte de proximité.
Référence : Article wikipédia sur le wi
Le DAS
Le DAS (Débit d'Absorption Spécique ou SAR en anglais) dont la mention doit gurer obligatoirement dans la notice du fabricant, ex- primé enW·kg−1, représente la puissance absorbée par Kilogramme de tissus et représente généralement un DAS local correspondant à l'absorption d'énergie au niveau de la tête. Elle est mesurée par rap- port à un " fantôme ", qui consiste en une tête moulée en résine et contenant un liquide aux propriétés d'absorption proches de celle d'une tête humaine. Une sonde plongée dans ce liquide permet de recueillir des mesures sur le mobile testé à émission maximale et dans diverses
positions, selon un protocole validé par le CENELEC (Comité Européen de la Normalisation Electrotechnique).
Le consensus adopté par l'ICNIRP (International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection) évalue à 4 W·kg−1 le seuil de puissance à partir duquel des eets nocifs peuvent apparaître.
La législation internationale a établi que les téléphones portables doivent impérativement avoir un DAS inférieur à2 W·kg−1 pour pouvoir être commercialisés. Le DAS émis par les appareils WiFi est généralement de l'ordre de0,2 W·kg−1. Quant au Bluetooth, avec une puissance d'émission limitée de 1 à 2,5 mW (Classe 2 ou 3), l'intensité de son rayonnement est négligeable par rapport à celui d'un téléphone portable.
Référence : Site génération nouvelles technologies (disponible à l'adresse www.generation-nt.com/dossier- radiofrequences-sante-mobiles-article-95591-2.html)
Niveaux de référence pour l'exposition de la population générale.
Ces niveaux sont donnés pour les conditions de couplage maximal du champ à la personne exposée, assurant ainsi une protection maximale.
Domaine de fréquence E enV·m−1 B enµT densité de puissance enW·m−2
2 - 300 GHz 61 0,20 10
Référence : Guide pour l'établissement de limites d'exposition aux champs électriques, magnétiques et électro- magnétiques
Commission internationale pour la protection contre les rayonnements non ionisants (ICNIRP) Cahiers de notes documentaires - Hygiène et sécurité du travail - N◦ 182, 1er trimestre 2001 - INRS
exo 19.2) Enoncé
Quelle doit être la puissance maximale d'une antenne WiFi pour être sûr qu'elle vérie les normes en vigueur ?
Exercices d'oral pour s'entraîner
exo 19.3) Ondes dans un plasma
Un plasma (comme la ionosphère) est un mi- lieu ionisé, constitué :
• d'ions positifs quasi-xes ;
• d'électrons de charge −e, de masse me, de den- sité ne, de vitesse
~ve.
Le plasma est peu dense, de sorte qu'on pourra négliger les in- teractions entre les particules chargées.
1) Étude des électrons du plasma
Une onde électromagnétique de champ électrique complexeE~˜= ˜E0e−j(ω t−k z)~uxexiste dans le plasma.
1.a) Montrer que la partie magnétique de la force de Lorentz appliquée à un électron est négligeable pour peu que la vitesse de celui soit faible devantc.
1.b) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.
1.c) En déduire la conductivité complexe du plasma.
1.d) Montrer qu'il n'y a pas d'eet Joule dans le plasma.
2) Propagation dans un plasma
2.a) Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le plasma.
2.b) En déduire la relation de dispersion.
2.c) Déterminer le comportement du plasma vis-à-vis de l'onde.
2.d) Comment se comportent les ondes électromagnétiques vis à vis de l'ionosphère qui peut être considérée comme un plasma ?
3) En se servant des documents, expliquer pourquoi on pouvait recevoir en France Radio Londres pendant la guerre alors qu'il est aujourd'hui impossible d'écouter les chaines de la FM londonienne à Paris.
exo 19.4) Eet de peau dans un conducteur
Extrait du Cahier Technique Schneider Electric n◦ 83 CT 83(e) édition janvier 1977 :
Cherchant à faciliter l'interprétation de l'eet de peau, Boucherot proposa en 1905 la notion de coque ctive dénommée aussi épaisseur de peau ou profondeur de pénétration . Sur le plan de l'eet Joule, tout se passe dans le conducteur comme si la totalité du courant véhiculé l'était dans une couche périphérique ou coque, d'épaisseurδ, la densité de courant étant uniforme dans cette coque et nulle à l'intérieur :δ= 21πq
10ρ µ f
avecδl'épaisseur de la coque en m,ρla résistivité enΩ·m,µla perméabilité valant4π10−7pour le vide,f la fréquence exprimée en Hz.
En réalité, la densité décroît suivant une loi ex- ponentielle depuis la périphérie jusqu'au centre du conducteur. A la profondeur δ, la densité est en- core de1/e= 0,367comme le montre la gure.
La notion de coque ctive suppose que la densité moyenne dans la coque est égale à 1/√
2 fois la densité périphérique.
Les pertes réelles par eet Joule sont donc plus élevées, ce qu'on exprime en considérant que la ré- sistance eective en courant alternatifRa est plus grande que la résistance vraie en courant continu Rc d'où ces pertes supplémentaires. En pratique, le taux d'eet de peau ou coecient d'augmen- tation de résistance ou de pertes supplémentaires s'exprime par le rapport :K=Ra/Rc>1. Plusieurs formules empiriques ont été proposées, celle de Levasseur est particulièrement simple et conduit à des erreurs inférieures à 2 % :K =
3 4
6 +
S p δ
616
+ 0,25avecS la section du conducteur, pson périmètre,δ l'épaisseur de peau.
1) Étude théorique de l'eet de peau
On considère un conducteur ohmique de conductivité γ, immobile et parallélépipédique. On se place en régime sinusoïdal, à la pulsationω, dans l'ARQS. Le courant circule suivant~ux, mais la densité de courant varie a priori avec la profondeurz dans le conducteur (qui est le demi espacez >0) :
~j=jx(z, t).~ux=Jm(z).cos (ω.t−Φ (z)).~ux
1.a) Rappeler les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS.
1.b) Montrer, grâce aux équations de Maxwell, quejxvérie une équation de diusion.
1.c) Pourquoi peut-on utiliser le complexe associé˜jx(z, t) = ˜Jm(z).e−j.ω.t pour résoudre l'équation diérentielle ?
1.d) En exprimantδ0 etφ(z), montrer que :jx=Jmax.e−δz0.cos (ω.t−φ(z)). 1.e) Caractériser la densité de courant dans le conducteur, à l'aide des graphes : jx(z, t= 0)(et le comparer au graphique du texte),
et jx(z= 0, t),jx(z=δ, t),jx(z= 3.δ, t)sur un même graphique.
2) Notion de coque ctive
2.a) Montrer que la notion de coque ctive développée dans le document imposePd= 1γ|J(0)|˜
√2
2 δ. 2.b) Comparerδ0 à l'épaisseur de la coque donnée dans le document.
2.c) On considère un conducteur de cuivre (γ= 58×106 S·m−1). Que vaut δ0 à 50 Hz ? La comparer à la valeur donnée par le document.
3) Interprétation dans le cas d'un conducteur cylindrique :
On se place maintenant dans le cas d'un conducteur cylindrique de conductivitéγ, de longueur`et de rayon a.
3.a) Exprimer la résistance en continuRc.
3.b) Dans le cas oùδa, que vautRa? Même question pourδa.
3.c) Comparer les résultats asymptotiques trouvés dans la question précédente à ceux induits par la formule de Levasseur donnée dans le document.
3.d) Proposer une modélisation du rapportK=Ra/Rc déni dans le document.
3.e) Quand peut-on négliger l'eet de peau ?
3.f) Quelle est la forme de conducteur la plus adaptée aux hautes fréquences ?
