Physique des ondes Ondes électromagnétiques dans le vide

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Physique des ondes

Ondes électromagnétiques dans le vide

PC Lycée Dupuy de Lôme

E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 1 / 19

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Le vide correspondra à l’absence de charges et de courants Ð→j =Ð→0 ρ=0 On assimilera l’air au vide

Les équation de Maxwell dans le vide s’écrivent donc :

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

(1)-Maxwell-Faraday :Ð→rotÐ→E = −∂Ð→ B

∂t (2)-Maxwell-Gauss :divÐE→=0 (3)-Maxwell-Ampère :Ð→rotÐB→=µ0ǫ0

∂ÐE→

∂t (4)-Maxwell-Φ :divÐ→

B =0

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Equation de propagation

Equation de propagation Dans le vide, en notantc= 1

√µ0ǫ0

, le champ magnétiqueÐ→B associé à une onde vérifie l’équation d’Alembert tridimensionnelle

∆Ð→ B− 1

c²

∂²Ð→ B

∂t² =Ð→0 On obtient de même pour le champÐ→

E l’équation Ð∆→ÐE→−µ0ǫ0

∂²Ð→E

∂t² =Ð→0

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Ondes planes progressives Surfaces d’onde

Surface d’onde

C’est une surface où la perturbation caractéristique de l’onde est identique en tout point, à un instant t

Le vecteur d’onde est orthogonal aux surfaces d’onde

Source proche Source éloignée Source à l’infini

bS

bS S

Onde sphérique Onde plane

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Ondes planes progressives Définition

Onde plane

Une surface telle qu’en tout point M la caractéristique de l’onde est constante est nommée surface d’onde.

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Onde plane

Une onde est dite plane si les surfaces d’onde sont des plan.

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Onde plane

Une onde est dite plane si les surfaces d’onde sont des plan.

La propagation d’une onde plane sera donc rectiligne.

S

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Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques (OPPH)Définition

OPPH

Pour une direction de propagationÐ→u on définit le vecteur d’ondeÐ→k =kÐ→u associé à l’onde de pulsation ω telle que en tout pointM défini par Ð→r =ÐÐ→

OM :

ÐE→(M) =ÐE→0cos(ωt−Ð→ k ⋅Ð→r) Ð→E =ÐE→0eⁱ⁽^ωt^−Ð^→^k^⋅Ð^→^r⁾

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Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques (OPPH)Transversalité

On étudie ne OPPH telle queÐ→ k =k.Ðe→_x

L’expression générale du champ électrique est alors : Ð→

E = [E0x.Ðe→_x+E0y.Ðe→_y+E0z.Ðe→_z].e^i.⁽^ωt⁻^k.x⁾ Dans le vide, divÐE→=0

Or ici divÐE→=

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Or ici divÐE→= E0x.(−k.).e^i.⁽^ωt⁻^k.x⁾

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Or ici divÐE→= E0x.(−k.).e^i.⁽^ωt⁻^k.x⁾ DoncE0x=0, soitÐE→⋅Ð→

k =0

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Or ici divÐE→= E0x.(−k.).e^i.⁽^ωt⁻^k.x⁾ DoncE0x=0, soitÐE→⋅Ð→

k =0

Transversalité de l’OPPH

Les champs électrique et magnétiques sont tous les deux transverses à la direction de propagation de l’onde pour une OPPH dans le vide. L’onde est alors dite transversale.

Attention, il est possible d’avoir des ondes non transversales se propa- geant dans le vide.... ce ne seront pas alors des ondes planes.

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Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques (OPPH)Bilan

Relation de structure pour une OPPH

Les champs ÐE→et ÐB→associés à une OPPH sont orthogonaux. Si Ð→k le vecteur d’onde,

- b ÐB→= Ð→k ∧ÐE→ ω

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Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques (OPPH)Approche énergétique

L’objectif est ici de déterminer la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique, v_em

On considère une OPPH Ð→E =E0.cos(ωt−k.x).Ðe→_z et une section S dans le planY OZ

On considère une durée dt≫T avec T la période de l’onde.

Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique ⟨u_em⟩

Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting⟨Ð→ P i⟩

Exprimer en fonction de⟨u_em⟩ etv_em la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt

Exprimer en fonction de⟨P i⟩ la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt

En déduire la vitesse de propagation de l’énergie

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Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques (OPPH)Approche énergétique

L’objectif est ici de déterminer la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique, v_em

On considère une OPPH Ð→E =E0.cos(ωt−k.x).Ðe→_z et une section S dans le planY OZ

On considère une durée dt≫T avec T la période de l’onde.

Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique ⟨u_em⟩

Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting⟨Ð→ P i⟩

Exprimer en fonction de⟨u_em⟩ etv_em la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt

Exprimer en fonction de⟨P i⟩ la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt

En déduire la vitesse de propagation de l’énergie Vitesse de propagation de l’énergie

Pour une OPPH dans le vide, l’énergie se propage à la vitessec.

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Etats de polarisation États de polarisation

Polarisation d’une OPPH

On observe la vibration du champÐ→E(x, t) dans un plan d’onde x=C^te. La trajectoire de l’extrémité du vecteur ÐE→dans ce plan caractérise la polarisation de l’onde

Exemple de polarisations pour une propagation selon l’axe Ox :

y z

Polarisation rectiligne Polarisation circulaire Polarisation elliptique

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Etats de polarisation Polarisation rectiligne

Polarisation rectiligne Une OPPH est polarisée rectilignement si le champ Ð→

E a la même direction en tout point de l’espace.

x

y z

Ð→ k cÐB→

Ð→E

Dans l’exemple ci-dessus,

L’onde se propage selon le sens L’onde est polarisée selon la direction

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Etats de polarisation Polarisation rectiligne

Polarisation rectiligne Une OPPH est polarisée rectilignement si le champ Ð→

E a la même direction en tout point de l’espace.

x

y z

Ð→ k cÐB→

Ð→E

Dans l’exemple ci-dessus,

L’onde se propage selon le sens+Ðe→_y

L’onde est polarisée selon la direction colinéaire àÐe→_z

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Etats de polarisation Polarisation elliptique

sens de polarisation

Une onde sera polarisée droite si la rotationdans un plan d’onde se fait dans le sens horaire lorsqu’on la voit progresser vers nous, gauche sinon

Polarisation elliptique Ð→

E_(Ð→_e_x_,Ð→ey,Ðe→z)RRRRRRRRRR RRRRR

E0y.cos(ωt) E0z.cos(ωt−ϕ) Polarisation circulaire

b ÐE→_(Ð→_e

x,Ð→ey,Ðe→z)RRRRR RRRRR RRRRR

E0.cos(ωt)

±E0.sin(ωt)

x y z

Onde polarisée circulairement

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Etats de polarisation Polariseur et analyseur

Définition

Un polariseur ou analyseur est un dispositif permettant de transformer une onde transversale non polarisée quelconque en une onde polarisée

rectilignement

x

y z

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Etats de polarisation Polariseur et analyseur

Définition

Un polariseur ou analyseur est un dispositif permettant de transformer une onde transversale non polarisée quelconque en une onde polarisée

rectilignement

x

y z

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Etats de polarisation Action d’un analyseur sur une onde polarisée rectilignement

Les polariseur et analyseur sont identiques. Leur dénomination caractérise le rôle :

Le polariseur permet de transformer une onde quelconque en une onde polarisée rectilignement

L’analyseur permet d’étudier les caractéristiques de polarisation d’une onde

Loi de Malus

Si la direction privilégiée de l’analyseur fait un angle α avec la direction de polarisation d’une onde incidente rectiligne, l’intensité transmise vérifie la loi

I_t(α) =I_{M ax}.cos²α

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Lames à retard de phase

Lame à retard de phase

Ces lames sont dites biréfringentes, on peut définir deux directions

orthogonales, Oy et Oz, dans le plan de la face d’entrée de la lame. Alors Un vibration parallèle àOy se propagera à une vitesse c

n_y. On affecte donc un indice n_y à cet axe

Un vibration parallèle àOz se propagera à une vitesse c

n_z. On affecte donc un indice n_z à cet axe

Les axes Oy etOz sont nommés lignes neutres de la lame.

L’axe affecté de l’indice le plus élevé est nommé axe lent(L), l’autre axe rapide (R).

Animation

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Lames à retard de phase Action sur une lumière pola

On considère une lame d’épaisseure

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Lames à retard de phase Action sur une lumière pola

Ð→ E_i⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0

E0y.e^j⁽^ωt⁾ E0z.e^j⁽^ωt⁻^ϕ⁾

ÐÐÐÐ→

Lame ÐE→_t

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

0

E0y.e^j⁽^ωt⁻

2.π.ny .e

λ0 ) =E0y.e^j⁽^ωt^′⁾ E0z.e^j⁽^ωt⁻^ϕ⁻

2.π.ny .e

λ0 )=E0z.e^j⁽^ωt⁻^ϕ^′⁾

Déphasage par une lame biréfringente

Une lame à retard engendre une différence de marche entre les deux vibrations colinéaires aux axes neutre

δ= (n_z−n_y).e

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Lames à retard de phase Cas des lames demi-onde et

Ces dénominations font référence à la différence de marche entre les deux vibrations orthogonales induite par la lame, δ= (n_z−n_y).e

Lame quart d’onde et demi-onde

Engendrent une différence de marche respectivement δ=λ

4 et δ=λ 2

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4 et δ=λ 2

Effets sur une polarisation rectiligne polarisation rectiligne^lame

λ 4

Ð→ polarisation polarisation rectiligne^lame

λ 2

Ð→ polarisation

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4 et δ=λ 2

Effets sur une polarisation rectiligne polarisation rectiligne^lame

λ 4

Ð→ polarisationelliptique polarisation rectiligne^lame

λ 2

Ð→ polarisationrectiligne

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Lames à retard de phase Analyse d’une polarisation inconnue Lumière à analyser

Analyseur

∃I_min?

Imin=0?

Lameλ

4+ Analyseur

Imin=0?

Pol. rectiligne Pol. elliptique Pol. circulaire lum. naturelle

oui non

oui non oui non

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Systèmes polarisants Polarisation par réflexion vitreuse

Ð→E_i

ÐÐ→

E_i_// Ð

→ E

r

ÐÐ

→ E

r//

Ð→E_// composante parallèle au plan d’incidence

Ð→

E composante orthogonale au plan d’incidence

incidence de Brewster

Pour une onde incidente rectiligne polarisée parallèlement au plan d’incidence, le rayon réfléchi est totalement éteint pour une incidence i_B nommée incidence de Brewster, telle que

tani_B= n2

n1