Ondes électromagnétiques dans le vide
PC*/PC
I – Les équations de propagations du champ EM dans le vide :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs E
r et B
r variables dans le temps qui vont s’établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en ∂B/∂t
r
et ∂E/∂t r
« provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées partielles par rapport au temps ∂B/∂t
r
et ∂E/∂t r
est à l’origine du phénomène de propagation du champ EM. »
Obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
( ) (rot B)
E t rot rot
r r
∂
− ∂
= Or :
(rot E) grad(div E) E
rot
r r r
∆
−
= Avec
t j E
B rot et E
div ∂
+ ∂
=
=
r r r r
0 0 0 0
µ ε ε µ
ρ , il vient :
∂ + ∂
∂
− ∂
=
∆
−
t j E
E t grad
r r r
0 0 0 0
µ ε ε µ
ρ
Soit, finalement :
t grad j
t E E
∂ + ∂
∂ =
− ∂
∆
r r r
0 0
2 2 0 0
1 ρ µ
µ ε ε
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA :
( ) ( ) (rot E)
j t rot B
B div grad B rot rot
r r
r r r
∂ + ∂
=
∆
−
= µ0 ε0µ0
Soit :
( )
∂
−∂
∂ + ∂
=
∆
− t
B j t
rot B
grad
r r r
0 0
0 µ0 ε µ
Finalement :
j rot t
B B
r r r
2 0 2 0
0µ µ
ε =−
∂
− ∂
∆
Dans une région sans charges ni courants ( 0 0 r r
=
= et j
ρ ) :
0
0 2
2 0 2 0
2 0 0
r r r
r r r
∂ =
− ∂
∆
∂ =
− ∂
∆
t B B
et t
E ε µ E ε µ
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l’on note s(x,y,z,t) l’une des six coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
1 ) ( 1 0
0 2 2 0 0
2 2 2
2 0
0µ ε µ
ε = =
∂
− ∂
∆
∂ =
− ∂
∆
c t
s c s soit t
s s
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les vibrations d’une corde tendue. Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité c (vitesse de la lumière dans le vide).
* Résolution de l’équation de d’Alembert :
On se propose de résoudre l’équation de d’Alembert unidimensionnelle :
1 0
2 2 2 2 2
∂ =
− ∂
∂
∂
t s v x
s
De manière symbolique, cette équation peut s’écrire :
0
. =
∂
− ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂ s
t v x t v x On pose :
v t x q v et
t x
p= + = −
et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q :
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
q p v q x q p x p x
1
q p q t q p t p
t ∂
+ ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
On en déduit :
q t
v x p et
t v x
∂
− ∂
∂ =
− ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂
∂ 2 2
L’équation de d’Alembert prend alors la forme :
0
2
=
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
q s p q p
s
Par conséquent, (q) q s =ϕ
∂
∂ et, si f(q) désigne une primitive de ϕ(q), alors :
) ( ) ( ) ( )
( v
t x v g t x f p g q f
s= + = − + +
Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : )
( ) ,
( v
t x f t x
s+ = −
On constate que :
) (
)
( v
x t x
t v f
t x
f +∆
−
∆ +
=
−
pour tout couple ∆x et ∆t vérifiant : ∆x=v∆t. Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens positif.
O Instant
t
Instant t+∆∆∆∆t )
( ) ,
( v
t x f t x
s+ = −
t v x= ∆
∆
x
Référence : cabri géomètre (Y.Cortial)
La solution ( , ) ( ) v t x f t x
s− = + représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens négatif.
On se propose maintenant de résoudre l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :
) , , , ( ) , ( 1 0
2 2
2 avecsr t s x y z t
t s v
s = =
∂
− ∂
∆ r
On vérifie que des fonctions de la forme :
) ( ) , , , (
; ) ( ) , , , (
; ) ( ) , , ,
( , ,
, v
t z f t z y x v s
t y f t z y x v s
t x f t z y x
sx± = m y± = m z± = m
sont solution de l’équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de directions de propagations respectives urx ury eturz
, , dans le sens positif ou négatif).
Des ondes sphériques sont également solution de l’équation de d’Alembert tridimensionnelle : on cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien en coordonnées sphériques, il vient :
1 0 ) 1 (
2 2 2 2
2
∂ =
− ∂
∂
∂
t s v rs r r Soit encore :
0 ) 1 (
)
( 2
2 2 2
2
∂ =
− ∂
∂
∂ rs
t v rs r
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l’équation unidimensionnelle de d’Alembert. Par conséquent :
) ( ) ( ) ,
( v
t r v g t r f t r
rs = − + +
Soit :
) 1 (
) 1 (
) ,
( v
t r r g v t r r f t r
s = − + +
Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de l’affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.
On choisit, dans la suite :
Pour une onde plane s(z,t), l’équation de d’Alembert devient : 1 0
0 2
2 2 2 2 2
2 0 2 0 2
∂ =
− ∂
∂
= ∂
∂
− ∂
∂
∂
t s c z ou s t
s z
s ε µ
Cette fonction s(z,t) peut s’écrire sous la forme :
+
+
−
= c
t z c g t z f t z s( , )
Compléments (Ondes stationnaires) :
On cherche des solutions de l’équation de d’Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) :
) ( ) ( ) ,
(xt f x g t
s =
En substituant dans l’équation de d’Alembert :
1 0
2 2 2 2 2
∂ =
− ∂
∂
∂
t s c x
s
Il vient :
0 ) ( ) 1 ( ) ( ) (
"
2 =
− f x gt c
t g x
f &&
D’où :
K t cste
g t g c x x f
f = = =
) (
) 1 ( ) (
"
) ( 1
2
&
&
On obtient ainsi deux équations différentielles :
t K g
t g c et
K x x f
f = =
) (
) 1 ( )
(
"
) ( 1
2
&
&
Ou encore :
0 ) ( )
( 0
) ( ) (
" x −Kf x = et gt −c2Kg t =
f &&
Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme :
t K c t K
c Be
Ae t
g( )= + −
Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit à une solution transitoire.
Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posant −c2K=ω2 :
) cos(
)
(t =A ωt−ϕ g
La 1ère équation donne alors :
−
=
=
+ω ω ψ
c x B x f soit x
f c x
f"( ) ( ) 0 ( ) cos
2 2
La solution globale de l’équation de d’Alembert est alors :
(ω ϕ)
ω ψ
−
−
= x t
C c t x
s( , ) cos cos
On pose dans la suite
k ωc
= , alors :
( −ψ) (ω −ϕ)
=C kx t
t x
s( , ) cos cos
Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d’une onde plane progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance spatiale intervient dans l’amplitude de l’oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.
L’allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante. Certains points de la corde sont fixes et sont appelés nœuds de vibrations ; d’autres ont une amplitude de vibration maximale et sont appelés ventres de vibrations.
Position des nœuds : elle s’obtient en écrivant que :
( )
)2 1 2 ( 0
cos π
ψ
ψ = − = +
− soit kx n
kx n
Soit, avec λ 2π
= k :
k
xn n ψ
λ+
= + 4
1 2
La distance entre deux nœuds successifs est égale à
2 λ . Position des ventres : elle s’obtient en écrivant que :
(kx−ψ)=±1 soit kxv−ψ =nπ cos
Soit :
k
xv n ψ
λ+
= 2
La distance entre deux ventres successifs est égale à
2 λ . La distance entre un nœud et un ventre successif est égale à
4 λ .
II – Ondes planes EM dans le vide :
1 – Ondes planes électromagnétiques : Une onde plane EM de direction de propagation urz
est une structure du champ EM dans laquelle les coordonnées des champs Er et Br sont des fonctions de la forme :
−
= c
t z f t z s( , )
Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d’un plan z = cste. Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation urz
, est appelé plan d’onde.
Une source (par exemple, une station radiophonique) émet a priori des ondes sphériques ; cependant, à grande distance de celle-ci, l’onde reçue pourra être localement assimilée à une onde plane progressive
2 – Caractère transverse d’une onde plane dans le vide : 1ère démonstration :
On s’intéresse à une onde plane de la forme :
) , ( ) , , , ( )
, ( ) , , ,
(x y z t E z t et B x y z t B z t
E
r r
r r
=
=
Les équations de Maxwell donnent :
• Equation de Maxwell – Gauss :
) 1 ( 0
0 =
∂
= ∂
z soit E
E
div z
r
• Equation de Maxwell – flux :
) 2 ( 0
0 =
∂
= ∂
z soit B
B
div z
r
• Equation de Maxwell - Faraday :
t soit E B
rot ∂
−∂
= r r
) 5 ( 0
) 4 (
) 3 (
t B t B z
E
t B z
E
z x y
y x
∂
−∂
=
∂
−∂
∂ = +∂
∂
−∂
∂ =
−∂
• Equation de Maxwell - Ampère :
t soit E c B
rot ∂
= ∂ r r
2
1
) 8 1 (
0
) 7 1 (
) 6 1 (
2 2 2
t E c
t E z c
B
t E z c
B
z x y
y x
∂
− ∂
=
∂
= ∂
∂ +∂
∂
= ∂
∂
−∂
Les équations (1) et (8) donnent : =0
∂
∂ z Ez
et =0
∂
∂ t Ez
, par conséquent, Ez =0 (les champs statiques n’interviennent pas ici lors du phénomène de propagation).
De même, les équations (2) et (5) montrent que Bz =0.
Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation urz
sont nulles : le champ EM est transversal.
Relation entre les normes des champs E r et B
r :
En notant
−
= c
t z E t z
Ex( , ) x et
−
= c
t z B t z
Bx( , ) x , on constate que :
t B c z et B
t E c z
Ex x x x
∂
− ∂
∂ =
∂
∂
− ∂
∂ =
∂ 1 1
Il en est de même pour les coordonnées selon (Oy).
Ainsi,
) 4 (
) 3 (
t B z
E
t B z
E
x y y x
∂
−∂
∂ = +∂
∂
−∂
∂ =
−∂
donnent
z B z c E
z c B z E
x y y x
∂
= ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂ =
∂
En intégrant sans tenir compte de coordonnées d’intégration constantes :
y x x
y cB et E cB
E =− =
Par conséquent :
c E B u ou
u c B
E z z
r r r r
r r
∧
=
∧
=
Finalement, les champ EM d’une onde plane progressive sont orthogonaux à la direction de propagation et orthogonaux entre eux ; le trièdre (E,B,cr curz)
r r
= est direct et E = Bc.
Plan d’onde z=cste
E r
B r
uz
c r E z
r
B r
uz
c r
Le champ EM est uniforme dans un plan d’onde.
La force exercée par l’onde EM sur une particule de charge q et de vitesse vr est :
m
e f
f B v q E q f
r r r r r r
+
=
∧ +
=
Par conséquent, le rapport de la force électrique sur la force magnétique vaut :
v c vB
E f
f
m
e = =
Par conséquent, pour une particule non relativiste (v << c), la force magnétique est négligeable vis-à-vis de la force électrique.
2ème démonstration :
En notant
−
= c
t z E t z
Ex( , ) x et
−
= c
t z B t z
Bx( , ) x , on constate, de manière symbolique, que :
t c z y
x ∂
− ∂
∂ =
= ∂
∂
= ∂
∂
∂ 1
; 0
; 0
Ainsi, l’opérateur gradient (ou le vecteur nabla) peut s’écrire :
uz
t
grad r c r
∂
− ∂
=
∇
= 1
Les équations de Maxwell deviennent alors, compte tenu de ce formalisme :
t E c B tu c
t E B tu c
B tu c
E tu c
z z z z
∂
= ∂
∂ ∧
− ∂
∂
−∂
=
∂ ∧
− ∂
∂ =
− ∂
∂ =
− ∂
r r r
r r r r r r r
2
1 1
1
0 1 .
0 1 .
soit (avec urz =cste)
t E B c
t u
t E B t u c
B t u
E t u
z z z z
∂
= ∂
∂ ∧
− ∂
∂
=∂
∂ ∧
∂
∂ =
∂
∂ =
∂
r r r
r r r r r r r
) 1 (
) 1 (
0 ) . (
0 ) . (
En annulant les constantes d’intégration, les deux premières équations donnent : 0
. 0
.E= et u B=
uz z
r r r r
On retrouve la caractère transversal du champ EM.
Les deux dernières équations donnent, après intégration :
cE B u et
B E
c uz z
r r r
r
r r 1
) 1(
−
=
∧
=
∧
Soit :
c E B u ou
u c B
E z z
r r r r
r r
∧
=
∧
=
On retrouve les mêmes relations que lors de la 1ère démonstration.
III – Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) : 1 – Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation de d’Alembert :
L’équation de propagation est linéaire ; par conséquent, l’analyse de Fourier permet d’affirmer que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinusoïdales du temps.
On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert, c’est-à-dire des solutions de la forme :
−
= cos ( ) )
,
( c
t z A
t x
s ω
Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH).
Ces fonctions, de période temporelle ω
π
= 2
T possèdent une période spatiale
π ω
λ c
cT=2
= appelée longueur d’onde.
On définit le vecteur d’onde k r
tel que :
λ π ω 2
=
=
=k u avec k c
kr rz
L’OPPH est alors de la forme :
( ))
cos )
,
(x t A t kz
s = ω −
Domaines d’applications des ondes électromagnétiques.
En notation réelle, le champ électrique pourra s’écrire :
) cos(
)) ( cos(
) ,
( 0 E0 t kz
c t z E
t z
Er = r ω − = r ω −
Avec :
z
z u
u c k
kr r ω r
=
= (vecteur d’onde) En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :
) (
) 0
,
(z t E ei t kz
E = ω−
r r
et B(z,t)=B0 ei(ωt−kz) r
r
Si la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire ur :
) . (
) 0
, , ,
(x y zt E ei t kr E
rr
r
r = ω− et B(x,y,z,t) B0 ei( t k.r)
rr
r
r = ω−
où kr=kur (ur vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et rr=OM (O, origine du repère et M le point d’observation).
L’expression du Laplacien devient :
2 2 2 2
( x y z)
E k k k E k E
∆ = − + + = −
r r r
Par ailleurs :
E t
Er r
2 2 2
−ω
∂ =
∂
L’équation d’onde de d’Alembert donne alors (relation de dispersion dans le vide) :
2 2 2 2
2
2 1 ( ) 0
) (
c k soit
E c
E
k ω
ω = =
−
−
− r r
D’où : k ωc
=
2 – Structure des ondes planes progressives monochromatiques :
Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se simplifient. En effet, en remarquant que :
E x ik
E E t i
E
x
r r r r
−
∂ =
= ∂
∂
∂ (ω) ;
(En effet, E= E0exp(i(ωt−k.ur))= Er0exp(i(ωt−kxx−kyy−kzz) r r
r
) Il vient :
E k i E ik E ik E z ik
E y E x E E
div x y z x x y y z z
r r r
− .
=
−
−
−
∂ = +∂
∂ +∂
∂
=∂
De même :
E k E et
E k i E rot
r r
r r
r=− ∧ ∆ =− 2
Les quatre équations de Maxwell deviennent ensuite :
) 1 (
; ) (
; 0 .
; 0
. 2 i E
c B k i B rot B
i E k i E rot B
k i B div E
k i E div
r r r
r r
r r r r r
r r r
r
ω
ω =− ∧ =
−
=
∧
−
=
=
−
=
=
−
=
Par conséquent, on retrouve le caractère transverse des ondes EM planes :
