I. Propagation des ondes électromagnétiques

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/26

X / ENS Physique PSI 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par David Chapot (Professeur agrégé) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d’ingénieur).

Ce sujet traite de la description de milieux continus à l’aide de composants discrets dans les domaines de l’électromagnétisme et de la thermodynamique.

• La première partie est consacrée à l’étude des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial puis à la représentation de ce dernier par une ligne à constantes réparties ou par des composants discrets. On s’intéresse dans un premier temps au cas où les pertes sont négligeables, puis au cas des ondes atténuées ou am- plifiées et, enfin, aux « milieux paradoxaux » dans lesquels l’énergie des ondes électromagnétiques se propage dans le sens opposé de celui des ondes qui la transportent.

• Dans la deuxième partie, on s’intéresse à une modélisation électrique de la dif- fusion thermique dans un milieu unidimensionnel. Dans le domaine des hautes fréquences, on assiste à un effet thermique particulier : le flux thermique peut s’effectuer des zones de basse température vers celles de température plus élevée, ce qui est en apparence contraire au second principe de la thermodynamique.

• La dernière partie reprend le cas d’un transfert thermique « du froid vers le chaud » avec l’exemple d’une machine frigorifique. Elle s’achève par l’analyse des propriétés d’une ligne continue de micromachines frigorifiques, qui permet de réaliser des matériaux aux propriétés particulières.

Ce sujet fait appel au programme d’électrocinétique et de thermodynamique des machines thermiques et exige de maîtriser les bilans sur les systèmes fermés ainsi que le calcul différentiel. Il comporte de nombreuses questions dont les réponses nécessitent une bonne culture scientifique et une réflexion hors des sentiers battus.

L’énoncé annonce la plupart des réponses attendues mais recèle des ambiguïtés et des imprécisions qui rendent le cheminement difficile.

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Indications

Partie I

2 Penser à exploiter les relations de passage pour le champ électromagnétique à travers la surface du conducteur interne.

3 L’intensité i(z, t)se détermine à partir du théorème d’Ampère appliqué sur un périmètre du conducteur intérieur.

4 Appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds au circuit puis effectuer un déve- loppement limité à l’ordre 1 endz.

5 Le flux d’énergie est dans la direction du vecteur de Poynting moyen de l’onde.

6 La densité linéique de la ligne se détermine à partir des expressions usuelles des énergies stockées par une inductance et un condensateur.

7 Établir l’équation de dispersion du milieu. Montrer qu’elle n’est équivalente à celle de la ligne à constantes réparties que sik a≪1.

9 Écrire le vecteur d’onde k donné par la relation de dispersion sous la forme k=k+ jk^′ et faire le lien entre le signe dek^′ et une éventuelle atténuation.

14 Le montage à AOIPL sert à inverser le sens du courant entre les bornes⊖et ⊕ (cf. question 10) ; toutes les impédances sont donc remplacées par leur opposée.

Partie II

19 Effectuer un bilan thermique sur une tranche de conducteurΣ comprise entrez etz+ dz.

21 Considérer que la température doit évoluer sur une distance grande devanta.

22 Introduire l’inductance linéique thermiqueΛth grâce à la relationLth=aΛth/Σ, qu’il faut justifier.

24 Montrer quejth et∂T(z)/∂z peuvent être de même signe en régime sinusoïdal.

Partie III

26 Les transferts thermiques à travers les deux résistances thermiques R0 ne sont possibles que siTC′>TCet TF′6TF, ce qui conduit à une inégalité sur∆T0. 27 L’efficacité d’une machine thermique est le rapport de la grandeur utile et de la

grandeur qui a un coût.

28 Travailler à puissance constante. Lorsque la taille de la machine diminue, comment évoluent les échanges thermiques ?

29 Appliquer la condition de réversibilité de la machine ditherme interne.

Attention : les résultats annoncés par l’énoncé contiennent deux erreurs de signe dues à celles commises sur les expressions deR0dans la figure de la question 25 :

R0=TC′−TC

PthC

=TF−TF′

PthF

34 Remarquer que la micromachine étudiée est identique à celle de la question 21.

38 Utiliser les résultats des questions 33 et 35 pour établir une équation différentielle linéaire du premier ordre en T(z). L’intégrer en appliquant la méthode de la variation de la constante.

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I. Propagation des ondes électromagnétiques

A. Propagation dans un câble coaxial sans pertes

1 Dans le vide, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles en tout point M et à chaque instantt; par conséquent, les équations de Maxwell s’écrivent











div −→E (M, t) = 0 Maxwell-Gauss

−→rot−→E (M, t) =−∂−→B (M, t)

∂t Maxwell-Faraday

div −→

B (M, t) = 0 Maxwell-flux

−→rot−→

B (M, t) =ε0µ0∂−→ E (M, t)

∂t Maxwell-Ampère Pour alléger l’écriture, on ne précise plus les variables M ett.

En formant le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

−→ rot (−→rot −→

E ) =−−rot→ ∂−→

B

∂t

En notant que les dérivées partielles par rapport aux variables spatiales et temporelle commutent et en remplaçant−rot→−→B grâce à l’équation de Maxwell-Ampère, il vient

−→ rot (−rot→−→

E ) =−ε0µ0

∂²−→E

∂t² Compte tenu des identités

ε0µ0= 1

c² et −rot (→ −rot→−→A ) =−−→grad (div−→A )−∆−→A pour tout champ de vecteurs−→

A, on obtient

−−→grad (div−→

E )−∆−→ E =−1

c²

∂²−→ E

∂t² Commediv−→

E = 0d’après l’équation de Maxwell-Gauss, on aboutit à l’équation de propagation du champ électrique :

∆−→E = 1 c²

∂²−→ E

∂t²

De même, le rotationnel de l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit

B ) = 1 c²

∂−rot→−→ E

∂t D’après l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient

B ) =−1 c²

∂²−→ B

∂t²

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/26 et, comme précédemment, en notant quediv−→

B = 0 d’après l’équation de Maxwell- flux, on arrive à l’équation de propagation du champ magnétique :

∆−→B (M, t) = 1 c²

∂²−→ B (M, t)

∂t²

On recherche désormais des solutions particulières aux équations de propagation sous la forme d’ondes planes monochromatiques homogènes progressives de pulsa- tionω et de vecteur d’onde−→

k =k−→uz (k >0) :

−

→E =−→

E₀e^{j (ωt}⁻^kz)et −→ B =−→

B₀e^{j (ωt}⁻^kz) où−E→₀et −B→₀ sont constants et uniformes. On a alors

∆−→

E =∂²−→E

∂z² = (−jk)²−→

E et ∂²−→E

∂t² = (jω)²−→ E

Par conséquent, (−jk)²−→

E₀e^{j (ωt−kz)}= 1

c²(jω)²−→

E₀e^{j (ωt−kz)}

Après simplification, il vient k²=ω² c²

c’est-à-dire k=ω

c

On choisit k > 0 car la valeur négative correspond à des ondes qui se propagent dans le sens−−→uz.

Cette relation, que l’on peut également obtenir à partir de l’équation de propagation du champ magnétique, correspond à un cas où il n’y a pas dispersion (la vitesse de phase vϕ=ω/k=cne dépend pas de ω).

2 Dans les conducteurs intérieur et extérieur supposés parfaits, les champs élec- trique et magnétique sont nuls. Lors de la traversée des conducteurs, la composante tangentielle du champ électrique et la composante normale du champ magnétique sont continues, donc nulles ici, ce qui se traduit par

−

→E ∧ −u→r=−→0 et −→

B· −u→r= 0

Ces deux conditions sont effectivement vérifiées par les champs proposés.

Si les conducteurs ne sont pas parfaits – c’est-à-dire s’ils ont une conduc- tivité finieσ– il se produit le phénomène d’effet de peau. Le champ électro- magnétique pénètre dans les conducteurs sur une épaisseur δ = 1/√µ0σ ω dans laquelle de l’énergie est dissipée par effet Joule.

Dans la suite, l’énoncé demande de vérifier que chacun des deux champs−→

E et−→

B obéit au théorème de Gaussetà celui d’Ampère ; en fait, il faut seulement s’assurer que les champs électrique et magnétique obéissent respectivement à ces deux théorèmes.