Cinématique du point matériel

MSPI2 Janson de Sailly

Cinématique du point matériel

Chapitre 19

Table des matières

1 Repérage d’un point dans l’espace et le temps 2

1.1 Notion de solide et de point matériel . . . 2

1.2 Notion de référentiel et de repère . . . 2

2 Systèmes de coordonnées 3 2.1 Le repère cartésien . . . 3

2.2 Le repère cylindrique . . . 3

2.3 Le repère sphérique . . . 3

3 Vitesse et accélération 4 3.1 Définitions . . . 4

3.2 Repère de Frenet (HP). . . 5

3.3 Deux erreurs classiques à éviter . . . 5

3.4 Expressions de la vitesse et de l’accélération dans les différents repères . . . 5

3.4.1 Repère cartésien . . . 5

3.4.2 Repère cylindrique . . . 6

3.4.3 Repère sphérique (HP) . . . 6

4 Etude de mouvements particuliers 6 4.1 Mouvement rectiligne uniforme . . . 6

4.2 Mouvement à accélération constante . . . 7

4.3 Mouvement circulaire uniforme . . . 8 La mécanique est une science ancienne dont on peut dégager différentes phases :

• Système géocentrique: il s’agit d’une théorie initialement développée par le philosophe Aristote (mort en 322 av. J.C.) et Ptolémée (mort en 168) qui conçoit la Terre comme immobile au centre de l’univers. Ce fut la vision dominante jusqu’à la fin de Moyen Age¹.

• Système héliocentrique: Il a fallu attendre le développement des instruments d’optique pour que le Polonais Copernic (mort en 1543) puis le Florentain Galilée²(mort en 1642) soient en mesure de remettre en cause le géocentrisme et de démontrer que la terre "tourne" autour du Soleil.

• La mécanique newtonienne ou classique: Newton énonce en 1687 ses trois lois fondamentales de la méca- nique et pose les fondements théorique de ce que l’on nomme actuellement la mécanique classique ou méca- nique newtonienne.

• La mécanique relativiste : Einstein postule en 1905 que la vitesse de la lumière est une constante quelque soit le référentiel. Une conséquence est que le temps dépend donc du référentiel. Einstein élabore la relati- vité restreinte (limitée aux référentiels galiléens) et plus tard la relativité générale (qui s’applique à tous les référentiels).

• La mécanique quantique: Dans les années 1920, Heisenberg, Schrödinger, Dirac,... montrent qu’il est impos- sible de connaître avec une précision infinie la position et la trajectoire d’une particule. La mécanique devient probabiliste.

Dans ce cours, nous nous limiterons à lamécanique classiquec.à.d. à des systèmes possédant une vitesse vc (non relativiste) où c est la célérité de la lumière dans le vide et de longueur d’onde de De BroglieλL (non quantique) où L est la dimension caractéristique du milieu dans lequel ces systèmes se déplacent.

La mécanique classique permet d’expliquer de nombreux phénomènes comme le mouvement des planètes, le dépla- cement d’un avion, la construction d’un pont...La mécanique est également très utilisée dans des domaines comme le cinéma par exemple pour donner une impression de réalisme aux mouvements réalisés en images de synthèse.

Le but de ce chapitre est de s’intéresser à lacinématiquec.à.d. à la description du mouvement d’un corps sans s’intéresser aux causes de ce mouvement (ce sera l’objet du chapitre suivant).

1. Correspondant à la chute de Constantinople en 1453.

2. Galilée se heurta à une forte opposition de l’église catholique qui interdit ses travaux.

Préliminaire mathématique

On considère une base orthonormée directe (BOND) (#«e₁#«e₂,#«e₃) c.à.d. que les trois vecteurs#«e₁,#«e₂et #«e₃sont : – unitaires :k#«e₁k=k#«e₂k=k#«e₃k= 1

– orthogonaux deux à deux³:#«e_i.#«e_j=δ_ij – orientés dans le sens de la main droite⁴ Un vecteur #«

F peut s’écrire #«

F = F₁#«e₁+ F₂#«e₂+ F₃#«e₃ où F₁, F₂et F₃ sont les composante de #«

F . Il s’agit de gran- deurs algébriques (qui peuvent donc être positives ou négatives) : F_i=#«

F .#«e_i. La norme du vecteur #«

F notée F est : F =k#«

Fk= q

F²₁+ F²₂+ F²₃ .

1 Repérage d’un point dans l’espace et le temps

1.1 Notion de solide et de point matériel

Dans le cours, nous parlerons desolide indéformable Set depoint matériel M: – un solide S de masse m est dit indéformable si

∀(N,P)∈S²,kNP# «k= cte

– un point matériel M de masse m est un solide indéformable dont on peut négliger l’extension spatiale et la rota- tion sur lui même. Pour cela, il faut que les dimensions de M soient petites devant les distances caractéristiques du mouvement⁵.

Exemples : si on étudie la rotation de la Terre autour du Soleil, on peut assimiler la Terre à un point matériel car la distance Terre-Soleil est très grande devant le rayon de la Terre. En revanche, si on veut expliquer les alternances jour-nuit, il est indispensable d’assimiler la Terre à un solide tournant sur lui-même. Si on considère le déplacement d’une voiture à la surface de la Terre, la Terre n’est pas assimilable à un point matériel car la distance sur laquelle se déplace la voiture n’est pas négligeable devant le rayon de la Terre.

1.2 Notion de référentiel et de repère

Un référentielest un solide indéformable dans lequel on étudiera un mouvement. Il est important de garder à l’esprit quela description du mouvement d’un système dépend du référentiel choisi.

Exemples :une personne assise dans un train est immobile dans le référentiel du train mais en déplacement dans le référentiel de la Terre.

Pour repérer un point dans un référentiel, on le munit d’unrepère d’espacec.à.d. : – une origine O ;

– une base (#«e₁,#«e₂,#«e₃).

En général, la base est orthonormée directe (BOND).

Exemple : pour étudier la position des élèves dans la salle de classe, on peut choisir comme référentiel la salle (assimilée à un parallélépipède). On peut placer l’origine O dans un coin et les vecteurs unitaires selon les arêtes.

On munit également ce référentiel d’unrepère de tempsc.à.d. :

– un dispositif permettant de mesurer le temps que l’on nomme horloge ; – une origine des temps.

En résumé, pour pouvoir être utilisé correctement,un référentiel doit être muni d’un repère d’espace et d’un repère de temps.

3. On rappelle queδ_ijest le symbole de Kronecker :δ_ij= 1 si i = j etδ_ij= 0 si i,j 4. #«e₁selon le pouce,#«e₂selon l’index et#«e₃selon le majeur (de la main droite).

5. Bien entendu, cette approximation de point matériel dépend du phénomène étudié et de la précision que l’on souhaite avoir sur la connais- sance du système.

2 Systèmes de coordonnées

2.1 Le repère cartésien

On considère un point M et le repère d’espace cartésien ci-contre. Le point H est le projeté orthogonal de M sur le plan (Oxy). Le vecteur position # « OM est :

# «

OM = x#«e_x+ y#«e_y+ z#«e_z (x,y,z) sont lescoordonnées cartésiennesde M.

x =# «

OM.#«e_x y =# «

OM.#«e_y z = # « OM.#«e_z

Le repère cartésien est repère le plus "facile" à comprendre mais c’est rare- ment le plus adapté. On lui préfère souvent le repère cylindrique ou sphé- rique.

2.2 Le repère cylindrique

z

x

y

#«e_z

#«e_x

#«e_y M

H y x

z

O

On introduit la distance r = OH et l’angle orientéθ∈[0,2π] entre (Ox) et (OH). On introduit deux vecteurs unitaires :

– le vecteur radial #«e_runitaire définit pare#«_r=

# « OH k# «

OHk;

– le vecteur orhtoradial#«e_θ, unitaire, orthogonal à#«e_r, dans le plan (Oxy) et dirigé dans le sens desθcroissants.

Le vecteur position est :

# «

OM = r#«e_r+ z#«e_z

Les vecteurs#«e_r,#«eθet#«e_zforment une BOND et (r,θ,z) sont lescoordonnées cylindriques. On montre facilement que :











#«e_r= cosθ#«e_x+ sinθ#«e_y

#«eθ= – sinθ#«e_x+ cosθ#«e_y

z

x

y

#«e_r

#«e_z

#«e_θ z

M

H O r

θ

On peut donc écrireOM = r cos# « θ#«e_x+ r sinθ#«e_y+ z#«e_zce qui donne x = r cosθet y = r sinθ.

Si le mouvement est plan, on peut placer le repère pour faire coïncider le plan du mouvement avec le plan (Oxy). Dans ce cas, les coordonnées cylindriques sont utilisées avec z = 0. On parle alors decoordonnées polaires.

# « OM = r#«e_r

y

x

#«e_r

#«e_θ

r

M

O θ

2.3 Le repère sphérique

On introduit la distance r = OM, l’angle orientéϕ∈[0,2π] entre (Ox) et (OH) et l’angle orientéθ ∈[0,π] entre (Oz) et (OM). On introduit trois vecteurs unitaires :

– le vecteur#«e_rdéfinit pare#«_r=

# « OM k# «

OMk;

– le vecteur #«e_θorthogonal à #«e_r, dans le plan (OMH) et dirigé dans le sens desθcroissants ;

– le vecteur #«e_ϕ correspondant au vecteur #«e_θ des coordonnées cylin- driques.

Attention, les notations pour r, θ, #«e_θ et #«e_r sont les mêmes que pour le repère cylindrique mais ne correspondent pas à la même chose.

z

x

y

#«e_r

#«e_θ

#«e_ϕ r

M

H O

θ

ϕ

Le vecteur position est :

# « OM = r#«e_r

Les vecteurs #«e_r, #«eθ et #«eϕ forment une BOND et (r,θ,ϕ) sont lescoordonnées sphériques. On montre facilement

que :















#«e_r= sinθ

cosϕ#«e_x+ sinϕ#«e_y

+ cosθ#«e_z

#«eθ= cosθ

cosϕ#«e_x+ sinϕ#«e_y

– sinθ#«e_z

#«e_ϕ= – sinϕ#«e_x+ cosϕ#«e_y Ce qui nous permet d’écrire que :

# «

OM = r sinθcosϕ#«e_x+ r sinθsinϕ#«e_y+ r cosθ#«e_z avec















x = r sinθcosϕ y = r sinθsinϕ z = r cosθ On considère un point M à la surface de la Terre. L’angle

ϕest nommé longitude et l’angleλest nommé latitude.

ϕ= 0 correspond au méridien de Greenwich (qui passe en France) etλ = 0 correspond à l’équateur. La donnée de ces deux angles constituent les coordonnées GPS.

Par exemple, la ville de Moscou (Russie) est située à 55°NORD et 37°EST (ce qui signifie queλ= 55°,θ= 35°

et ϕ = 37°) alors que la ville de Rio de Janeiro (Brésil) est située à 23°SUD et 43°OUEST (ce qui signifie que λ= 23°,θ= 90 + 23 = 113° etϕ= 360 – 43 = 317°).

On précise NORD/SUD et EST/OUEST pour savoir de quel côté de l’équateur et du méridien de Greenwich on se trouve.

M

O θ

ϕ z

x

y Parallèle

Méridien λ

ouest est

sud nord

3 Vitesse et accélération

3.1 Définitions

On considère un point M se déplaçant au cours du temps dans un référentielR. On note M(t) la position de M à l’instant t. L’ensemble des points occupés par M au cours du temps est la trajectoire et sera notéeC. On considère un point O fixe dans R. On note souvent pour simplifierOM(t) =# « #«r (t). On a :

d# «

OM(t) = d#«r (t) =# «

OM(t + dt) –# «

OM(t) =# « M(t)M(t + dt) La vitesse d’un point M à l’instant t est :

#«v (t) =d# « OM

dt (t) = d#«r dt (t)

La vitesse s’exprime en m.s^–1 et le vecteur vitesse à l’instant t est tangent à la trajectoire de M à l’instant t. Attention, la notation v fait référence à la norme de la vitesse : v =k#«vk.

L’accélération d’un point M à l’instant t est :

#«a (t) =d#«v

dt (t) =d²# « OM

dt² (t) =d²#«r dt² (t) L’accélération s’exprime en m.s^–2.

C

• >

M(t) •

M(t+dt) d#«r (t)

O•

C

• >

M(t)

O•

#«v (t)

C

• >

M(t)

O•

#«v (t)

#«a

3.2 Repère de Frenet (HP)

On introduit le vecteur #«e_//tangent à la trajectoire en M et le cercle, de rayon R, tangent à la courbe en M et qui "épouse cette courbe le mieux possible" (ce cercle est nommé cercle osculateur⁶). Le vecteur #«e⊥ est unitaire, orthogonal à #«e_// et dirigé vers le centre du cercle osculateur. L’ensemble (#«e_//,#«e⊥) constitue le repère de Frenet. On admet les relations de Frenet (HP) :

#«v = v#«e_// (v =k#«vk> 0)

#«a =dv dt

#«e_//+ vd#«e_//

dt =dv dt

#«e_//+v² R

#«e⊥=#«a_//+#«a⊥

On remarque que #«a⊥est toujours dirigé vers le centre du cercle osculateur. Par ailleurs :

#«a .#«v = vdv dt

C

• >

M

•

#«e_//

#«e⊥

C

• >

M

#«a_//

#«a⊥

#«a

• Si#«a .#«v > 0 =⇒dv

dt > 0 le mouvement est accéléré : v augmente

C

• >

M

#«a_//

#«a⊥

#«a

• Si#«a .#«v < 0 =⇒dv

dt < 0 le mouvement est décéléré : v diminue

C

• >

M

#«a_//

#«a⊥

#«a

3.3 Deux erreurs classiques à éviter

Il y a deux erreurs classique qu’il faut impérativement éliminer :

– Si un point M met un temps T pour aller d’un point A à un point B séparé d’une distance D : v,D/T . Cette relation n’est vraie que si v = cte.

– La relation a =dv

dt est, à priori, fausse :

#«a = d#«v

dt a =k#«ak=

d#«v dt

, dk#«vk dt =dv

dt

3.4 Expressions de la vitesse et de l’accélération dans les di ff érents repères

3.4.1 Repère cartésien Dans la base cartésienne, # «

OM = x#«e_x+ y#«e_y+ z#«e_z. On a donc :

#«v = dx dt

#«e_x+dy dt

#«e_y+dz dt

#«e_z+ xd#«e_x

dt + yd#«e_y

dt + zd#«e_z dt car#«e_x, #«e_yet #«e_zsont des vecteurs fixes au cours du temps.

#«v = ˙x#«e_x+ ˙y#«e_y+ ˙z#«e_z

6. En latin, "osculare" signifie "donner un baiser". La définition du cercle qui "épouse la courbe le mieux possible" est donc le cercle tangent à la courbe de rayon R = v

d#«e_//

dt

3.4.2 Repère cylindrique Dans la base cylindrique :# «

OM = r#«e_r+ z#«e_z. On a donc :

#«v =dr

dt#«e_r+dz

dt#«e_z+ rd#«e_r

dt avec #«e_r= cosθ#«e_x+ sinθ#«e_y ce qui donne :

d#«e_r dt = ˙θ

– sinθ#«e_x+ cosθ#«e_y

= ˙θ#«eθ=⇒ d#«e_r dt = ˙θ#«eθ

On en tire donc :

#«v = ˙r#«e_r+ r ˙θ#«eθ+ ˙z#«e_z

On peut écrire#«v sous la forme#«v = v_r#«e_r+ v_θ#«e_θ+ v_z#«e_zoù v_rest nommé vitesse radiale et v_θvitesse orthoradiale.

Rem : on pose souventω= ˙θque l’on nomme vitesse angulaire (mais ce n’est pas une vitesse !).

Pour calculer l’accélération, il faut dériver la vitesse :

#«a = ¨r#«e_r+ ˙r ˙θ#«eθ+ r ¨θ#«eθ+ ¨z#«e_z+ ˙rd#«e_r

dt + r ˙θd#«e_θ

dt avec #«eθ= – sinθ#«e_x+ cosθ#«e_y ce qui donne :

d#«e_θ dt = ˙θ

– cosθ#«e_x– sinθ#«e_y

= – ˙θ#«e_r=⇒ d#«e_θ

dt = – ˙θ#«e_r On en tire donc :

#«a =

¨r – r ˙θ²#«e_r+

2˙r ˙θ+ r ¨θ#«e_θ+ ¨z#«e_z Cette formule est à connaître par cœur sans aucune hésitation.

3.4.3 Repère sphérique (HP)

Dans la base sphériqueOM = r# « #«e_r. On a donc :

#«v = dr dt

#«e_r+ rd#«e_r dt On a :

#«e_r= sinθ

cosϕ#«e_x+ sinϕ#«e_y

+ cosθ#«e_z D’où :

d#«e_r

dt = ˙θcosθ

cosϕ#«e_x+ sinϕ#«e_y

+ ˙ϕsinθ

– sinϕ#«e_x+ cosϕ#«e_y

– ˙θsinθ#«e_z= ˙θ#«eθ+ ˙ϕsinθ#«eϕ

On en tire donc :

#«v = ˙r#«e_r+ r ˙θ#«e_θ+ r ˙ϕsinθ#«e_ϕ

Cette formule n’est pas au programme mais la retenir n’est pas inutile. L’expression de l’accélération est compliquée et rarement utilisée, elle sera donc rappelée si besoin.

4 Etude de mouvements particuliers

4.1 Mouvement rectiligne uniforme

Le mouvement de M estuniformesi la norme de la vitesse de M est constante : v =k#«vk= cte

Le mouvement estrectilignesi le point M se déplace uniquement suivant un axe de direction fixée :

#«v = v#«e_// avec#«e_//=cte# « Pour unmouvement rectiligne uniforme:

#«v =cte# «⇐⇒#«a =#«

0 En effet :

#«v = v#«e_//=# «

cte car v = cte| {z }

uniforme

et #«e_//=# « cte

| {z }

rectiligne

On obtient : # «

OM(t) =#«r (t) = v₀t#«e_//+r#«₀ avec #«v (0) = v₀#«e_// #«r (0) = #«r₀

4.2 Mouvement à accélération constante

On considère que :

#«a =cte =# « #«a₀=⇒#«v =#«a₀t +#«v₀=⇒ # «

OM =#«r =#«a₀t²

2 +#«v₀t +#«r₀ Exemple 1 : la chute libre. Dans ce cas,#«a =#«g =cte# «

m#«a = m#«g =⇒#«a =#«g =cte =# « ⇒#«r (t) =#«gt²

2 +#«v₀t +#«r₀ Pour une particule lâchée d’une hauteur h (#«r₀= h#«e_z) sans vitesse initiale (#«v₀=#«

0 ), on a donc :

#«r (t) = –gt² 2

#«e_z+ h#«e_z ce qui donne











x = y = 0 z = –gt²

2 + h

sol x z

•M(t = 0)

•M(t)

h #«r

#«g

On noteτLe temps de chute. On a donc z(τ) = 0 ce qui donne :

0 = –gτ²

2 + 0 + h =⇒τ= s

2h g

Le temps de chute ne dépend pas de la masse de l’objet. Attention, une erreur classique est d’écrire que #«v (τ) =#«

0 , ce qui est absolument faux : #«v (τ) = –gτ#«e_z.

Exemple 2 : portée et hauteur maximale. On envisage un lancer avec une vitesse initiale non nulle

#«r (t) =#«gt²

2 +#«v₀t +#«r₀

O x

sol z

#«v₀

α

#«g

x_max• z_max















x = v₀t cosα y = 0 z = –gt²

2 + v₀t sinα

En exprimant t en fonction de x et en injectant dans l’expression de z, on obtient une parabole : z(x) = –g

2 v²₀cos²αx²+ x tanα

x_maxest atteint lorsque z = 0. On a donc :

0 = –g

2v²₀cos²αx²_max+ x_maxtanα=⇒x_max=v²₀sin(2α) g L’altitude z_maxest atteinte à l’instant t₁. On a ˙z(t₁) = 0, ce qui donne t₁=v₀sinα

g et z_max= z(t₁) donc : z_max=v²₀sin²α

2g

4.3 Mouvement circulaire uniforme

On se place en coordonnées cylindriques. Le mouvement estcirculairesi : r = cte = R et z = cte

Dans ce cas, le mouvement est plan et on peut le faire coïncider avec le plan (Oxy), ce qui revient à prendre z = 0. On a donc unevitesse orthoradiale:

# «

OM = R#«e_r=⇒#«v = R ˙θ#«eθ= vθ#«eθ

Dans la suite, on pose

ω= ˙θ

ωest nommé vitesse angulaire. Si le point M tourne dans le sens trigonométrique (ce qui est le cas ici),ω> 0. Le mouvement estuniformedonck#«vk= v = cte. Or v = |Rω| = Rωdoncω= cte.

> x

y

R

•

•

#«v M

O θ

On peut intégrer dθsur un tour :

Z2π

θ=0

dθ= ZT

t=0

ωdt =⇒ 2π=ωT

où T est le temps mis pour faire un tour. On peut donc écrire :

#«v = Rω#«eθ= v#«e_z

Pour l’accélération :#«a =

¨r – r ˙θ²#«e_r+

2˙r ˙θ+ r ˙θ²#«eθ+ ¨z#«e_zce qui donne dans le cas circulaire uniforme :

#«a = –R ˙θ²#«e_r= –v² R

#«e_r

L’accélération est ditecentripète(ou radiale). Elle est orthogonale à la vitesse. On peut résumer la situation ci-contre. En choisissantθ(t = 0) = 0, on aθ(t) =ωt et

donc : # «

OM = r#«e_r= R

cos(ωt)#«e_x+ sin(ωt)#«e_y

On obtient donc les coordonnées cartésiennes x(t) = R cos(ωt) et y(t) = R sin(ωt).

On obtient bien évidemment l’équation d’un cercle de rayon R : x²+ y²= R².

y

R x

•

#«a

•

#«v M

O θ

>

Strictement HP

L’application de la seconde loi de Newton dans le référentiel lié au sol donne –mv² R

#«e_r = #«

F_ext que l’on peut réécrire :

#«0 = m#«a⁰=#«

F_ext+ mv² R

#«e_r Avec #«a⁰ = #«

0 . Dans le référentiel lié au point M, l’accélération est nulle donc cette équation peut s’interpréter comme une seconde loi de Newton appliquée dans le référentiel en rotation (non galiléen). Ainsi tout se passe comme si une nouvelle force "apparaissait", c’est ce que l’on nomme la force centrifuge. Cette force a tendance à vous repousser vers l’extérieur du cercle.