Trivialité du $2$-rang du noyau hilbertien

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

H

ERVÉ

T

HOMAS

Trivialité du 2-rang du noyau hilbertien

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

6, n

o

_{2 (1994),}

p. 459-483

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1994__6_2_459_0>

© Université Bordeaux 1, 1994, tous droits réservés.

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TRIVIALITÉ

DU 2-RANG DU NOYAU HILBERTIEN.

HERVÉ THOMAS

ABSTRACT. - We _give exhaustive list of biquadratic fields K = Q(i,

~m)

and K =

Q(~2,

~m)

without 2-exotic symbol, i.e. for which the 2-rank of the Hilbert kernel _(or wild _kernel) is zero. Such K = Q(i,

~m)

_are

logarithmic principals

[J3].

We detail an _exemple of this technical numerical

exploration and _quote the family of theories and results we utilize. The

2-rank of tame, regular and wild kernel of K-theory are connected with local

and _{global problem} of _embedding in a _{Z2-extension.} Global class field

theory can describe the 2-rank of the Hilbert kernel and reveals existence

of symbols on K not _{given by} local class field theory.

Introduction

Les

_2-rangs

des _noyaux

_modérés,

_réguliers

et hilbertiens de la K-théorie sont reliés à des

_problèmes

locaux ou

globaux

de

plongement

dans une

Z2-extension. La théorie

_globale

du _corps de classes

_peut

décrire le

_2-rang

du _noyau

_{hilbertien, grâce}

entres autres à des résultats de Tate

_{( ~Tl ~,}

_[T2])

sur le _groupe

K2K

des

_symboles

sur un _corps de nombres

_K,

et révéler

ainsi l’existence de

_{symboles qui}

ne sont pas donnés par la théorie locale.

Nous isolons ici des

_phénomènes

révélateurs de la

_présence

de tels

_symboles

dits

_exotiques.

_{L’explicitation}

concrète de telles

_applications

se révèlerait sans aucun doute très intéressante et

permettrait

de relier divers

_aspects

arithmétiques

d’un _corps de nombres.

Nous sommes amenés à nous

_préoccuper

de 2-extensions vivant dans le schéma de la 2-ramification

_abélienne,

cadre dans

_lequel

la ramification restreinte laisse un

_espoir

de

_parvenir

à une théorie du _corps de classes

explicite.

C’est ainsi _que G. Gras

_(cf.

_{~G~,~, [G2])}

a réussi à déterminer le

radical initial de la

_composée

des

_{Z2-extensions grâce}

à un

_logarithme

ad

hoc.

_Ici,

ce sont les idèles _que nous utilisons

(et

_{plus précisément}

le 2-adifié du groupe des idèles construit par J.-F. Jaulent

[Ji ] ) .

En

effet,

nous mettons l’accent sur la notion « localement

_partout

_{Z2-plongeable}

» introduite par

F. Bertrandias et J.-J.

_Payan

il _y a une

_vingtaine

d’années dans le but de

trouver une condition sufhsante à la

_conjecture

de

Leopoldt

(cf.

[BP],

ou encore

[si]).

La trivialité de la

_2-partie

du noyau

régulier

R2K

dans

K2K

fournit

une telle condition suffisante et conduit à la notion de _corps

2-régulier

ou

2-rationnel : pour de tels corps de nombres

K,

la 2-extension abélienne

2-ramifiée

_{oo-décomposée}

maximale

_MK

coïncide avec la

_composée

ZK

des

Z2-extensions

de K et on a

7G2+T2.

Nous _renvoyons à

[CH],[GJ],[MN]

et à leurs références pour la résolution de tels

problèmes.

De

_{plus, rappelons}

_{que pour} K totalement

_réel,

la torsion de

_Gal(MK/K)

a un

_aspect

analyse 2-adique

donné _par J. Coates dans

[Co].

Ici,

les _corps trouvés avec un

_2-rang

du _noyau hilbertien trivial

apparti-ennent à une famille

plus

vaste que les corps

2-réguliers. Lorsque

les racines

quatrièmes

de l’unité sont dans

_K,

de tels _corps ont un _groupe des classes

logarithmiques

[J3]

trivial en 2 et vérifient les

_conjectures

de

_Leoplodt

et de Gross

_(en

_2).

Pour arriver à des résultats

_numériques

de calcul du

_2-rang

du _noyau

hilbertien,

la théorie des idèles doit être

_explicite.

Plus

_{précisément,}

fac-toriser dans les localisés du _corps de nombres en les

_premiers

divisant

_2,

connaître

_{numériquement}

les classes et les unités de K sont à la base de

nos résultats. Le _groupe

Gal(MK/ZK)

correspondant

aux sous-extensions

2-élémentaires

_Mk

et

_Zk

de

_MK

et

_ZK

_{(cf. §2)}

est un _sous-groupe du

groupe de classes de rayon

Gal(Mk 1 K)

(cf. §2)

mais les calculs visant à sa

connaissance ne

_peuvent

se cantonner à des _congruences « traditionnelles

» intervenant dans la théorie des classes de rayon. Il est essentiel d’obtenir

des

_{renseignements}

basés sur des écritures locales de certains éléments

globaux

(cf.

§2, §3

et

_~Th~).

Un autre

_aspect

est le théorème relatif à

_{l’ex-conjecture}

de Birch-Tate

lorsque

K est totalement réel =

cv2(K)~~x(-1)~

(selon

Wiles

([Wi]),

il reste à montrer en toute

_{généralité}

la

_2-partie

de

_{l’égalité).}

Sig-nalons que des chercheurs de Bordeaux

(citons

H. Cohen et l’un de ses

étudiants E.

_Tollis)

calculent _pour certains corps de nombres des valeurs de

la fonction zêta de Dedekind en

_particulier

aux entiers

_négatifs

ce

_qui

nous a

permis

de vérifier nos affirmation

pour K

=

Q( J2,

_sur de nombreuses

valeurs de m.

Notations

Nous donnons ci-dessous les

_principales

notations et résultats _que nous

utilisons.

Notations

_{globales :}

Pour K un _corps de

nombres,

(ri, r2)

est sa

_signature,

_{p K} le _groupe des

racines de l’unité contenues dans le _groupe

_{multiplicatif}

KX .

des classes d’idéaux et de S-classes d’idéaux au sens ordinaire. et

s’entendent au sens restreint.

EK

(resp.

représente

les unités

_(resp.

les

_S-unités)

totalement pos-itives de l’anneau des entiers

_{OK; EK}

_(resp.

_EK)

est le groupe des unités

(resp.

des

_S-unités)

au sens ordinaire de

C~K

(les

_signatures

n’interviennent

Pas).

Pour un _groupe G de torsion

quelconque,

G(2)

est son

2-sous-groupe

de

Sylow et

2G

le _sous-groupe des éléments annulés _{par 2.}

est un entier naturel sans facteur

carré, les fi

sont

_impairs,

Notations locales : .’

Pour un _corps local

_KsrJ

_{avec fl3}

une

place

au dessus d’un _p de

Z,

nous

no-tons _{~c~ le groupe} des racines de l’unité locales.

_{2 (~)}

est la

_{partie 2-primaire}

de

_{(N~ -1) ~}

le cardinal de

_qui

a deux _sous-groupes

dissem-blables = _et

~c~ _

~~pr~ ~ .

est une uniformisante locale

_qui

d’un

_point

de vue théorie du _corps de classes est

envoyée

_par

l’application

d’Artin locale wqg sur le « Frobenius »

_{arithmétique.}

_désigne

le

sous-groupe des unités

principales,

elles sont congrues à 1 modulo l’idéal de la

valuation noté La

_possibilité

de factorisation

_{multiplicative}

existe dans

un _corps local :

et

_{U ^_}

si

_{(ul )libre}

_désigne

un sous

o - o o o o - r-srJ o o

Zp-module

libre maximal de

_U1B.

Pour b

2,

représente

le

_prolongement

du

_logarithme

_P-adique

défini

sur

Us1

nul sur la torsion et sur

2~

(normalisation

d’Iwasawa) .

Notations liées à la théorie locale du _corps de classes :

Ici,

l’étude menée nous conduit à

_regarder

des 2-extensions abéliennes.

Pour

_{chaque place}

nous notons la 2-extension abélienne maximale de

Si

_~

est

_finie,

nous avons

d’après

Si 13

est

_réelle,

il vient de même :

En

_chaque

_place

finie

_13,

nous considérons le

symbole

de Hilbert de

pro-fondeur maximale défini _{par :}

pq3 est de cardinal et wqg est

l’application

d’Artin locale.

Et le

_symbole

_{régulier correspondant}

est :

Pour une

_{place réelle,}

et nous avons

pour x &#x3E; 0 ou y &#x3E;

_0;

si les deux réels sont

_négatifs,

la valeur est Pour

_{m 1 mp,}

le

_symbole

de Hilbert de

_profondeur

m est

De

_même,

nous notons _pour les

places

finies

(

Dans la théorie locale du _corps de

_classes,

les

_places

_(devenues)

_complexes

de K n’interviennent _pas.

_Ainsi,

dans les

_diagrammes

_{qui suivent,}

₁₃

ne

représente

jamais

une

place complexe.

Il en est de même dans la théorie

globale, lorsque

nous utilisons tout comme dans

[Th]

le le f-adifié du _groupe

des idèles construit par J.-F.Jaulent

1. Enoncé du

_problème

et lien avec la 2-ramification abélienne

Pour un _corps de nombres

K,

la

description

du _groupe

_K2K

via les

symboles,

démontrée _par Matsumoto

_~Mat~

amène à se

préoccuper

des

noyaux suivants

qui

mesurent ce

_qui

échappe

_{respectivement}

aux

symboles

modérés,

réguliers

ou _{sauvages :} on _compare le _groupe

_{K2K qui}

factorise

tous les

_symboles

sur K aux _groupes

représentant

les familles de

_symboles

hilbertien est ainsi révélateur de l’existence de

_symboles

dits

_exotiques.

H2K

est le _noyau hilbertien ou _sauvage,

R2K

est le _noyau dit

_régulier

et

K20K

le noyau modéré. Les

places complexes

n’interviennent pas.

Localement,

les

_symboles

de Hilbert factorisent

_{chaque symbole}

continu

à valeur dans un _groupe fini. Le tilde

signifie

_que

_l’image

ne

_peut

excéder

l’ensemble des familles de racines de l’unité liées _par la loi de

_{réciprocité.}

Et la

_{surjectivité}

_(Moore

_puis

_{Chase-Waterhouse)}

affirme _que c’est la seule liaison. Ces noyaux sont finis

d’après

H. Garland

( ~Gar~ )

et nous

connais-sons leurs

générateurs

( ~Bas - Tant]).

Malgré

cela,

sauf cas

_{particuliers,}

la

connaissance

_explicite

de ces _noyaux nous

échappe

car nous ne savons _pas trouver, en toute

_{généralité,}

les relations de liaison entre deux éléments du

groupe

K2K qui

est un _groupe de torsion

d’après

le résultat de Garland.

Nous

_regardons

maintenant tous ces _groupes de torsion en leur

2-Sylow.

Les résultats de Tate

_(cf.

_[Tat2])

montrent _que le

_morphisme

naturel

_{(-1~ ~~ K X -~2}

_{K2 K}

induit _par le

_symbole

universel

_{20131?’}

est

surjectif

et _que son _noyau le radical de

_Tate,

est un

_F2-espace

vectoriel

de dimension 1 + r2 :

, ,,....

Ainsi,

nous avons un

dictionnaire

entre les éléments annulés _{par 2} dans

ces _noyaux de la K-théorie et certains radicaux kummeriens du schéma de la 2-ramification abélienne de K _que nous allons étudier

_plus

_{précisément}

Les radicaux kummeriens

_9XK,

_9X9,

-15K

sont définis au

_chapitre

_{2; x}

E

Sj K

signifie

que

K(fl)

est localement

partout

Z2-plongeable

aux

places

finies

et x est totalement

_positif.

Par

_ailleurs,

le radical kummerien

_3K

_{correspondant}

aux extensions

globalement 22-plongeable

est de

_F2-dimension

_égale

à

_1+r2

sous la

conjecture

de

_Leopoldt

pour le

couple

(corps

K, premier

2).

Citons aussi

0lK

le radical construit sur les unités

logarithmiques

(cf.

[Jau2]);

il est intéressant de comparer ce dernier à

3K

lorsque

i E KI

_{(voir §2}

pour tous

ces radicaux kummeriens et

§3 -

2 pour Nous avons :

Ainsi,

nous sommes tout naturellement conduit à étudier minutieusement

la différence

_précise

entre le localement

_partout

et le

_globalement

Z2-plon-geable.

Comme le

_2-rang

du noyau hilbertien est donné par :

= nous avons en

particulier :

THÉORÈME

1. Critère de trivialité _pour la

_2-partie

du _noyau hilbertien. Sous la

_conjecture

de

_Leopoldt

en 2

_{pour K}

_{(i. e.}

1 +

_{r2), il}

vient :

Sous la

_conjecture

de Gross en 2 _pour K

_(i.

e.

_{dimF2 S)1K}

= 1 -f-

r2)

_en

présence

des racines

4iemes

de

_l’unité,

on a :

Comme on va le

_voir,

toutes les 2-extensions abéliennes intervenant

ci-dessus à travers leurs radicaux sont 2-ramifiées.

_Aussi,

en vue des calculs

explicites,

nous allons

_répertorier

les

_principales

2-extensions abéliennes

comptant

parmi

celles 2-ramifiées de K.

2.

_Principales

_{pro-2-extensions}

abéliennes 2-ramifiées

Le but de ce

_paragraphe

est de

_préciser

le

_type

de calculs locaux à

entreprendre.

La

_{description idélique}

de l’inventaire ci-dessous de radicaux kummeriens est certes

_technique

mais c’est le

_prix

_{pour arriver} aux résultats

explicites

du

_§4.

2.a.

_Description

kummérienne

Une 2-extension E de K et

_{plus généralement}

une

_{pro-2-extension}

con-tient un _sous-corps maximal à _groupe de Galois sur K

d’exposant

2 : nous

le notons E‘ . Ce _corps admet une

description

kummérienne sur .K et nous

disons _que le radical

_{correspondant}

est attaché à E. Une 2-extension de K est dite « 2-ramifiée »

_lorsque

la ramification est cantonnée au dessus de

2

_(et

_qu’à

l’infini la

_{complexification}

de

_places

réelles est

_possible).

Cette fenêtre de ramification

_permet

à une variété

_importante

de 2-extensions de

prendre

place

dans le schéma de la 2-ramification abélienne et bien _souvent, seules des

_propriétés

locales

_permettent

de caractériser les radicaux

corre-spondants.

Nous donnons successivement _pour chacune des 2-extensions étudiées sa

définition,

son radical et le mode d’obtention de celui-ci. Nous

désignons

par uq3 une unité

13-adique,

Elq3

un carré et _aq3 un entier

relatif.

*

MK

est la 2-extension abélienne de

_~,

2-ramifiée et maximale. Les seules

_places

finies autorisées à

_s’y

ramifier sont celles divisant 2 et les

_places

réelles

_peuvent

se

complexifier.

Le radical kummérien associé se note

_OO1K.

Les conditions locales le caractérisant sont les suivantes :

Le calcul

_pratique

de

ro1K

repose sur la suite exacte scindée

_ci-après

_qui

indique

ce

qu’il

est nécessaire de connaître

numériquement

et donne la

IF2-dimension de

_{VRK :}

/ 1

*

MK

est la 2-extension abélienne maximale de K avec les

caractéris-tiques

suivantes : les seules

_places

finies

_pouvant

se ramifier sont celles

divisant 2 et aucune des _ri

_places

réelles de K ne se

complexifie.

Le radical associé : .

-Son obtention

_numérique

s’effectue en sélectionnant les

_{représentants}

totalement

_positifs

de

9XK.

*

_HK

est la

_composée

des 2-extensions abéliennes de K localement

partout

22-plongeables

(en

ce

_qui

concerne les

places

réelles,

elles restent

Sa méthode d’obtention repose sur une sélection des

représentants

de en tenant

_compte

des nouvelles conditions à vérifier aux

_places

sau-vages. Ce tri est basé sur des formules

explicites

_pour calculer la

partie

sauvage de

symboles

de Hilbert aux

places

divisant 2.

Lorsque

2(13)

&#x3E;

_2,

rappelons

la formulation très utile suivante

_(on

trouve celle de droite dans

[J4]) :

*

_ZK

_{est le}

_composé

_des

_{Z2-extensions}

de K.

_Rappelons

_que, sous

la

_conjecture

de

_Leopoldt,

le _corps de nombres K

_possède

₍₁

+

_r2)

Z2-extensions linéairement

_disjointes

_(et

_pas

_plus).

Le radical kummerien associé

_3x

est dans la chaîne d’inclusion :

_3K

C

’5 K

C C Il est obtenu

_{numériquement}

_grâce

à la théorie du

corps de classes :

~K

ne saurait être décrit _par les seules conditions locales

qui

ont atteint leur

_apogée

lors de

_l’approche

_par

_(cf

_[Th]);

_3x

est

l’orthogonal

de dans la dualité kummérienne donnée _par les

symboles

de Hilbert :

* Nous _groupons

_quatre

2-extensions de K incluses dans

_CK

le

_2-corps

de classes de Hilbert.

_CK

est la 2-extension abélienne maximale de K sous

les conditions suivantes : aucune

_place

finie de K ne se ramifie mais les

places

réelles

_peuvent

se

complexifier.

Apparaissent

aussi

CK le

_2-corps

de

classes absolu de Hilbert

_(les

_places

réelles de K restent

_réelles),

DK

(resp.

DK)

le _sous-corps maximal de

_CK

_(resp.

de

_n9)

avec les

_places

divisant 2

de K totalement

_{décomposées.}

d’apparition :

Ici,

désigne

une unité

adéquate

_que l’on détermine lors des calculs

explicites:

pour une

place q3

divisant

2,

est la seule extension

quadratique

de

_Kqg

_qui

est non

ramifiée;

c’est aussi le

_premier

_étage

de la

Z2-extension

non ramifiée de

K~.

*

Enfin,

des considérations de dualité amènent à introduire la 2-extension

abélienne de K localement

_partout

_cyclotomique

aux

places

finies et

max-imale sous cette condition.

Il lui

_correspond

un radical kummérien _que nous

notons é5 K ,

donné _{par :}

,.- - "

Considérons maintenant le sous-groupe noté

f2.K

défini par :

Remarquons

que les différences

entre CiK

et

D K

reposent

sur celles

ex-istant entre

_{m et}

_IÀK(2)

_(voir

lemme 3

_§3

_pour des

_exemples).

Nous sommes intéressé _par le

quotient 6 K

déf

En

effet,

comme

expliqué

dans

_[J2],

sa

F2-dimension

_égale

le

_2-rang

de

Gal(HKIZK)

_(cf.

§2.b

pour la

description

idélique

de ce _groupe de

Galois).

En

_particulier,

nous avons :

THÉORÈME 2.

_Expression

du

_2-rang

du _noyau hilbertien. Sous la

conjec-ture de

_Leopoldt

_{en 2 pour} K

_{(i. e.}

sous La conditions

_dimF23K

= 1 +

r2), il

vient :

Ainsi,

le calcul du

_2-rang

_{du noyau hilbertien}

_{qui indique}

s’il _y a des

au calcul du

_2-rang

d’un _groupe de Galois obtenu

grâce

à la théorie

globale

du corps de classes.

On voit que les définitions de tous les radicaux kummériens ci-dessus

font

_appel

aux mêmes conditions aux

places

finies

_étrangères

à 2. Mis à

part

S)1K,

3K,

ùK ,

les différences entre tous les autres radicaux

_reposent

sur

des conditions locales

_spécifiques

à chacun aux

places

_sauvages et réelles.

2.b. Détermination

idélique

du groupe

Gal(HK /ZK)

La

_{description idélique}

des groupes de Galois intervenant ici est éclairée par la construction de J.-F. Jaulent du 2-adifié du groupe des idèles de K.

Le _sous-groupe 2-divisible du _groupe des idèles

_classiques

est

_supprimé

et les

_K~

_(voir

les

_notations)

_remplacent

les Nous _renvoyons à

_(et

à

_[Th]

pour son utilisation dans un contexte

_similaire).

_Ici,

_rappelons

que

rest .

7Zx

représente

les idèles

_{principaux Z2}

(&#x26;7, K’

_envoyés

dans

_x

=

Il

o Nous avons successivement ici

_(sous

la

_conjecture

de

_Leopoldt

en 2 pour

K):

Les _groupes à droite des

_{signes d’isomorphisme,}

obtenus

_grâce

à la théorie du _corps de

_classes,

sont

_{numériquement}

à calculer _pour éclaircir les pro-blèmes

_qui

nous

_{préoccupent:}

la théorie des idèles doit être

_explicite

sur

le _corps K. Chacun de ces

_quatre

_groupes de Galois

_ayant

un

_aspect

arithmétique

particulier,

leurs obtentions

_numériques

sont de difficulté

inégales.

Concernant

_{Gal (HK /ZK)}

_qui

mesure _par dualité la différence de nature entre être « _localement

_partout

_{Z2-plongeable}

» et être «

_globalement

72-plongeable

»

_(passage

de

_fJx

à

_3x),

notons

_qu’un

idèle de

est en relation avec des idèles

_principaux

dont les valuations aux

places

finies sont des

_multiples

de 2. Plus

_{précisément,}

considérons un idèle

dont la classe modulo

engendre

une

_composante

cyclique

de

il

profondeur

2’~ de

_Gal(HK/Zx)

_(n

un entier

naturel).

Nous avons

(7~§ )qg =

où est une famille de racines de l’unité et un idèle

principal.

Ainsi, concrètement,

nous recherchons les écritures

idéliques

à une

_précision

adéquate

d’un

_système

d’unités fondamentales de K et de

certains

_{générateurs}

d’idéaux. Ces derniers sont notés ici

_(ai)i;

ce sont des

éléments de

_{C~K qui}

interviennent dans une

_{décomposition}

en somme de

composantes

cycliques

du

_2-Sylow

du _groupe des classes.

Une fois _que nous

disposons

de cet ensemble d’idèles

_principaux

nous sommes à même

_{d’expliciter}

les

_{générateurs}

de

Gal(HK/ZK) (cf.

[Th]

pour un

algorithme

d’obtention de ce _groupe de Galois dans le cas de la

recherche du radical initial des

_{Zs-extensions}

d’un _corps

_{biquadratiques}

Q( yC3,

~)).

Par

_dualité,

ceux-ci nous

_permettent

alors de sélectionner ceux des éléments de

J)K

_qui

sont en fait dans

3K.

Nous _{voyons que} la

théorie des idèles doit être

_explicite

_pour d’éventuels calculs et

_qu’il

nous

faut

_{principalement}

factoriser dans les localisés au dessus de 2.

3. Résultats

_explicites

pour des corps

biquadratiques

Dans ce

paragraphe,

nous

énonçons

les résultats

explicites

obtenus _pour

des _corps

_{biquadratiques}

_Q(1,

ou

Q( v’2,

_et, en

_particulier,

nous

donnons la liste exhaustive de tels _corps sans

2-symbole

_exotique.

Le lecteur

prend

connaissance des

_conclusions,

il

_dispose

de démonstrations _pour le

cas numéro 8 relatif à K =

Q( v’2,

B/7~).

Les autres calculs sont du même

type,

nous ne _pouvons donner toutes les

démonstrations,

faute de

place.

Rappelons

qu’il s’agit

principalement

de calculer le

_2-rang

du _groupe de Galois

_Gal(HKIZK),

que cela amène à se

préoccuper

de calculs locaux très

précis

avec des idèles.

3.a. Etude des _corps

_{Q(JK, 1) .}

Cette étude

s’appuie

et

_englobe

celle des sous-corps

quadratiques

réels et

imaginaires

déjà

menée _par Browkin &#x26; Schinzel

_(cf.

_[BS]).

Dans le schéma

_galoisien

suivant,

nous avons

Gal (K/Q)

L-~ _p &#x3E; eT &#x3E;=

_C2

x

_C2,

Citons deux lemmes

_{préliminaires,}

leur preuve étant essentiellement basée

sur la formule des classes

ambiges évoquée

au

_{§4 :}

LEMME 2. La

_quantité

_{di’fnJF2fJK}

est

_susceptible

d’être

_inférieure

à

d’une unité _pour m -

_{~1 (8~}

ou m -

:i:2[16].

Parmi ces valeurs de _m, il _y a 8 _cas, étudiés

ci-dessous,

_pour

lesquels

dimJF29JtK

= 4 et ainsi le

2-Sylow

du _noyau hilbertien est

_susceptible

d’être trivial. Enumérons ces huit cas

pour m, " ..

Justification

des lemmes : nous avons accès à la

F2-dimension

de

donnée

_§2.a,

via la formule des classes

_{ambiges rappelée}

au

paragraphe

4 et

après

les calculs locaux

_qui

en découlent

(§4).

De

plus,

_pour les m du lemme

1,

Gal(MKIHK)

est trivial

_{(cf. §2.b)}

d’où

_YJK

=

9RK;

_{pour m -}

~1[8],

nous avons

C4

et pour m m

_{~2(16), Gal(MK/HK) =}

_C2

(cf. §2.b)

ce

_qui

veut dire

dimJF2YJK

=

(0

_ou

1).

Tout ceci

permet

de sélectionner les huit cas cités.

Nous avons étudiés minutieusement ces huit cas. L’anneau des entiers

m dans

[ah].

La

_{partie impaire}

du _groupe des classes d’idéaux s’identifie

à la somme directe de celles des _sous-corps

_{quadratiques k,}

et k. Contraste

pour le

2-Sylow

de

Cl K

qui

a lui un

_2-rang

calculable

_grâce

à la formule des

classes

_ambiges

mais de la

_capitulation

ou de la création de nouvelles classes

peuvent

modifier la

_profondeur

des

_composantes

_cycliques

de

_{ClK (2)}

_par

rapport

à celles de

_Clk,

₍₂₎

et

_Clk

_{(2) .}

Notons e une unité fondamentale de

K et ~r celle &#x3E; 1 de 1~. e _{et er}

_peuvent

coïncider ou alors être liées _par

~2

= _{avec a E}

{O, 1,2, 3}.

Deux

_{renseignements}

primordiaux

sont le

diagramme

des localisés de K et de ses _sous-corps en les

places

au dessus

de 2 et les

_2-groupes

de racines de l’unité dans les

_Kq3

_{où Ip}

₂

dans

Donnons les résultats détaillés _pour les

_quatre

_premiers

cas. Les calculs

pour arriver à ces conclusions sont similaires à ceux décrits _pour le cas 8

PROPOSITION 1. Dans les

_quatre

_premiers

cas

_ci-dessus,

nous avons :

. CAS 1 ET 2.

Il- _1

div(e)

est le

diviseur

logarithmique’

associé

às

et v

représente

les valuations

logarithmiques

(cf

[J3]).

· CAs 3.

Hypothèses :

m =

fI

=

7[8].

Notations :

Nous résumons maintenant les résultats obtenus _pour le _noyau hilbertien. Nous avons donné les conditions les

_plus

_simples

à vérifier

numériquement.

Par

_exemple,

dans le cas m =

7[8], e =

et la condition « 16

~’ u

»

_correspond

à un

_type

d’écriture locale aux

_places

divisant 2 pour l’unité

fondamentale e. Cela a une

répercussion

ensuite pour la trivialité ou non

de

_Gal(HK/ZK)

_qui

est construit en examinant certains idèles

principaux

(cf §2).

Les conditions obtenues

_reposent

sur la théorie du _corps de

classes,

il

_s’agit

de _congruences. Nous informons que maintes vérifications ont été

faites sur ordinateur

grâce

en

particulier

aux variables du

_système

infor-matique

Pari. De

_plus,

toutes les démonstrations sont

_disponibles

pour le

lecteur

_curieux,

elles sont du même

_type

que celle fournie pour le cas dit 8

de K =

Q(,/2-,

THÉORÈME 2. Les _corps

_{biquadratiques}

_{Q( y’m,}

_i)

et leurs _sous-corps

quadra-tiques

réels k = _et

_imaginaires

k* =

~(~)

donnant lieu à _un

2-noyau

hilbertien. trivial sont les suivants: .’

Rappelons

que

H2~

et sont triviaux

(cf.

(BT~).

Concernant le noyau modéré en

_respectant

l’ordre des cas

_ci-dessus,

nous avons :

des entiers est donnée par :

En

_{effet, lorsque}

le

_2-Sylow

du _noyau hilbertien est

_nul,

les structures des

2-Sylow

des noyaux

réguliers

et modérés sont données par les

isomorphismes :

Celui de droite est donné _par les

_signatures

et les

_parties

_sauvages des

symboles

de Hilbert.

3.b. Etude des

_Jm).

Ces corps totalement réels

(rappelons

qu’ici

m &#x3E;

₂₎

offrent une

_palette

plus

variée aux conditions

_{arithmétiques regardées}

_compte

tenu du rôle des

signatures.

m

= Il î

est un entier

_impair,

sans facteur

carré,

m &#x3E; 1. ~I~

Comme

précédemment,

une étude

préliminaire

avec la formule des T-classes

ambiges

de

_[Ji]

_(voir

aussi

_§4)

_permet

de sélectionner neufs cas. Nous

énonçons

simultanément les

_principales

conclusions.

PROPOSITION 2. Résultats _pour les _corps

_{biquadratiques}

réels

r2

signifie

ici

rg2(H2K).

Concernant les cas 5 et

_8,

_(*)

_signifie

_que nous

imposons :

« un seul des deux nombres

J2

et 1

+ V2

est norme de K à

k2

= »

_(m

=

41, 73, 89,137, ..., 457, ...),

et

(**)

«

2 + Ui

n’est _pas norme de K à

k2

» ce

_qui

_{arrive par}

_exemple

_pour

_(m

=

7,23,71,...,311,...).

Justification

des résultats annoncés :

_Quelques

_{notations : pu divise} 2 dans

un des _{trois corps}

_quadratiques

_que le contexte

_permet

de

_déterminer,

_13,,

divise 2 dans

_{O K .}

Nous oublions les barres

_qui

_signifient

modulo les carrés dans l’écriture des radicaux kummeriens.

est

_2-régulier

_{(cf introduction)}

et la transmission de cette

pro-priété

à K = _ne

_s’opère

que pour les cas 1 et 3. La valeur

/ _ . rB /... r.::’ ’B

des

_symboles

de Hilbert

_égale

à _{-1 pour} de tels m, la vérification la connaissance des _groupes locaux de

racines de l’unité

_permettent

d’affirmer cela. De

_{façon plus}

_{précise :}

LEMME 3. Soit m &#x3E; 1 un entier

_impair

sans

_facteur

_{carré, K}

=

Q( .J2,

un _corps

_{biquadraiique}

réel.

En

_effet,

la théorie du corps de classes donne =

dimF2’D K.

Les

inégalités

entre et

_dimF2’DK

résultent des différences éventuelles entre les _groupes de racines de l’unité d’ordre

_2-primaire

locales et

_globales

d’après

les définitions

idéliques

de ces radicaux kummériens

(§2.a).

Compte

tenu de la liste de ces _groupes de racines de l’unité suivant les _cas, nous avons ainsi :

(pour

m -

:L3[8],

_{6K -}

VK), (pour

m -

1[8],

_dimF2C!3K

=

+

_{(Ooul)), (pour}

m -

7[8],

_diMF,OK

=

(Ooul)).

Et comme la

_F2-dimension

de

_OK

_égale

ici le

_2-rang

du _noyau hilbertien

(§2.a),

le lemme 3 est montré.

Le lemme 4 suivant a le même but _que le lemme

_3,

à savoir encadrer

rg2(Gal(HK/ZK))

=

dimF2C!3K

_avec des «

_{objets classiques » .}

.

En

_effet,

les éléments

_globaux

_pouvant

_fournir,

à travers leurs écritures

locales,

des

_{générateurs}

de sont les unités et certains

généra-teurs d’idéaux

_(se

_reporter

aux

explications

de la fin du

§2).

Ceci donne

l’inégalité

de droite. Dans un second

_temps,

nous

regardons

ces idèles

principaux

en les localisés de K au dessus de 2.

_Puis,

_par des

_produits

adéquats

entre ces idèles

_principaux,

nous construisons les

_{générateurs}

de

6 K

conformément à sa définition. Le nombre minimal de tels

_{générateurs}

donne

_{l’inégalité}

de

_gauche.

Notons _{que pour} ce lemme

_4,

K est un _corps

de nombres

_quelconque.

Jusqu’à présent,

seules les conclusions relatives aux cas 1 et 3 ont été établies.

_Maintenant,

détaillons les calculs du cas

_8,

les autres se traitent

dans le même

_esprit,

idem _pour les _corps

_{Q (i,}

_/m-).

Cet

_exemple

illustre les calculs

_entrepris

sur tous les autres cas. La

_{majeure partie}

des calculs

idéliques

s’effectue en le ou les localisés de K en les

places

de ,S’ où nous

exploitons

la

_possibilité

de factorisation.

Remarquons

qu’une 22

base

_{multiplicative}

des unités

_principales

n’est _pas

toujours

aussi

_simple

à trouver suivant les cas. Des calculs

_{préliminaires}

avec la formule des classes

_ambiges

montrent _que nous avons ici :

Répertorions

quelques

renseignements numériques :

LEMME 5. Avec les notations

_{précédentes}

nous avons :

des

_phénomènes

_comparables.

Nous

_regardons

maintenant les écritures locales des éléments intéressants

pour bâtir

Gal(HK/ZK)

(cf §2).

Ici

(le

cas 8 est

_simple),

ce sont

_uniquement

un

système

d’unités fondamentales.

Quant

aux deux autres nombres intervenant

dans OO1K

(7rk

définie modulo

EK),

nous avons :

EXEMPLE. Pour

Nous nous _{apercevons que pour} les valeurs de m de ce cas

_8,

nous pou-vons construire un

_générateur

de

Gal(HKIZK)

en formant l’idèle

_principal

, en

gommant

ses

composantes

relativement aux groupes

J

de racines de l’unité

_puis

en

_extrayant

une racine

2h-ième

_{pour h}

un nombre

résultats

_annonçés

_pour le cas 8 des _corps

Q(Ui,

est achevée.

Les écritures locales des éléments

_susceptibles

de bâtir

OK

suivent des scénarios en

_parties

prévisibles

vus les

impératifs

amenés _par les

2-rangs

connus des _groupes

Clx,

Clx,

CIK.

Néanmoins,

les nombres utilisent

tous les

_degrés

de liberté

_possibles

laissés _par le fait que ce seul

_type

de

renseignements

donnés par des

objets

liés aux valuations ordinaires est

in-sufhsant.

_Ainsi,

il _y a

_{plusieurs possibilités parfois}

(voir

les

résultats);

la

spécificité

des _corps

_{biquadratiques, principalement}

allure de leurs

_Z2-bases

multiplicatives

des unités

_principales

des localisés en

2,

contrôle de la prove-nance des

unités,

_permet

de conclure. Ceci

justifie

la vision des radicaux

selon le

_§2,

en utilisant la structure

_{multiplicative}

d’un _corps local mais mal-heureusement des cas amènent des calculs

plus compliqués,

il est

prudent

de _programmer

_{informatiquement}

_pour éclaircir ces

_problèmes.

Le

_système

Pari, originaire

de

_Bordeaux,

offre l’utilisation de variables

_adaptées

à de tels

_problèmes,

en

_particulier

des entiers extrêmement

grands.

Cet

_aspect

important

pour la vérification ne sera _pas abordé ici car

_trop

long

à décrire.

Avec ce cas

8,

nous visualisons aisément la structure

_galoisienne

des

unités

_qui

est l’un des

_arguments

utilisés _par Brumer pour établir la validité de la

_conjecture

de

_Leopoldt

dans le cas absolument abélien.

4. Familles

_{d’arguments}

utilisées au cours de cette recherche effective

Comme le lecteur a _pu s’en

apercevoir,

le travail est

technique.

Il

s’agit

de théorie du _corps de classes effective avec le calcul du

_2-rang

de

Gal(HKIZK)

et le maître mot est _congruence

_(ou

écriture

_locale).

Nos

investigations

utilisent

_{principalement}

des théories et résultats _que nous

citons maintenant.

Pour obtenir les

_2-rangs

des _groupes de classes

nous utilisons la formule des T-classes

_ambiges

de

[Ji]

relativement à une

extension

_cyclique

K d’un _corps de nombres k :

où

_Tf

_désigne

les

_places

finies de k

_{qui appartiennent}

à

_T,

celles des

_places

réelles de k mises dans T

_qui

se

complexifient

dans K.

E5

désigne

les T-unités.

Les calculs des différents facteurs intervenant dans la formule des classes

ambiges

sont locaux et interviennent le

principe

de

_Hasse,

la formule du

produit

pour les

symboles

de Hilbert

(la

loi de

réciprocité

dans le cadre

d’extensions

_{kummeriennes),}

des calculs de congruences. Le rôle de k est

La théorie du _corps de classes

_proprement

dite est

_{omniprésente,}

en

par-ticulier les lien entre le

_2-rang

de certains _groupes de classes

_qui

sont des

groupes de Galois et les

F2-dimensions

des radicaux kummeriens

correspon-dants.

Nous utilisons la

_{spécificité}

des corps

biquadratiques,

une

_partie

des

calculs se ramenant aux _sous-corps

quadratiques.

Mais comme le

_premier

est

_2,

des

_{phénomènes perturbateurs}

_empêchent

de tout déduire de calculs dans les sous-corps

quadratiques.

Où l’on

_{s’aperçoit}

_que l’on a besoin de formules

explicites

de

symboles

de Hilbert _sauvage, c’est à dire relatives à la

_{partie 2-primaire}

aux

places

divisant 2. La

_partie

modéré d’un

_symbole

de Hilbert est

_analogue

à l’action d’un Frobenius mais la

_partie

sauvage est

_{beaucoup plus}

délicate. Dans les travaux

_{préliminaires}

avec les _sous-corps

_{quadratiques,}

nous avons

trouvé de telles formules en étudiant le

_plongement

kummerien dans une

Z2-extension

d’un _corps

_quadratique

_{(imaginaire).}

Ces travaux ont été

effectués dans le cadre de la thèse de de l’auteur mais sont

_trop

_longs

pour être

rappellés

ici. Le

type

de formule trouvée est le _{suivant : pour}

-m =

_14[16],

_{~2(~) _}

_puis

nous choisissons

Q2( ae)X =

(-1)(1

+

v14Yl2(1

+2) Z2 14 .

pii

représente

l’idéal de la valuation dans

Q2 ( ùù)

et nous

calculons,

_grâce

aux travaux

_{précédement évoqués :}

Nous factorisons dans un _corps local en

privilégiant

sa structure

mul-tiplicative,

et _pour cela nous fixons une forme

explicite

d’une

Z2-base

des

unités

_principales.

Nous utilisons ainsi

_pleinement

la

_possibilité

de rendre la théorie du corps de classes

effective,

le 2-adifié du groupe des idèles construit par J.-F.Jaulent se révélant

_{particulièrement}

bien

_adapté

_ici,

surtout avec

la notion « localement

_partout

_plongeable

»

_qui

se marie bien avec une

description

idélique

du groupe de Galois

Gad(Hx/ZK).

Au

§3

se trouve

déjà

un _corps local « factorisé » . . Un autre

exemple :

pour m -

1[8]

et

K =

i),

il vient :

Notons _que les écritures locales des éléments

_{globaux regardés}

sont en

parties

prévisibles

compte

tenu de leurs normes

_absolues,

mais aucun

se

complique

et il nous faut utiliser les différences fines issues des

_signatures

entre certains radicaux kummeriens.

5.

_Remarques

sur la transmission de «

rg2 (H2k)

= 0 » à des

ex-tensions K de k

Soit k avec

rg2(H2k)

=

0,

_{ce que nous}

appelons

avoir la

propriété

(sdse) (sans

2-symbole

exotique).

Quelles

sont les extensions K de k

_qui

bénéficient de

_{(sdse) ?}

PROPOSITION 3. Si F est une extension de k de

degré

_impair,

vérifiant la

conjecture

de

_Leopoldt

_{en 2,}

les

_composantes

_cycliques

de

_Gal(HkIZk)

se

conservent dans

_Gal(HF/ZF).

ï e dans

JK ,

nous aurions un idèle

_principal

.If

_{avec t)} E

_JK

o ’

et 3

E

_{Jk qui}

_{appartiendrait}

à sans être dans

l’image

de

JLK(2)

q3

dans La

_conjecture

de

_Leopoldt

étant valide

_{pour K}

_(et

_pour

_k),

ceci

ne

_peut

se réaliser _que si

_y2

=

~2n ~ z

où _y

correspond à t)

et z à _{3, avec}

~2n E

~CK(2).

Mais

_{~K : k]}

ne serait

_plus

_impair.

Dans la

_suite,

nous

_regardons

seulement le cas où K = _E k.

Comme nous le

rappelons

dans

l’introduction,

le

problème

de la

trans-mission de la

_{2-régularité}

_(i.e.

de la trivialité de

_rg2(R2k))

est

_{complètement}

résolu _par les travaux de

_[GJ]

et

_[MN].

Des chercheurs

_(voir

début du

_§3)

ont résolu le

_problème

de la transmission de la «

_{2-régularité}

» . . Cette

propriété

se traduit _{ici par} les conditions

_{équivalentes}

suivantes :

(iv)

K n’a

_qu’un

idéal

_premier,

au dessus de

_2,

CLK(2) _ (c~n))(2)

et les S-unités réalisent toutes les

_signatures.

Pour la

_propriété

_(sdse),

des

_{phénomènes plus}

fins localement sont à

regarder.

On

_peut

voir en

particulier

_que ce n’est

plus

une

propriété

héréditaire

_(si

un _corps la

possède,

il n’en est _pas forcément de même

pour les

sous-corps).

Rappelons qu’interviennent

dans son

_expression

les

écritures locales en 2 d’un

système

d’unités fondamentales de K et de

générateurs

d’idéaux en

_rapport

avec

ClK(2)

(§2),

ceci modulo les carrés locaux. Notons _que si nous

possédons

ces

_{renseignements,}

il nous est

alors

_possible

de vérifier

_{numériquement}

la

_conjecture

de

_Leopoldt

dans le

_{corps K}

_pour le

_{premier 2, qu’entraine}

la

_propriété

_(sdse).

Bien

en-tendu,

les

_couples

_{{l~, ,K)}

avec même nombre de Dirichlet

(ceci

n’arrive _que

si K = _{x E}

kx,

K tot.

complexe

et k tot.

réel)

voire mêmes unités

sont ceux dont l’étude est la

_plus

aisée.

Pour illustrer ces _propos, nous avons traité

l’exemple

des _corps l~ = , où m est comme au

§3.

PROPOSITION 4. Résultats _pour les _corps

_{imaginaires J}

où

_(*)

_signifie

_que nous

_{imposons la}

condition 2 +

V2 fi;

NOTA. Dans le cas 3 et 4 ci-dessus la

_2-partie

du _n-noyau modérée

_K20K)(2)

est

_engendrée

_par le

_{symbole - 1, 1 +}

Justifications

de ces résultats : _pour les cas 1 et

_2,

il est aisé de voir

_grâce

à la formule des classes

_ambiges

citée au

§5

_que 1~ transmet sa

_{2-régularité}

à K. Les autres cas amènent des calculs

_analogues

à ceux décrits au

_§4

mais

_grandement

facilités _par la

_persistance

de 1 +

V2

à être encore l’unité

fondamentale de K.

De

_plus,

notons que pour les cas 4 à

_{6, CI K ) C4 ~ C2.}

En restant dans ces cas

_{particuliers:}

LEMME 6. Soient comme ci-dessus K et k avec le même norrzbre de i=r

Dirichlet noté r. Ecrivons

Ek =

Supposons

de

_plus

(êi)PII

E

i=i

(kI)8

pour _P

chaque

Pu _pu

2.

2.

0 On a o alors

rg2 (H2K) &#x3E;

-

r

(et

dede

même _pour

_1),

avec

égalité

à

gauche

sous la

conjecture

de

Leopoldt.

Preuve. De telles écritures locales d’un

système

d’unités fondamentales

font

_apparaître

autant de

_composantes

_cycliques

dans le _groupe de Galois

Les

_espoirs

de ne _{pas traiter que} des cas

_particuliers

(cf

lemme

₅₎

_lorsque

l’on ne s’autorise _que des calculs dans k sont minces. Les

_arguments

« traditionnels » à base de théorie du _corps de

_classes,

de classes d’idéaux

ambiges

ne fournissent

qu’une première

approximation

en nous

_indiquant

si

une extension K = de J~

_ayant

(sdse)

ou n’en étant _pas

_trop

_éloignée

est

_susceptible

de

_posséder

cette

_propriété

_(sdse).

_Après

ce

_travail,

en toute

généralité,

nous ne _{proposons pas} d’alternative à l’action de travailler dans

K _pour vérifier

_{numériquement}

la

_conjecture

de

_Leopoldt,

_pour calculer des dimensions de radicaux kummériens tels

_{(8 K ,}

RÉFÉRENCES.

[BT]

H. Bass and J. _Tate, The Milnor _{ring of} a global field, (with an _{appendix by}

J. _Tate), in _{Algebraic K-theory} II. Lecture Notes in _Mathematics, 342, Springer-Verlag, 1973. _{Berlin-Heidelberg-New} York.

[BP]

F. Bertrandias et J.-J. Payan, 0393-extensions et invariants _{cyclotomiques,} Ann. scient. Éc. Norm. _Sup. 5 _(1972), 517-548.

[BS]

J. Browkin and A. Schinzel, On _{Sylow 2-subgroups of K2OF for quadratic} number

fields F, J. reine angew. Math. 331 (1982), 104-113.

[Br]

A. Brumer, On the units of algebraic number field, Mathematika 14 _(1967), 121-124.

[Co]

J. Coates, p-adic L-functions and Iwasawa theory, in Durham _symposium in

al-gebraic number field, (A. Frôlich _editor), Academic Press, 1977. New York, London.

[CH]

P.E. Conner and J. _Hurrelbrink, A _comparison theorem _for the 2-rank of K2D, Contemporary Mathematics 55, Part II _(1986), 411-420.

[Ga]

H. Garland, A _finiteness theorem _for K2 of a number field, Annals of Math. 94

(1971), 534-548.

[Gi]

R. Gillard, Formulations de la _conjecture de _Leopoldt et étude d’une condition

suffisante, Abh. Math. Sem. _Hambourg 48 _(1979), 125-138.

[G1]

G. _{Gras, Groupe} de Galois de la _p-extension abélienne _p-ramifiée maximale d’un

corps de nombres, J. reine angew. Math. 333

(1982),

86-132.

[G2]

G. Gras, Plongements kummeriens dans les _{Zp-extensions, Compositio} Math. 55

(1985), 383-396.

[GJ]

G. Gras et J.-F. Jaulent, Sur les corps de nombres réguliers, Math. Z. 202

(1989),

343-365.

[J1]

J.-F. _{Jaulent, L’arithmétique} des _{l-extensions, (thèse)} Pub. Math. Fac. Sci.

Be-sançon, Théor. Nombres 1984-1985 &#x26; 1985-1986 (1986), 1-348.

[J2]

J.-F. _Jaulent, Sur les _conjectures de _Leopoldt et _Gross, in Journées _{arithmétiques} de _Besançon, Astérisque 147-148 _(1987), 107-120.

[J3]

J.-F. _Jaulent, La théorie de Kummer et le K2 des corps de nombres, J. Théor.

Nombres Bordeaux 6 _(1994).

[J4]

J.-F. Jaulent, Sur le noyau sauvage des corps de nombres, Acta Arith. 67 (1994),

335-348.

[KC]

K. Kramer et A. _Candiotti, On K2 and _Zl- extensions _of numbers fields, Amer. J. Math. 100 _(1978), 177-196.

[Ma]

H. Matsumoto, Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés,

Ann. scient. Éc. Norm. _Sup. 4 2 _(1969), 1-62.

[MN]

A. Movahhedi &#x26; T. _{Nguyen Quang Do,} Sur l’arithmétique des corps de nombres

p-rationnels, Sém. Th. des Nbres Paris _{(1987/1988), Prog.} Math. 102 _(1990), 155-197.

[Ti]

J. Tate, Symbols in _arithmetics, Actes _Congrès intern. _math., Tome 1 _(1970),

201-211.

[T2]

J. Tate, Relation between K2 and Galois _cohomology, Invent. Math. 36 _(1976),

257-274.

[Th]

H. _Thomas, Premier étage d’une _{Zl-extension, Manuscripta} Math. 81 _(1993),

413-435.

[Wh]

K.S. _{Williams, Integers of biquadratic fields,} Canad. Math. Bull. 13 _(1970),

519-528.

[Wi]

A. _Wiles, The Iwasawa _{conjecture for totally} real _fields, Annals of Math. 131

(1990), 493-540.

Hervé THOMAS

Centre de Recherche en _{Mathématiques} de Bordeaux

Université de Bordeaux 1

351 , cours de la Libération 33405 Talence Cedex, France.