Topologie et Géométrie

L. F ^LAMINIO

Topologie et Géométrie

A.A. 2014-2015

22 décembre 2014

Table des matières

Partie I Topologie

1 Topologie . . . 3

1.1 Topologie quotient. . . 3

1.2 Groupes topologiques. . . 7

1.2.1 Groupes topologiques localement compacts . . . 9

1.3 Actions continues de groupes topologiques. . . 10

1.3.1 Définitions . . . 10

1.3.2 Sous-groupe de stabilité. . . 12

1.3.3 Actions propres.. . . 13

1.4 Annexe : Sommaire de topologie . . . 15

1.4.1 Définitions fondamentales. . . 16

1.4.2 Topologie induite . . . 17

1.4.3 Topologie produit. . . 18

1.4.4 Propriétés fondamentales des espaces topologiques. . . 19

1.4.5 Compacité dans les espaces métriques . . . 26

1.4.6 Filtres, d’après Bourbaki. . . 27

2 Relèvements . . . 33

2.1 Homotopies, Chemins. . . 33

2.1.1 Le groupe fondamentale. . . 34

2.2 Relèvements. . . 36

2.2.1 Espaces localement connexes par arcs. . . 36

2.2.2 Définition de revêtement . . . 36

2.2.3 Relèvements des applications. . . 38

2.2.4 Revêtements universels. . . 43

2.2.5 Existence de relèvements. . . 45

2.2.6 Classification des revêtements . . . 46

2.2.7 Action du groupe d’automorphismes d’un revêtement. . . . 49

2.2.8 Revêtements galoisiens. . . 50

v

3 Variétés . . . 53

3.1 Notions de géométrie différentielle. . . 53

3.1.1 Variétés topologiques. . . 53

3.2 Variétés différentielles. . . 54

3.2.1 Exemples. . . 56

3.2.2 Exemples. . . 56

3.3 Applications différentiables. . . 60

3.4 Variétés différentielles et revêtements . . . 60

4 Géométrie elliptique. . . 61

4.1 Les quotients des sphères de dimension 2n.. . . 61

4.2 Pavages deS². . . 61

4.2.1 Le groupeDn . . . 62

4.2.2 Le groupe tetraédralT. . . 63

4.2.3 Le groupe octaédralO . . . 64

4.2.4 Le groupe icosaédralI . . . 65

4.3 Annexe : Un peu de théorie des groupes . . . 69

4.3.1 Produits semi-direct de groupes. . . 69

4.3.2 Exemples notables de produits semi-directs. . . 71

5 La géométrie au plat pays . . . 77

5.1 Préliminaires . . . 77

5.2 Sous-groupes d’isométries. . . 79

5.3 Réseaux deRⁿ . . . 80

5.4 Les théorèmes de Bieberbach. . . 82

Index. . . 87

Partie I

Topologie

Chapitre 1 Topologie

1.1 Topologie quotient

SoitXun espace topologique fixé dont la topologie (c.-à.d. la famille de parties ouvertes dansX) sera notéeτX. Soitf:X→Y une fonction. Alors la famille

τY :={E⊂Y|f⁻¹(E)∈τX} (1.1) est une topologie surY qui rendf continue. De plus siτest une autre topologie surY pour laquelle f: (X,τX)→(Y,τ) est continue alorsτ⊂τY : en effetE∈τ impliquef⁻¹E∈τXet doncE∈τY. Réciproquement siτest une autre topologie surY telle queτY ⊊τalors il existeE∈τtel que f⁻¹(E) n’est pas ouvert dans X. En conclusionτY définie ci dessus estla plus fortetopologie surY qui rend l’applicationf continue.

La topologieτY définie par la formule (1.1) est ditel’image (directe) de la topo- logie de X par f outopologie finale.

La topologie image directe est caractérisée par le théorème suivant :

Théorème 1.1.1.Soit f:X→Y une fonction de l’espace topologique(X,τX)dans un ensemble Y ; notonsτY la l’image directe de topologie de X par f .

Une application g: (Y,τY)→(Z,τZ)est continue si et seulement si l’applica- tion composée g◦f: (X,τX)→(Z,τZ)est continue.

Preuve. Puisque f: (X,τX)→(Y,τY) est continue, si g: (Y,τY)→(Z,τZ) est continue, il est ainsi deg◦f : (X,τX)→(Z,τZ).

Supposons donc queg◦f: (X,τX)→ (Z,τZ) soit continue. Alors pour tout ouvertEdeZnous avons que l’ensemble (g◦f)⁻¹E=f⁻¹g⁻¹Eest ouvert dansX; par définition cela signifieg⁻¹E∈τY, ce qui montre quegest continue.

Théorème 1.1.2.Soit f:X→Y une fonction de X , espace topologique de topolo- gieτX, dans un ensemble Y ; supposons queτest une topologie sur T telle que :

1. l’application f: (X,τX)→(Y,τ)est continue ;

3

2. pour toute application g:Y →Z , si la fonction composée g◦f: (X,τX)→ (Z,τZ)est continue, alors g: (Y,τ)→(Z,τZ)est continue.

Alorsτcoïncide avec l’image directe par f de la topologieτX.

Preuve. NotonsτY la topologie image directe par f de la topologieτX. Nous avons déjà remarqué que toute topologieτsurY pour laquelle l’affirmation (1) ci-dessus est vraie est plus faible de la topologieτY, c-à-d.τ⊂τY.

Soit (Z,τZ)=(Y,τY) et soitg: (Y,τ)→(Y,τY) avecgl’application identique deY dans lui-même. Puisque l’applicationg◦f: (X,τX)→(Y,τY) est continue la condition (2) ci-dessus implique que la fonctiong: (Y,τ)→(Y,τY) est continue, c.-à.d. que la topologieτest plus forte de la topologieτY.

En conclusion, on aτ=τY.

SoitRune relation d’équivalence sur un ensembleX. On écritxRysixety sont équivalent ou simplementx∼y lorsque il n’y a pas d’ambiguïté. La classe d’équivalence dex∈X est notée [x]_Rou [x]. L’espace quotient X/R est l’en- semble des classes d’équivalence. La projection canoniquep:X→X/Rassocie à chaque pointxdeXsa classe d’équivalence [x]_R.

SoitX un espace topologique,Rune relation d’équivalence surX etp:X→ X/Rla projection canonique. La topologie image directe parpde la topologie de Xest une topologie surX/Rditetopologie quotient. On summarise cette discus- sion dans la définition suivante.

Définition 1.1.3.SoitXun espace topologique etRune relation d’équivalence surX. NotonsX/Rl’espace quotient etp:X→X/Rla projection canonique. La topologie quotient sur X/Rest la plus forte topologie surX/Rqui rend l’appli- cationpcontinue, c’est-à dire la famille

τX/R:={U⊂X/R|p⁻¹(U) ouvert dansX}.

Dorénavant l’espaceX/R, quotient d’un espace topologiqueXpar une rela- tion d’équivalenceR, sera toujours muni de la topologie quotient.

Rappelons que si R est une relation d’équivalence sur un ensemble X et f: X →Y est une fonction sur X, on dit que l’application f passe au quo- tient X/R sixRy implique que f(x)=f(y), autrement dit si f est constante sur chaque classe d’équivalence. Dans ce cas on définitl’application quotient f˜:X/R→Y par ˜f([x]_R)=f(x). En d’autres mots, une application f: X →Y passe au quotientX/Rsi et seulement s’il existe une application ˜f:X/R→Y telle quef =f˜◦p, oùpdésigne la projection canoniquep:X→X/R.

Le Théorème1.1.1nous donne alors le résultat suivant.

Théorème 1.1.4.Soient X et Y deux espaces topologiques,Rune relation d’équi- valence sur X et f:X→Y une application qui passe au quotient X/R. Alors l’ap- plication f:X→Y est continue si et seulement si l’application quotientf˜:X/R→ Y l’est.

La topologie quotient est rarement une bonne topologie.

À illustration de cela, considérons la relation d’équivalence surRdéfinie par x∼y si et seulement six−y ∈Q, (la droite réelle étant munie de la topologie ordinaire). L’espace quotient, qui d’habitude est notéR/Q, n’est pas séparé. En effet siU etV sont deux voisinages ouverts de deux points distincts [x] et [y] deR/Qleurs pré-imageU^′etV^′dansRsont ouvertes (par définition) et denses (car il contiennent respectivement les ensemblex+Qety+Qqui sont denses dansR) ; doncU^′etV^′ont une intersection non vide ce qui implique queUetV se rencontrent.

Une condition nécessaire pour que l’espace quotient soit sépare est la sui- vante. Rappelons que legraphe d’une relation d’équivalenceR, définie sur un ensembleX, est le sous-ensemble deX×Xdonné par

Γ(R)={(x,y)∈X×X|xRy}.

Proposition 1.1.5.Si la topologie quotient sur X/Rest séparée alors le graphe de la relation d’équivalenceRest un sous-ensemble fermé de X×X .

Preuve. On écrirax∼y pour signifier quexety sont points équivalents deX pour la relationR. Montrons que si X/R est séparé alors le complémentaire Γ(R)^cdu graphe deRest ouvert dansX×X.

Six̸∼y il existe dansX/Rdeux ouverts disjointsUetV voisinages respec- tivement de [x] et [y]. SoientU^′=p⁻¹(U) etV^′=p⁻¹(V) les pré-images dansX deU etV via la projection canoniquep:X →X/R. L’ensembleU^′×V^′est un voisinage ouvert de (x,y) dansX×X. Si (x^′,y^′)∈U^′×V^′alors [x^′]∈Uet [y^′]∈V et donc on a [x^′]̸=[y^′] carU etV sont disjoints. Ceci équivaut à direx^′̸∼y^′ou bien (x^′,y^′)∈Γ(R)^c. DoncU^′×V^′est un voisinage ouvert de (x,y) dansX×X contenu dansΓ(R)^c, ce qui prouve queΓ(R)^cest ouvert et termine la preuve. ⊓⊔ Le théorème suivant montre que l’hypothèse que le graphe d’une relation d’équivalenceRsoit entraîne une propriété de séparation faible de l’espace quo- tient, c’est-à dire que les singletons de l’espace quotientX/Rsont fermés.

Théorème 1.1.6.Soit X un espace topologique et soitRune relation d’équivalence sur X avec graphe fermé dans X×X . Alors les classes d’équivalence[x], x∈X , sont fermées. Par conséquent, les singletons de l’espace quotient X/Rsont fermés.

Preuve. Soientxun point deX ety un point de l’adhérence [x]. SoitU×V un voisinage de (x,y) dansX×X. Puisquey ∈[x] il existe un point y^′tel quey^′∈ V∩[x]. Alors (x,y^′)∈Γ(R) ce qui implique (x,y^′)∈(U×V)∩Γ(R)̸= ;. Donc (x,y) est adhérent àΓ(R). Le grapheΓ(R) étant fermé on conclut quey∈[x]. ⊓⊔ Avec des hypothèses beaucoup plus fortes des celles ci-dessus on peut néan- moins obtenir une réciproque partielle de la Proposition1.1.5.

Définition 1.1.7.Une relation d’équivalence sur un espace topologique X est diteouverte(respectivementfermée) si la projection canonique est une applica- tion ouverte (respectivement fermée).

Définition 1.1.8.Un sous-ensemble A⊂X est ditsaturé par la relation d’équi- valenceRsurX s’il est une réunion de classes d’équivalence. Autrement dit, si p:X→X/Rdésigne la projection canonique, un ensembleA⊂Xest saturé s’il existeB⊂X/Rtel queA=p⁻¹(B). Lesaturé d’un ensemble A⊂Xest l’ensemble [A]=p⁻¹(p(A)).

Lemme 1.1.9.Soient A,B⊂X tel que A est saturé et A∩B= ;. Alors A∩[B]= ;.

Preuve. Six∈A∩[B] alors il existey∈Btel quex∼y. PuisqueAest saturé,x∈A etx∼yimpliquent quey∈A. DoncA∩B̸= ;. ⊓⊔

Évidemment l’espace quotientX/Rest séparé si et seulement si pour toutx,y∈ Xavecx̸∼yil existe deux ouverts disjoints et saturés, voisinages respectivement dexety.

Théorème 1.1.10.SoitRune relation d’équivalence sur un espace topologique X dont le graphe est fermé dans X×X . Supposons que l’une des conditions suivantes soit vérifiée :

1. La relationRest ouverte ; 2. L’espace X est compact et séparé.

Alors l’espace quotient X/Rest séparé ;

Preuve. (1) Supposons que l’application quotientp:X →X/Rsoit ouverte et que le grapheΓ(R) deRsoit fermé dansX×X. Six̸∼y on a (x,y)̸∈Γ(R), et puisqueΓ(R) est fermé il existe deux voisinages ouvertsUetV dexetytels que x^′̸∼y^′pour tout point (x^′,y^′)∈U×V. Les imagesp(U) etp(V) deU etV dans X/Rsont alors deux ouverts disjoints, voisinages respectivement de [x]=p(x) et de [y]=p(y). DoncX/Rest séparé.

(2) Supposons que l’espace X soit compact et que grapheΓ(R) soit fermé dans X×X et donc compact. Soientu,v ∈X/Rtels que u ̸=v. Par le Théo- rème1.1.6les classes d’équivalenceC1=p⁻¹({u}) etC2=p⁻¹({q}) sont fermées dansXet disjointes. Donc il existe deux ouverts disjointU⊂X etV ⊂X, voisi- nages respectivement des ensembles fermésp⁻¹({u}) etp⁻¹({q}) (car tout espace compact séparé est normal).

SoientU^′=X\p⁻¹(p(X\U)) etV^′=X\p⁻¹(p(X\V)). Les ensemblesU^′et V^′ sont saturés et contenus respectivement dansU etV, donc disjoints. Pour conclure la preuve il suffit de démontrer qu’il sont deux voisinages ouverts res- pectivement deC1etC2.

Pour montrer qu’ils sont ouverts il suffit de vérifier que siF ⊂X est fermé alors le saturé deF est fermé. Or, siP2: (x,y)∈X×X 7→y∈X désigne la pro- jection sur la deuxième coordonnée, le saturé deF est donné parp⁻¹(p(F))= P2

((F×X)∩Γ(R))

(en effetp⁻¹(p(F)) est l’ensemble desy∈X tels qu’il existe

x∈Favec (x,y)∈Γ(R)). PuisqueF×XetΓ(R) sont compacts, il en est de même des ensembles (F×X)∩Γ(R) etP2

((F×X)∩Γ(R))

carP2est continue. En conclu- sionp⁻¹(p(F)) est compact et donc fermé.

Il reste à vérifier queC1⊂U^′etC2⊂V^′. Or, puisqueC1est saturé et disjoint de X\U, par le Lemme1.1.9on aC1∩[X\U], c’est-à direC1⊂U^′. De même C2⊂V^′. ⊓⊔

1.2 Groupes topologiques

Pour un groupeGon noteeGl’élément neutre deG.

Définition 1.2.1.Ungroupe topologiqueest un groupeGmuni d’une topologie τG satisfaisant les conditions suivantes :

1. La topologieτGest séparée.

2. Les applications (g,h)∈G²7→g h∈G etg∈G7→g⁻¹∈G sont continues.

Il est facile de voir que les deux applications de l’axiome 2 ci-dessus sont conti- nues si et seulement si l’application (g,h)∈G²7→g h⁻¹∈G est continue.

Exemple 1.2.2.Tout groupe muni de la topologie discrète est un groupe topolo- gique.

Exemple 1.2.3.Tout sous-groupe de GL(n,F), avecF=RouC, est un groupe to- pologique pour la topologie induite deFⁿ².

Exemple 1.2.4.Le groupe quotientR/Qmuni de la topologie quotient n’est pas un groupe topologique car il n’est pas séparé.

Il suit de la définition que pour un groupe topologiqueG et touth ∈G les applicationsLh:g∈G7→hg,Rh:g∈G7→g hetCh:g∈G7→hg h⁻¹sont des ho- méomorphismes deG. Il sont dits respectivement latranslation à gauche par h, latranslation à droite par het laconjugaison par h. Une conséquence facile de cela est le lemme suivant.

Lemme 1.2.5.Dans un groupe topologique G les voisinages de g∈G sont donnés par les ensembles g V (ou bien V g ), où V est un voisinage de l’élément neutre eG

de G.

Tout sous-groupeH d’un groupe topologiqueG est un groupe topologique pour la topologie induite surHparG. En plus on a

Proposition 1.2.6.Soit H un sous-groupe d’un groupe topologique G. L’adhérence de H est un sous-groupe de G. Si H est distingué dans G l’adhérence H est sous- groupe distingué de G.

Preuve. Il suffit de montrer que sig∈Heth∈Halorsg h⁻¹∈H. Par la continuité de l’application (g1,h1)∈G×G→g1h₁⁻¹∈G, pour tout voisinageV deg h⁻¹il existe un voisinageV1deg et un voisinageV2dehtel queg1h⁻¹₁ ∈V pour tout (g1,h1)∈V1×V2. Puisqueg∈Heth∈Hil existeg1∈V1∩Heth1∈V2∩H. Donc g1h₁⁻¹∈V∩H̸= ;, ce qui démontre queg h⁻¹∈H.

Supposons queHsoit distingué dansG. Puisque pour toutg∈Gla conjuga- tionh∈G7→g hg⁻¹∈Gest un homéomorphisme deG, on a, pour toutg ∈G, g H g⁻¹=g H g⁻¹=H, ce qui démontre queHest distingué dansG. ⊓⊔

Rappelons que, siHest un sous-groupe d’un groupeG, la relation définie par x∼y ⇐⇒ y⁻¹x∈Hest une relation d’équivalence surG. La classe d’équivalence de g ∈G par cette relation est l’ensembleg H={g h|h∈H} est dite la classe à gauche de g suivant H. L’ensemble quotient de cette relation d’équivalence, l’ensemble classes à gauche suivantHde tous les éléments deG, est notéG/H. La définition declasse à droite suivant Hest similaire et l’ensemble classes à droite H gsuivantHest notéH\G.

Proposition 1.2.7.Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G. On muni G/H de la topologie quotient. L’application quotient p:G→G/H est ou- verte.

Preuve. SoitUun ouvert deG; il faut montrer quep(U) est ouvert, ce qui équi- vaut à montrer quep⁻¹(

p(U))

est ouvert dansG. Orp(U)={g H∈G/H|g∈U} d’oùp⁻¹(

p(U))

={g h∈G|g∈U,h∈H}=∪

x∈HU x; puisqueU xest ouvert pour toutx∈Gl’ensemblep⁻¹(

p(U))

une réunion d’ouverts et donc ouvert. ⊓⊔ Proposition 1.2.8.Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G. Le graphe de la relation de classe à gauche de H dans G est fermé dans G×G si et seulement si H est sous-groupe fermé de G.

Preuve. Le graphe de la relation de classes à gauche deHdansGest la pré-image deHpar l’application (x,y)7→x y⁻¹deG×GdansG. La continuité de cette appli- cation implique que siHest est fermé dansGLe graphe de la relation de classes à gauche est fermé dansG×G.

Si le graphe de la relation de classes à gauche deHdansGest fermé dansG×G alors la classe de l’élément neutre est H; elle est fermée dansGpar le Théo- rème1.1.6. ⊓⊔

Théorème 1.2.9.Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G. La to- pologie quotient sur G/H est séparée si et seulement si H est sous-groupe fermé de G.

Preuve. SiHest est fermé dansGpar les Propositions1.2.7et1.2.8l’application quotient est ouverte et la relation de classes à gauche deHdansGa un graphe fermé dansG×G. Par le Théorème1.1.10la topologie quotient surG/Hest sépa- rée.

Si la topologie quotient surG/Hest séparée alors, par la Proposition1.1.5la relation de classes à gauche deHdansGa un graphe fermé. La classe de l’élé- ment neutre estHet elle est fermée dansG. ⊓⊔

Définition 1.2.10.Un sous-groupeΓd’un groupeGest dit discret si la topologie induite parGsurΓest la topologie discrète.

La définition précédente est équivalente à dire que tout singleton deΓest ou- vert et donc que tout élément deΓest un pont isolé.

Lemme 1.2.11.Soit X un espace topologique séparé et A⊂X . Si x∈A et V est un voisinage de x tel que V∩A est un ensemble fini, alors x∈A.

Preuve. Soit {y1, . . . ,yn} :=V∩A\ {x}. Il existe un voisinageW dextel queW∩ {y1, . . . ,yn}= ;carX est séparé. L’ensembleW∩V est un voisinage dex, ce qui implique queW∩V∩A̸= ;, carx∈A. DoncW∩V∩A={x}. ⊓⊔

Théorème 1.2.12.Un sous-groupe discretΓd’un groupe G est fermé.

Preuve. SoitW un voisinage de l’élément neutreeG deGtel queW∩Γ={iG}. Il existe un voisinageVdeiGtel queV⁻¹V⊂W. Supposons queg∈Gsoit adhérent àΓ. Alorsg V∩Γ̸= ;. S’il existe au moins deux points distinctsh1eth2ing V∩Γ on ah₂⁻¹h1∈(V⁻¹V)∩Γ⊂W∩Γ={iG}, une contradiction. Doncg V∩Γest un singleton, ce qui implique, par le lemme, queg∈Γ. ⊓⊔

Corollaire 1.2.13.Si G est un groupe topologique etΓun sous-groupe discret de G alors G/Γ, muni de la topologie quotient, est un espace topologique séparé.

1.2.1 Groupes topologiques localement compacts

La classe de groupes topologiques est trop grande pour être utile. En général on se limite à étudier les groupes topologiquesGlocalement compact.

On rappelle que un espace séparé est localement compact si tout point pos- sède un voisinage compact. Pour un groupe cela revient à dire que l’élément neutre du groupe possède un voisinage compact.

Les sous-groupes fermés deGL(n,R), dits(groupes linéaires), forment une classe importante de groupes topologiques localement compacts. La topologie de ces groupes est induite par la topologie deRⁿ².

Un groupe sous-groupeHdeGL(n,R) est fermé dansGL(n,R) si et seulement s’il est fermé dansRⁿ². SiHest un sous-groupes fermé deGL(n,R), l’élément neutreeHdeHpossède un voisinage ouvertV dansRⁿ²dont l’adhérenceV est compacte (par exemple une boule ouverte). PuisqueH est ferméV∩H est un voisinage ouvert deiHdansH, dont l’adhérence est compacte, car incluse dans l’ensemble compactV∩H. Ceci démontre que les groupes linéaires sont locale- ment compacts.

Comme exemple important de groupes topologiques non localement com- pacts citons celui des espaces de Banach de dimension infinie ; en effet. l’addition muni un tel espace d’une structure de groupe topologique ; un exercice classique montre que un espace de Banach est localement compact si et seulement si sa dimension est finie.

Théorème 1.2.14.Soit G un groupe topologique localement compact et H un sous-groupe fermé de G. La topologie quotient sur G/H est séparée et localement compacte.

Preuve. Que la topologie quotient surG/H soit séparée a été déjà démontré.

SiUest un compact contenant le voisinage ouvertg V deg(l’ensembleV étant un voisinage ouvert de l’élément neutre), son image dansG/H est compacte et contient l’image deg V dansG/H, qui, à son tour, est un voisinage ouvert deg H.

Donc chaque pointg HdeG/Hpossède une base de voisinages compacts.

1.3 Actions continues de groupes topologiques

1.3.1 Définitions

Définition 1.3.1.Uneaction ou opération (à gauche) d’un groupe G sur un en- semble Xest une application

(g,x)∈G×X7→g x∈X (1.2)

telle que pour tout (g,h)∈G×Get toutx∈Xon a (g h)x=g(hx) eteGx=x, où on a notéeGl’élément neutre du groupeG.

L’orbite de x∈Xest l’ensembleG x={g x|g∈G} c’est à dire l’image de l’appli- cation

g∈G7→g x∈X.

Désormais on supposera que X est un espace topologique et queG est un groupe topologique dont l’élément neutre est notéeG.

Définition 1.3.2.Une action ou opération (à gauche) d’un groupe topologiqueG sur un espace topologiqueXest ditecontinue, si l’application

(g,x)∈G×X7→g x∈X

est continue lorsque on muniG×Xde la topologie produit. Dans ce cas on dit aussi queG opère continûmentouagit continûmentsurX.

En particulier siGagit continûment surXpour toutg∈G, l’application Lg:x∈X7→g x∈X,

est un homéomorphisme deXdittranslation par g. L’application

g∈G7→Lg∈Homéo(X)

est un homomorphisme de groupes (l’ensemble Homéo(X) est un groupe pour le produit donné pas la composition des homéomorphismes). Réciproquement

si on se donne un homomorphisme de groupesL:g∈G7→Lg ∈Homéo(X) tel que l’application (g,x)∈G×X7→Lg(x)∈X soit continue, on obtient une action continue deGsurXen définissantg x=Lg(X).

Définition 1.3.3.On dit qu’une action deGsurX esteffectiveoufidèlesig x=x pour toutx∈Ximplique queg=eG. De façon équivalente on peut dire qu’une action deGsurXesteffectiveoufidèlesi le noyau de l’homomorphismeg∈G7→

Lg∈Homéo(X) est trivial.

Si une action continue deGsur un espaceséparé Xn’est pas fidèle l’ensemble G^′={g∈G|g x=x, pour toutx∈X}

est un sous-groupe distingué et fermé deG. L’action du groupeG/G^′donnée par (gG^′)x=g xest bien définie, continue et fidèle. Donc en général on peut supposer qu’une action est fidèle en passant à une action d’un groupe quotient.

Une action d’un groupeGsur un ensembleX détermine une relation d’équi- valence : deux pointsxetysont équivalents si et seulement si ils appartiennent à la même orbite. Donc

x∼y ⇐⇒ ∃g∈Gtel queg x=y.

L’espace quotient par cette relation est dit l’espace des orbitesest notéX/G, si cela ne donne pas lieux des ambiguïtés.

Exemple 1.3.4.On fait opérer le sous-groupeHdeGsurGparh.g=hg, c’est à dire par translations à gauche. Alorsg1∼g2ssi il existeh∈Htel quehg1=g2, autrement dit si et seulement siH g1=H g2. On voit donc que l’espace des orbites est l’espace des classes à droite suivantH, qu’on noteH\G.

Si on fait opérerHsurGpar translations à droite en définissanth.g=g h⁻¹, alors l’espace des orbites sera l’espace des classes à gauche suivantH, notéG/H.

(Rappelons que ces espaces sont séparés si et seulement siHest fermé).

Exemple 1.3.5.On fait opérer le groupeG sur lui-même parh.g =hg h⁻¹, c’est à dire par conjugaisons. L’espace des orbites est donc l’ensemble des classes de conjugaisons deG.

Définition 1.3.6.On dit qu’une action d’un groupeGsurXesttransitivesi l’es- pace des orbites est réduit à un singleton.

En d’autres mots une action deGsurXest transitive si pour (x,y)∈X×Xil existe g∈Gtel quey=g x.

Théorème 1.3.7.La relation d’appartenance à la même orbite est une relation ou- verte.

Preuve. SoitUouvert dansXetp:X→X/Gla projection canonique. Il s’agit de démontrer quep(U) est ouvert, ce que revient à dire que le saturé deU, l’en- semble [U]=p⁻¹(P(U), est ouvert dans X. Or, le saturé deU est l’ensemble

réunion de toutes les orbites des points deU, c’est à dire [U]=∪

g∈GgU =

∪g∈GLg(U). Puisque l’applicationLgest un homéomorphisme deX, l’ensemble Lg(U) est ouvert, quel que soitg∈G. L’ensemble [U] étant une réunion d’ouvert il est ouvert. ⊓⊔

De ce théorème et du Théorème1.1.10on tire que l’espace quotientX/Gest sé- paré si le graphe de la relation d’appartenance à la même orbite est fermé.

1.3.2 Sous-groupe de stabilité

Pour toutx∈Xl’ensemble

Gx={g∈G|g x=x}

est un sous-groupe deGdit lestabilisateur de x, ou lesous-groupe de stabilité de x. Nous le notons également StabG(x).

Définition 1.3.8.On dit queG agit librement sur Xou queG agit sans points fixes sur Xsi pour toutx∈Xle sous-groupe de stabilité dexest trivial.

Évidemment une action libre est fidèle. LorsqueGagit surXsans points fixes pour toutx∈Xl’application

g∈G7→g x∈G x est une bijection deGsur l’orbite dex.

Proposition 1.3.9.Les stabilisateurs d’une action continue d’un groupe topolo- gique G sur un espace topologiqueséparéX sont des sous-groupes fermés de G.

Preuve. Le stabilisateurGxest la pré-image de du singleton {x} par l’application continueg7→g xdeGdansX. Or, le singleton {x} est fermé car par hypothèseX est séparé et la pré-image d’un fermé par une application continue est un fermé.

⊓

⊔

L’applicationg∈G7→g x∈G x passe au quotientG/Gx et nous nous donne une applicationbijectiveetcontinue

gGx∈G/Gx7→g x∈G x. (1.3)

En effet l’égalitég x=hxest vérifiée si et seulement sih⁻¹g∈Gxc’est-à-dire si et seulement sigGx=hGx; cela montre que l’applicationgGx∈G/Gx7→g x∈G x est bien définie et injective. Sa continuité et surjectivité découlent du fait que l’applicationg ∈G7→g x∈G x est continue (voir Théorème1.1.4) et surjective (par définition deG x).

En général, toutefois, l’application(1.3) n’est pas un homéomorphisme (c.-à.d.

l’inverse n’est pas continue).

Exemple 1.3.10.Soit le tore bidimensionnel T²=R²/Z²; on note [x,y]∈T² la classe de (x,y)∈R²moduloZ². Pour toutα∈R, le groupe additifRopère conti- nûment surT²par

t.[x,y]=[x+t,y+αt], t∈R, [x,y]∈T²

Il est une exercice classique montrer que siα∈R\Q, pour tout [x,y]∈T²le stabilisateurR[x.x] de [x,y] est réduit au sous-groupe trivial {0}. Donc, dans ce cas,R/R[x.x]=R; toutefois, pour tout [x,y]∈T², l’application

ϕ:t∈R7→[x+t,y+αt]∈T²

n’est pas un homéomorphisme ! En effet, par le théorème de Dirichlet, pour tout il existe une suitepn/qn ∈Qtelle que|αqn−pn| <1/qn et limqn = +∞. Alors qn.[x,y]=[x+qn,y+αqn]=[x,y+αqn−pn]=[x,y+ϵn] avec|ϵn| <1/qn. Cela montre que limqn.[x,y]=[x,y] ; donc l’application réciproqueϕ⁻¹ n’est pas continue.

1.3.3 Actions propres.

L’exemple ci-dessus suggère que l’obstacle pour que l’application (1.3) soit un homomorphisme réside dans le fait que le pointg xpeut se rapprocher dexpour des éémentsg∈Gtrès ´néloignés˙z deGx. En d’autres mots “l’orbite dexrevient près de elle-même”. Pour cette raison on donne les définitions suivantes.

Définition 1.3.11.SoientXun espace topologique séparé etY un espace topo- logique séparé localement compact. Une applicationcontinuedeX dansY est ditepropresi l’image réciproque de toute partie compacte deY est un compact deX.

Proposition 1.3.12.Soit f une application propre d’un espace topologique séparé X dans un espace topologique séparé localement compact Y . Alors f est fermée et l’image réciproque par f de tout singleton de Y est compacte.

Preuve. Puisque l’espaceY est séparé et localement compact, les singletons deY sont des ensembles compacts. Donc l’image réciproque par f de tout singleton deY est compacte.

SoitF ⊂X fermé et soit y un point adhérent à f(F). Il existe un voisinage compactW de y. On a alorsW∩f(F)̸= ;, car y est adhérent à f(F). L’en- semble f⁻¹(W) est compact car f est propre et fermé car X est séparé. L’en- semble f⁻¹(W)∩F est l’intersection du ferméF et du compact fermé f⁻¹(W) et donc fermé et compact. Cela implique queW∩f(F) est compact carW∩f(F) est l’image directe def⁻¹(W)∩Fparf. En particulierW∩f(F) est fermé, carY est séparé :W∩f(F)=W∩f(F)=W∩f(F). Puisquey∈f(F) on conclut quey appartient àf(F). Doncf(F) est fermé. ⊓⊔

Note :La réciproque de la proposition précédente est vraie aussi.

Définition 1.3.13.On dit que une action d’un groupe topologiqueGsur un es- pace localement compact et séparéXestpropresi pour tout partie compacteK deXl’ensemble

GK={g∈G|g K∩K} est une partie compacte deG.

Il n’est pas difficile de voir que l’ensemble

GK1,K2={g∈G|g K1∩K2} est fermé siK1⊂XetK2⊂Xsont compacts¹.

Lemme 1.3.14.Une action d’un groupe topologique G sur un espace localement compact et séparé X est propre si et seulement si pour toutes les parties compactes K1et K2de X l’ensemble

GK1,K2={g∈G|g K1∩K2} est une partie compacte de G.

Preuve. La suffisance est évidente. Supposons que l’action soit propre et soient K1etK2des compacts deX. AlorsK1∪K2est compact etGK1,K2⊂GK1∪K2. Puisque GK1,K2est un sous-ensemble fermé du compactGK1∪K2, il est compact. ⊓⊔ Une définition équivalente à celle donnée est la suivante : une action d’un groupe topologiqueG sur un espace localement compact et séparéX est propre si et seulement si l’application (g,x)∈G×X7→(g x,x)∈X×Xest propre².

1. Soith∈G adhérant àGK1,K2et soit (g_α)_α∈I une suite généralisée d’éléments deGK1,K2

convergeant versh. Alors pour toutα∈Iil existex_α∈K₂tel queg_α⁻¹x_αappartient àK₁. Par la compacité deK₂, il existe une extraite de la suite généralisée (x_α)_α∈Iqui converge versx∈K₂. On supposera alors que (g_α)_α∈I converge vershet que (x_α)_α∈I converge versx∈K₂. Par la continuité de l’action et de l’inversion dansG, on a que (g_α⁻¹x_α)_α∈Iconverge versh⁻¹x. Puisque K₁est compact etXséparé,K₁est fermé. Cela implique que la limiteh⁻¹xappartient àK₁. En conclusionh∈G_K1,K2.

2. En effet, si l’applicationϕ: (g,x)∈G×X7→(g x,x)∈X×Xest propre, l’image réciproque du compactK×K⊂X×X est compacte et est égale àK^′={(g,x)∈G×X |x∈K,g x∈K}.

L’image par la projection (g,x)∈G×X 7→g∈GdeK^′est l’ensemble {g∈G|g⁻¹K∩K}, qui est donc compact. Par la continuité de l’applicationg∈G7→g⁻¹∈G, on en déduit queG_Kest compact.

Réciproquement si pour tout partie compacteK deX l’ensembleG_K est compact mon- trons que l’applicationϕ: (g,x)∈G×X7→(g x,x)∈X×X est propre. SoitCun compact de X×Xet (g_α,x_α) une suite généralisée deϕ⁻¹(C). Remarquons que puisqueXest séparéϕ⁻¹(C) est fermé. On a alors que (g_αx_α,x_α)∈Cet par compactité il existe une sous-suite générali- sée convergente vers un point (y₁,y₂)∈C. On supposera alors que (g_αx_α,x_α)∈Cconverge vers (y₁,y₂)∈C. SoitK₁un voisinage compact dey₁etK₂un voisinage compact dey₂. On a alors que pour toutαassez grandg_αx_α∈K₁etx_α∈K₂, ce qui implique queg_α⁻¹appartient à l’ensemble compactG_K1,K2. Il existe donc une sous-suite généralisée extraite de (g_α) convergeante vers g∈G_K1,K2. En conclusion il existe une sous-suite généralisée extraite de (g_α,x_α) qui converge.

Cela implique queϕ⁻¹(C) est compact.

Théorème 1.3.15.Soit G un groupe topologique opérant proprement sur un es- pace topologique localement compact séparé X . Alors

1. Les orbites G x, x∈X , sont fermées dans X .

2. Pour tout x∈ X l’application gGx ∈G/Gx 7→g x∈G x est un homéomor- phisme de G/Gxsur G x.

3. L’espace quotient X/G est séparé.

Preuve. 1. Soity̸∈G x. Il suffit de montrer qu’il existe un voisinageV deytel que V∩G x= ;.

SoitW un voisinage compact dey. Alors l’ensembleG0={g∈G|g{x}∩W ̸=

;}={g∈G|g x∈W} est compact. Or,W∩G x=W∩ ∪g∈G0g{x}=W∩G0xest un sous-ensemble compact deW. Puisquey̸∈W∩G xetX est séparé, il existe un voisinageVcontenu dansW tel queV∩G x= ;.

2. Suppose (g_αx) est une suite généralisée convergeant versg x. Il faut mon- trer queg_αGxconverge versgGx. Évidemment (g⁻¹g_αx) converge versx. SoitV un voisinage compact dex. Pour toutαassez grand on ag⁻¹g_αx∈V, et donc g⁻¹g_αV∩V ̸= ;. Il s’ensuit queg_α appartient à un sous-ensemble compact de G, pour toutαassez grand. Soit (g_β) une extraite de la suite généralisée (g_α) qui converge versh∈G. On obtient queg_βGxconverge vershGx. Maisg_βxconverges versg xet vershx. DonchGx=gGx. Puisque cela est vrai pour toute suite extraite (g_β), on a limg_αGx=gGx.

3. Par le Théorèmes1.1.10et1.3.7, il suffit de montrer que le graphe de la re- lation d’appartenance à une même orbite est fermé dansX×X, ou bien que son complémentaire est ouvert. Supposons donc quey̸∈G x. PuisqueG xest fermée (par la partie 1.) il existe un voisinageV dexqui ne rencontre pasG x; ceci équi- vaut à dire que pour toutg ∈G,x̸∈g V, ou bienx̸∈GV ; évidemment on peut supposer queV est compact. SoitW un voisinage de compact dex. L’ensemble GV,W={g∈G|g V∩W ̸= ;} est compact dansG. Donc l’ensembleGV,WV est un sous-ensemble compact deGVet donc fermé (carXest séparé). Puisquex̸∈GV, l’ensembleW^′=W\GV,WV =W\GV est un voisinage dex. Or considérons le voisinageW^′×V de (x,y). Si (x^′,y^′)∈W^′×V on ay^′∈V etx^′∈W\GV, et donc x^′̸∈G y^′. Cela montre que le complémentaire du graphe de la relation est ouvert.

⊓

⊔

1.4 Annexe : Sommaire de topologie

Nous renvoyons le lecteur aux cours élémentaires sur le sujet pour les notions fondamentales de topologie. Ici nous tenons à rappeler brièvement les propriétés fondamentales des espaces que nous considérerons.

1.4.1 Définitions fondamentales

Unetopologiesur un ensembleXest une familleτde parties deX, contenant la partie vide, l’ensembleX, et fermée par rapport aux opérations d’intersection finie et de réunion quelconque. Unespace topologiqueest un couple (X,τ) formé par un ensembleX et une topologieτsurX, mais on écrit simplement « un es- pace topologiqueX», sans indication de la topologie, lorsque cela ne se prête pas à des ambiguïtés.

Les membres d’une topologieτsurX, sont dites lesouvertsde l’espace (X,τ).

Lesparties ferméessont, par définition, les complémentaires des parties ouvertes.

Unvoisinage d’un point x∈X est un ensemble contenant un ouvert auquel xappartient. Un ensembleV est unvoisinage d’un ensemble A⊂Xs’il existe un ensemble ouvertOtel queA⊂O⊂V.

SiA⊂Xl’intérieurdeAest le plus grand ouvertA^◦contenu dansA; l’adhérence deA(oufermeture) est le plus petit ferméAcontenantA. Un pointx∈Aest un point adhérent à A.

Une fonctionf:X→Y entre espaces topologiques estcontinue en un point x∈Xsi la préimage de tout voisinage def(x) est un voisinage dex; elle estconti- nuesi elle est continue en tout pointx∈X; cela revient à dire que la préimage de tout ouvert deY est une partie ouverte deX.

Un exemple de topologie sur un ensemble quelconqueXest latopologie dis- crètepour laquelle toute partie deXest ouverte. Latopologie grossièresurX est la topologie {;,X}.

La topologie usuelle de l’espace euclidien, ou de tout autre espace métrique (X,d), est formée par les parties qui sont des réunions de boules ouvertes. Cette topologie est diteinduite par la distance d.

Unebase pour une topologie sur Xest une familleBde parties deXtelle que tout ouvert de la topologie soit réunion d’ensembles deB.

Pour que une familleBde parties deXsoit une base d’une topologie il faut et il suffit que toute intersection finie d’ensembles deBsoit réunion d’ensembles deB. Il s’ensuit que, siS est une quelconque famille de sous-ensembles deX, la famille

B={∩ℓ i=1

Ui|Ui∈S,ℓ∈N}

est la base d’une topologieτqui est la plus petite topologie contenantS ; on dira alors queτest la topologieengendrée parS.

Une familleV(x) de voisinages dex∈Xest unbase de voisinages de xousys- tème fondamentale de voisinages de x si pour tout voisinage ouvertW dex il existeV ∈V(x) tel queV⊂W.

Une suite (xn) dans une espace topologiqueX converge vers x∈Xsi pour tout voisinageV dexon axn∈V, pour toutn assez grand ; cela revient à dire que l’ensemble d’indices {n∈N|xn̸∈V} est fini, quel que ce soit le voisinageV dex.

Dans ce cas on dira aussi quexest lalimite de la suite(xn) et on écritx=limxn.

Un pointx∈Xest unevaleur d’adhérence³d’une suite (xn) de l’espace topo- logiqueX si pour tout voisinageV dexet pour toutn∈Nil existem>n avec xm∈V; cela revient à dire que l’ensemble {n∈N|x∈V} est infini, quel que ce soit le voisinageV dex.

Évidemment on a :

Proposition 1.4.1.Si la suite(xn)converge vers x alors le point x est une valeur d’adhérence de la suite(xn).

1.4.2 Topologie induite

LorsqueE est une partie non vide d’un espace topologiqueX etUun ouvert deXl’ensembleU∩Eest dit latracedeUsurE. Il est facile de voir que les traces des toutes les parties ouvertes deXsurE, c’est -à dire la famille d’ensembles

τE={U∩E|Uouvert deX},

forment une topologie surE. Cette topologie est dite latopologie induite sur E par la topologie deX. On dira que (E,τE) est unsous-espace⁴de l’espace topolo- gique (X,τ).

Dorénavant nous supposerons que toute partieEd’un espace topologiqueX est munie de la topologie induite surE par la topologie deX. Pour désigner une partieAdeE, ouverte pour la topologie induite, et pour éviter toute confusion avec les parties ouvertes deX, on dira queAestrelativement ouvertou unou- vert relatif. Une terminologie analogue s’applique aux parties fermées, aux voisi- nages, etc. ; on parlera ainsi de partierelativement fermée, ou encore devoisinage relatif, etc.

On laisse au lecteur de vérifier les propriétés assez banales de la topologie in- duite :

Proposition 1.4.2.Si F est une fonction continue définie sur une partieΩ⊂X et E⊂Ωalors la restriction de f à E , qu’on note f_|E, est continue.

L’implication inverse est fausse : la fonction définie par f(x)=x/|x|, pour x∈E=R\ {0}, est continue pour la topologie induite parRsurE, mais tout pro- longement def àRest discontinu en 0∈R.

Proposition 1.4.3.Une suite xn∈E⊂X converge pour la topologie relativeτE si et seulement si la suite(xn)converge pour la topologie de X et x∈E .

Rappelons que une partieEd’un espace topologiqueXest connexe si elle est connexe pour la topologie induite surE.

3. Ne pas confondre les valeur d’adhérence d’une suite avec les points adhérents à un en- semble

4. Ne pas confondre un sous-espace topologique avec un sous-espace vectoriel : ces sont des notions différentes.

1.4.3 Topologie produit

Rappelons que si (Xi)_i∈Iest une famille d’ensembles, indexés par des indices iparcourant un ensembleI, on définit le produitX=∏

i∈IXi comme l’ensemble des fonctionsx:i ∈I7→xi ∈Xi. On note une telle fonction parx=(xi)_i∈I. On définit pourj∈Ila projectionpj:∏

i∈IXi→Xjparpj

((xi)_i∈I)

=xj.

Lorsque l’ensemble des indicesIest fini ànéléments, on peut supposer que I={1, 2, . . . ,n}. On préfère alors utiliser les notations suivantes :

∏

i∈{1,2,...,n}

Xi=X1×X2× ··· ×Xn et (xi)_i∈{1,2,...,n}=(x1,x2, . . . ,xn).

La projectionpj:X1×X2× ··· ×Xn→Xj est notéepj(x1,x2, . . . ,xn)=xj, en sup- primant des parenthèses inutiles.

Lorsque l’ensemble des indices I est infini dénombrable, on aura générale- mentI=Net on parle alors de suites (xi)_i∈N.

Définition 1.4.4.Soit (Xi,τi)_i∈I une famille d’espace topologiques. On munit l’ensembleX=∏

i∈IXide la plus faible topologie surXqui rends les projections pi :X→Xi continues. Muni de cette topologie, dite topologie produit des topo- logie (τi)_i∈I, l’ensembleX devient un espace topologique dit le produit topolo- gique des espaces topologiques (Xi,τi)_i∈I.

Cette définition est rendue possible par l’observation que siτest une topo- logie surX ayant la propreté que toutes les projectionspj sont continues, alors toute topologie plus forte queτjouit de cette même propreté. La topologie pro- duit est donc l’intersection de la famille (non vide !) de toutes les topologies qui rendent les projectionspi:X→Xicontinues.

Soitnun entier positif quelconque, {i1, , . . .in}⊂Iet pour toutℓ=1, . . . ,nsoit Vi_ℓun ouvert dansXi_ℓ. Lecylindre C(i₁,,...i_n),(V_i1,...,V_in)est le sous-ensemble deX=

∏

i∈IXi définit par

C(i₁,,...i_n),(V_i1,...,V_in)={

(xi)i∈I∈X|xi₁∈Vi₁, . . . ,xi_n∈Vi_n

}

Théorème 1.4.5.Soit(X,τ)le produit topologique des espaces topologiques X =

∏

i∈IXi. La topologie produitτest engendrée par la baseC formée par les cy- lindres.

Preuve. Observons que

C(i1,,...in),(V_i1,...,V_in)=p_i⁻¹

1 (Vi1)∩ ··· ∩p_i⁻¹

n(Vin).

Puisque les projections pi sont continues pour la topologie produit et les en- semblesVi1, . . . ,Vin sont ouverts dansXi1, . . . ,Xin le cylindreC(i1,,...in),(Vi1,...,V_in)

est un ouvert de la topologie produitτ. Il s’ensuit que la famille des cylindres en- gendre une topologieτ^′plus faible queτ.

Pour la topologieτ^′toutes les projectionpi sont continues : en effet pour tout ouvertVi⊂Xion a