4.3 Annexe : Un peu de théorie des groupes
4.3.2 Exemples notables de produits semi-directs
Tout groupeG qui possède un sous-groupe H d’indice 2 et un élément f d’ordre 2 est un produit semi-direct. En effet un sous-groupe d’indice 2 est dis-tingué et si on poseK={eG,f} toutes les propriétés 1-3 définissant un produit semi-direct sont satisfaites.
Le groupe symétrique. Le groupeSn des permutation denobjets, dit groupe symétrique ànlettres, le tombe dans cette classe : il est le produit semi-direct du groupe alternéAn, d’indice 2 et d’un sous-groupe engendré par un transposition.
Le groupe diédral.Un autre groupe dans cette classe est legroupe diédral Dn, le groupe de symétries d’un polygone régulierPnàncotés.
Si on place le centre du polygone à l’origine du plan et un sommet sur l’axe des abscisses, le symétries du polygone Pn sont engendrée par une rotation
d’angle 2π/n et la réflexion par rapport à l’axe des abscisses. En utilisant coor-données complexes dans le plan ces deux transformation s’écrivent
R(z)=e2πi/nz, S(z)=z (4.5) ce qui permet de vérifier facilement les relations
Rn=I, S2=I, SRS−1=Rn−1=R−1. (4.6) La dernière relation implique SRjS−1 =Rn−j. Par conséquent, le groupeDn
consiste des 2nélémentsRjSi,i=0, 1 etj=0, 1, . . . ,n−1 et il est engendré par le sous-groupe cyclique〈R〉 ≈Z/nZd’ordrenet le sous-groupe〈S〉d’ordre 2.
Cela nous permet d’écrire
Dn= 〈S〉⋉〈R〉.
Réciproquement, siGest un groupe engendré par deux élémentsRetS satisfai-sant les relations (4.6) alorsGest isomorphe àDn.
Terminons par la remarque suivante. L’applicationRjS est une symétrie par rapport à la droite qui forme un angleeπi j/n avec l’axe réelles ; sin est impair cette droite passe par un sommet et le milieu do coté opposé ; sinest pair cette droite passe par deux sommets pourjpair et par les milieu de deux cotés opposés sijest impaire.
Les groupes précédents sont des groupes finis. La géométrie nous donne d’autres exemples importants de produits semi-directs.
Le groupe affine.On se donne un espace vectorielV de dimension n sur un corpsF.On noteGl(V)le groupe d’automorphismes de V, ce qui revient à dire le groupe des applications linéaires inversibles deV dans lui-même (la multipli-cation dans ce groupe étant donnée par la composition). Uneapplication affine deV dans lui-même est, par définition, une applicationLdonnée par la formule Lv=Av+b, oùA∈Gl(V),b∈V. (4.7) Une telle application est uniquement déterminée par le couple (A,b)∈Gl(V)× V et on pourra la noterLA,b lorsque cela convient. Un calcul facile donne les identités
LA1,b1LA2,b2=LA1A2,b1+A1b2, et L−1A,b=LA−1,−A−1b, (4.8) où on a poséLA1,b1LA2,b2 =LA1,b1◦LA2,b2. Comme l’ensemble des applications affines est stable par composition et passage à l’application réciproque, cet en-semble est un sous-groupe du groupe de bijections de V sur lui-même. On noteAff(V)le groupe des applications affines de V sur lui-même.
En observant la formule (4.7) définissant une application affine, on remarque deux cas notables. Pourb=0 l’application affineLA,0coïncide avec l’automor-phisme A; on peut donc regarder Gl(V) comme un sous-groupe de Aff(V) via l’identification naturelle
LA,0≈A.
SiA=I, oùIest l’automorphisme identique deV surV, alors l’application affine LI,bcoïncide avec latranslation tbdéfinie par
tb:x∈V7→x+b∈V
L’ensemble des translationsT ={tb |b∈V} forme un sous-groupe du groupe affine Aff(V) isomorphe au groupe additif sous-jacent àVcar
tb1tb2=tb1+b2. L’identité
LI,bLA,0=LA,b
montre que les sous-groupes Gl(V) etT engendrent le groupe affine Aff(V). Il est aussi évident que le seul élément commune à Gl(V) et àT est l’élément neutre LI,0. Finalement observons que le sous-groupe des translations est distingué : il suffit pour cela de vérifier l’identité
AtbA−1=tAb.
En conclusion le groupe affine est un produit semi-direct Aff(V)=GL(V)⋉T
du sous-groupe d’automorphismes GL(V) et du groupeTdes translations deV. Lorsque on se donne une base (e1, . . . ,en) deVet les coordonnées (x1, . . . ,xn)∈ Fn relatives à cette base, le groupe des automorphismes Gl(V) s’identifie au groupe des matrices inversibles Gl(n,F) de taillenen associant à tout automor-phisme sa matrice dans la base donnée. De même une translationtbest unique-ment déterminée par les coordonnées (x1, . . . ,xn)∈Fndu vecteurbrelatives à la base donnée ; cette correspondance est un isomorphisme deTsurFn. On obtient ainsi un isomorphisme du groupe affine Aff(V) avec le groupe affine deFn
Aff(Fn)=GL(n,F)⋉Fn
Une façon simple de comprendre la structure du groupe Aff(Fn) est de le re-garder comme un sous-groupe de GL(n+1,F). SoitAff(f Fn) le sous-ensemble de GL(n+1,F) définit par
Aff(f Fn)={ eA=(aei,j)∈GL(n+1,F)|aen+1,1=aen+1,2= ··· =aen+1,n=0,aen+1,n+1=1} . Une matriceAe∈Aff(f Fn) s’écrit alors
Ae=
a11 a12 ··· a1n b1
a21 a22 ··· a2n b2
... ... . .. ... ... an1an2··· ann bn
0 0 ··· 0 1
= (A b
0 1 )
, A∈GL(n,F),b∈Fn;
et elle est donc complètement déterminée par le couple (A,b)∈GL(n,F)×Fn; l’identité
Ae1Ae2= (A1 b1
0 1
)(A2 b2
0 1 )
=
(A1A2 A1b2+b1
0 1
)
montre, lorsque on la compare à la règle de multiplication(4.8), queAff(f Fn) est un sous-groupe de GL(n+1,F) isomorphe à Aff(Fn).
LorsqueF=Rou C(ou plus généralement lorsqueFest une corps topolo-gique), les groupes Aff(Fn) et GL(n+1,F) ont une topologie induite par leurs in-clusions, coordonnée par coordonnée, dansFn2+netF(n+1)2, respectivement. Les règles de multiplication de ces groupes étant des fonctions polynomiales des coordonnées, il est clair que ces groupes sont des groupes topologiques et que Aff(f Fn) est un sous-groupe fermé de GL(n+1,F). Il est aussi évident que l’isomor-phisme précédemment établit entreAff(f Fn) et Aff(Fn) est un homéomorphisme (en effet un difféomorphisme).
Ainsi nous pouvons à tous égards considérer le groupe affine Aff(Fn) comme un sous-groupe fermé du groupe topologique GL(n+1,F).
La topologie du groupe Aff(Fn) se transporte au groupe Aff(V) via l’isomor-phisme entre ces deux groupes déterminée par le choix d’une base deV (la vé-rification que cette définition ne dépende pas de la base choisie est laissée en exercice).
Les sous-groupes des groupes affines.
SoitK uns sous-groupe fermé du groupe Gl(V) des automorphismes d’un es-pace vectoriel de dimension finie. Examples naturels sont les sous-groupes K préservant une forme bilinéaire surV, le volume etc. AlorsK⋉T est un sous-groupe fermée du sous-groupe affine Aff(V)=Gl(V)⋉T.
Le groupe des isométries de l’espace euclidien.
SoitV une espace euclidien, ce qui revient à dire un espace vectoriel de di-mension finie sur le corpsRmuni d’une forme bilinéaire 〈·,·〉non dégénérée, définie positive. La forme〈·,·〉est dite produit scalaire. Le produit scalaire défi-nit une norme et une distancedsurV. CommeRest complet, l’espace métrique (V,d) est complet.
Quitte à fixer une base orthonormée (e1, . . . ,en) deV et à définir les coordon-nées (x1, . . . ,xn)∈Rnrelatives à cette base, on pourra supposer queV=Rnet que le produit scalaire est définit par
〈x,y〉 =∑n
i=1
xiyi, ∀x=(x1, . . . ,xn),y=(y1, . . . ,yn)∈Rn. (4.9)
On identifiera alors l’algèbre des endomorphismes linéaires de V à l’algèbre M(n,R) des matrices réelles carrée de taillen×net le groupe Aut(V) à Gl(Rn).
Notation.On noteraEn l’espaceRn muni de la distance euclidienne définie par le produit scalaire (4.9).
Rappelons que legroupe orthogonale deRn, noté O(n), est le sous-groupe du groupe des automorphismes deRnqui préserve la forme bilinéaire (4.9).
Proposition 4.3.3.Toute isométrie de l’espace euclidienEnest la composition d’une translation et d’une application linéaire orthogonale.
Preuve. Exercice. Voilà les étapes. Soitϕune isométrie deEn.
1. En composantϕavec une translation on obtient une nouvelle isométrie qui fixe l’origine. On pourra supposer donc queϕfixe l’origine,
2. On montre queϕenvoie droites sur droites. Pour cela on utilisera le fait que∥x−y∥ = ∥x−z∥ + ∥z−y∥si et seulement six,yetz.
3. On montre queϕenvoie une base orthonormée sur une base orthonor-mée. Pour cela on utilisera le fait que un triangle est rectangle si et seule-ment si le théorème de Pythagore s’applique.
4. On conclura en montrant queϕpréserve les angles. ⊓⊔
Par cette Proposition nous obtenons que le groupe Iso(En) des isométries de l’espace euclidienEnest le sous-groupe du groupe affine Aff(Rn) donné par
Iso(En)=O(n)⋉Rn.
Rappelons que le groupe orthogonale a deux composantes connexes : la compo-sante de l’élément neutreInest le sous-groupe SO(n) formé par les applications orthogonales préservant l’orientation ; l’autre composante O−(n) est formée par les applications orthogonales qui renversent l’orientation. Cette décomposition en composantes corresponde à la décomposition en matrices de déterminant+1 et−1 respectivement.
Rappelons que la connexité par arcs de SO(n) découle de la Proposition sui-vante.
Proposition 4.3.4.Pour tout A∈O(n)il existe une base orthonorméef=(f1, . . . ,fn) deEntelle que la matrice de l’application linéaire associée à A relative à la basef est donnée par une matrice diagonale à blocs
Rθ1
Rθ2 . ..
Rθk
−Iℓ Im
, (4.10)
où2k+ℓ+m=n, et Rθdénote la matrice de la rotation d’angleθdansR2, à savoir
Rθ=
(cosθ−sinθ sinθ cosθ
) .
En particulier, si A∈SO(2k+1)la matrice de l’application linéaire associée à A relative à la basefest donnée par une matrice diagonale à blocs
Rθ1
Rθ2 . ..
Rθk 1
.
Si A∈SO(2k)la matrice de l’application linéaire associée à A relative à la basef est donnée par une matrice diagonale à blocs
Rθ1
Rθ2 . ..
Rθk
.
On note Iso+(En) le groupe des isométries deEnqui préservent l’orientation.
On a alors
Iso+(En)=SO(n)⋉Rn.