Espace

I.

Solides usuels : volume et section par un plan

Pavé droit Pyramide Tétraèdre

Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire

v = abc

Si le plan p est parallèle à une arête, la section est un

rectangle.

v = 1

3 abase× hauteur

Si p est parallèle à la base, la section est un polygone dont les côtés sont parallèles à ceux de la base.

v = 1

3 abase× hauteur

Si p est parallèle à l’une des faces, la section est un triangle dont les côtés sont parallèles à ceux de la base

Sphère Cône de révolution Cylindre de révolution

v = 4 3 π R3

La section est un cercle. Si [NS] est le diamètre de la sphère, orthogonal au plan p en I, alors I est le centre du cercle.

v = 1

3 π R² × hauteur Si p est parallèle à la base, la section est un cercle dont le centre se trouve sur l’axe du cône.

v = π R² × hauteur

• Si p est parallèle aux bases, la section est un cercle de même rayon que le cylindre et dont le centre se trouve sur l’axe du cylindre. • Si p est parallèle à l’axe, la section est un rectangle.

II.

Droites et plans 1.

Axiomes d'incidence

Les axiomes d'incidence de la géométrie dans l'espace sont des axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites et les plans de cette géométrie.

- Par deux points disctincts A et B de l'espace, il passe une et une seule droite. Cette droite est notée (AB). - Par trois points non alignés, A, B et C, passe un et un seul plan. Ce plan est noté (ABC).

- Si A et B sont deux points d'un plan p, alors tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan p. On note (AB) ⊂ p.

Géométrie dans l’espace

a

b c

d1 d 2 d1 d2 d1 d2

Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par :

2.

Position s relative s de droites et de plans

a) Positions relatives de deux droites distinctes de l'espace Deux droites de l’espace sont :

• soit coplanaires • soit non coplanaires

d1 et d2 sont sécantes en A. d1 et d2 sont strictement d1 et d2 sont

parallèles confondues

d1

d2

Aucun plan ne contient d1 et

d2.

b) Positions relatives d'u ne droite et d' un plan Une droite et un plan de l’espace sont :

• soit sécants • soit parallèles

d

P

A

d et p ont un point

d’intersection A d est contenue dans p.

On note : d ⊂ p

d et p sont strictement parallèles. On note : d // p

c) Position s relative s de deux plans Deux plans sont :

• soit sécants • soit parallèles

d P1

P2

p 1 et p 2 ont une droite

d’intersection d On note : p 1∩ p 2 = d . P2 P1 p 1 et p 2 sont strictement parallèles P1 P2 p 1 et p 2 sont confondus

Note : D'après le Dictionnnaire des Mathématiques (A. Bouvier, M. George, F. Le Lionnais) : Pour les mathématiciens grecs et pour beaucoup de mathématiciens jusqu'au XVIIe siècle, un axiome est une proposition évidente pour quiconque, de sorte qu'on l'admettait et n'en exigeait aucune démonstration.

IIL Parallélisme dans I'esoace

10) a/ Soit ABCD un tétraèdre quelconque;

M un point de _[AB] et N un point de _[AC] tels que (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. On cherche le point d'intersection de (MN) avec 1e plan (BCD)

(MN) est une droite du plan (ABC).

Or 1es plans (ABC) et _@CD) sont sécants suivant (BC). Donc (MN) coupe forcément le plan (BCD) sur (BC).

Soit I le point d'intersection de (It'flt$ et (BC).

I est le point d'intersection de (!vIN) et de (BCD).

bl Considérons maintenant le cas où (MN) est parallèle à (BC)

(IVIN) est contenue dans (ABC)

(ABC) et (BCD) se coupent suivant @C)

Donc, si (MN) coupe (BCD), c'est forcé.ment sur (BC)

oE _@N) // (BC)

Donc, (MN) ne coupe pas (BCD)

on note : (ltdN) c (ABC) ). on note : (ABC) n (BCD)

:

onnote (MN) n (BCD) c (BC) ).

ou encore : (MN).'' (BC)

:

on note (MN) n (BCD): A ). On dit que (MN) est parallèle à (BCD)

?.?t-'-I.=*;r,

'---- -.'-_--_- rt?

20) al Soit ABCD un tétraèdre quelconque;

M un point de _[AB] et N un point de _[AC] tels que : (MN) // (BC)

P un point de _[AD] tel que (PN] et (DC] ne sont pas parallèles' On cherche la droite d'irlersection des plans (MNP) et (BCD).

ABC et AMN sont en situation de Thalès.

AB

uonc^

-:

-.AM

ACD et APN ne sont pâs en situation de Thalès

AC

-+-,AN

_Ë

_ffi

D'après ta tgfruy&du théorème de Thalès dans le triangle ABD, (MP) et @D) ne sont pas parallèles

En utilisant la construction du 1o)a"/, on trace (IJ), droite d'intersection de (MNP) et (BCD).

Il semble que (IJ) est parallèle à (I\4{).

On va le démontrer par l'absurde :

I a démonstration par I'absurde consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver et à aboutir à une

contradiction, qui prouvera que I'hypothèse était fausse et donc que son contraire est vrai.

Suppcsons que (II) et (BC) se coupent en K.

Puisque K est sur (IJ), c'est aussi un point du plan (I'{NP). Et K est un point de (BC).

Or (BC) est para1lè1e à (MNP) puisque (BC) i/ (MN).

On aboutit à une contradicion... Donc (IJ) ll (BC).

Et (BC) /(I\fi\r)

Finalement" (IJ) /l (MN).

Théorème du Toit:

Soit

(D) une droite de (P) et (D') une droite de (Q) telles que (I)) // (D') Alors la droite d'intersection de (P) et (Q) est parallèle à (D) et à (D').

Remarque : les trois droites ainsi disposées, et les plans, font penser au toit d'une maison... bi Considérons maintenant le cas où (PN)

/

Démontrons par I'absurde que (NINP) et (BCD) sont parallèles' Supposons que (MNP) et (BCD) se coupent suivant une droite (À). (MN) // (BC)

Donc, d'après le théorème du Toit,

(

Or, (BC) et (CD) sont sécantes.

On tombe sur une contradiction. L'hlpothèse était donc fausse et son contraire est wai (MNP)

r