2Électromagnétismedansunejaugecovariante e TDn 2:Équationsdumouvement1Équationsdumouvement

(1)

DEA de Physique Quantique 21 janvier 2005 Th´ eorie des Champs

TD n

^o

2 : ´ Equations du mouvement 1 Equations du mouvement ´

Soit un champ ϕ

_a

dont la dynamique est d´ ecrite par le Lagrangien

L(ϕ_a

, ∂

_µ

ϕ

_a

). On rappelle les ´ equations d’Euler-Lagrange :

∂

µ

∂L

∂(∂

µ

ϕ

a

) = ∂L

∂ϕ

a

. (1)

1. Champ scalaire r´ eel. ´ Ecrire les ´ equations du mouvement d´ eduites du Lagrangien

L

= 1

2 (∂

µ

ϕ)(∂

^µ

ϕ)

−

m

²

2 ϕ

²

. (2)

2. Champ scalaire complexe. On consid` ere le champ r´ eel ` a deux composantes ϕ

₁

et ϕ

₂

dont le Lagrangien est la somme de deux Lagrangiens du type de celui de la question 1. On introduit le champ complexe Φ =

^√¹

2

(ϕ

₁

+ iϕ

₂

). ´ Ecrire

L

en fonction de ce champ. ´ Ecrire les ´ equations de Lagrange pour les champs ϕ

1

et ϕ

2

puis pour les champs Φ et Φ

^∗

.

3. Champ vectoriel. L’action du champ ´ electromagn´ etique coupl´ e ` a un courant de mati` ere j

^µ

s’´ ecrit :

L

=

−

1 4 F

^µν

F

µν−

j

^µ

A

µ

, (3)

o` u F

^µν ^def

= ∂

^µ

A

^ν−

∂

^ν

A

^µ

. ´ Ecrire les ´ equations du mouvement.

4. Champ scalaire complexe coupl´ e au champ ´ electromagn´ etique. On consid` ere le lagrangien

L

= (D

_µ

Φ)

^∗

(D

^µ

Φ)

−

m

²|Φ|²−

1 4 F

^µν

F

_µν

(4)

o` u D

_µ

est la d´ eriv´ ee covariante D

_µ^def

= ∂

_µ

+ ieA

_µ

. Trouver les ´ equations du mouvement pour les champs Φ et A

^µ

.

V´ erifier que le lagrangien est invariant sous les transformations de jauge

(

A

µ →

A

µ

+ ∂

µ

Λ

Φ

→

Φ e

^−ieΛ

⁽⁵⁾

2 Electromagn´ ´ etisme dans une jauge covariante

On consid` ere une version modifi´ ee du lagrangien du champ ´ electromagn´ etique :

L

=

−

1 4 F

µν

F

^µν−

1 2λ (∂

µ

A

^µ

)

²−

j

µ

A

^µ

(6)

o` u F

^µν

= ∂

^µ

A

^ν−

∂

^ν

A

^µ

, λ d´ esigne une constante r´ eelle et j

^µ

(x) une source de courant ext´ erieure donn´ ee.

1. Quelle est la dimension de λ ?

2. Ecrire les ´ equations de Lagrange pour le champ A

^µ

.

1

(2)

3. Montrer que la transform´ ee de Fourier ˜ A

^µ

(k) =

R

d

⁴

x A

^µ

(x) e

^ik·x

est un vecteur de Lorentz.

Que deviennent les ´ equations du mouvement apr` es transformation de Fourier ? Les ´ ecrire sous la forme

C

^µ_ν

(k) ˜ A

^ν

= ˜ j

^µ

(7)

o` u C

^µν

(k) est un tenseur que l’on explicitera.

4. V´ erifier que l’inverse du tenseur Ag

^µν

+ Bk

^µ

k

ν

est aussi de la forme A

⁰

g

^µν

+B

⁰

k

^µ

k

ν

et calculer A

⁰

et B

⁰

. En d´ eduire l’expression du propagateur D

^µν

du champ A

^µ

, d´ efini par

C

^µ_ν

D

^ν_ρ

= δ

_ρ^µ

. (8)

Pour quelle valeur de λ obtient-on l’expression la plus simple ? 5. Que se passe-t-il pour λ

→ ∞

? Comment interpr´ eter ce r´ esultat ?

6. V´ erifier que pour λ

→

0, le champ A

^µ

v´ erifie la condition de jauge de Lorentz. Ne pouvait-on le pr´ evoir directement en observant le lagrangien ?

7. On suppose que le courant v´ erifie l’´ equation de conservation ∂

µ

j

^µ

= 0. Montrer qu’on aboutit alors ` a la mˆ eme expression de A

^µ

quel que soit λ.

8. Comment aurait-on dˆ u proc´ eder pour construire le propagateur D

^µν

(k) ` a partir du lagrangien usuel de l’´ electromagn´ etisme ?

3 Onde ´ electromagn´ etique plane

Notations

: si a

^µ

et b

^µ

sont deux quadrivecteurs, on note a

·

b = a

^µ

b

µ

et a

²

= a

^µ

a

µ

.

Une onde plane polaris´ ee lin´ eairement est, par d´ efinition, une solution des ´ equations de Maxwell dans le vide, de la forme

A

^µ

(x) =

^µ

f (n

·

x)

o` u

^µ

et n

^µ

sont des quadrivecteurs ind´ ependants de x, et f est une fonction scalaire. On remarquera que cette expression de A

^µ

(x) est covariante, c’est ` a dire qu’elle est inchang´ ee par transformation de Lorentz.

1. Donner l’expression de F

^µν

(x).

2. V´ erifier que la transformation

^µ →

^µ

+ κ n

^µ

, κ d´ esignant un r´ eel arbitraire, est une trans- formation de jauge.

3. Ecrire les ´ equations de Maxwell dans le vide. V´ erifier que si n

² 6= 0, les solutions sont de “pure

jauge”, c’est ` a dire qu’elles peuvent ˆ etre ramen´ ees ` a A

^µ

= 0 par une transformation de jauge.

4. On se place dor´ enavant dans le cas o` u n

²

= 0. Montrer que le champ satisfait automatiquement la condition dite “de jauge de Lorentz” bien qu’on n’ait pas encore fix´ e la jauge.

5. Calculer les invariants du champ ´ electromagn´ etique. Quels r´ esultats familiers retrouve-t-on ? 6. Montrer que

²

< 0 pour un champ qui n’est pas de pure jauge. On peut donc imposer la normalisation

²

=

−1, sans perte de g´

en´ eralit´ e.

7. Montrer qu’on peut, par une transformation de jauge, imposer

⁰

= 0 (noter que cette condi- tion n’est pas covariante sous le groupe de Lorentz). Dans quelle jauge est-on alors ? Montrer qu’on peut choisir n

⁰

2Électromagnétismedansunejaugecovariante e TDn 2:Équationsdumouvement1Équationsdumouvement

DEA de Physique Quantique 21 janvier 2005 Th´ eorie des Champs

TD n

2 : ´ Equations du mouvement 1 Equations du mouvement ´

Soit un champ ϕ

dont la dynamique est d´ ecrite par le Lagrangien

, ∂

ϕ

). On rappelle les ´ equations d’Euler-Lagrange :

∂

∂L

∂(∂

ϕ

) = ∂L

∂ϕ

. (1)

1. Champ scalaire r´ eel. ´ Ecrire les ´ equations du mouvement d´ eduites du Lagrangien

= 1

2 (∂

ϕ)(∂

ϕ)

m

2 ϕ

. (2)

2. Champ scalaire complexe. On consid` ere le champ r´ eel ` a deux composantes ϕ

et ϕ

dont le Lagrangien est la somme de deux Lagrangiens du type de celui de la question 1. On introduit le champ complexe Φ =

(ϕ

+ iϕ

). ´ Ecrire

en fonction de ce champ. ´ Ecrire les ´ equations de Lagrange pour les champs ϕ

et ϕ

puis pour les champs Φ et Φ

.

3. Champ vectoriel. L’action du champ ´ electromagn´ etique coupl´ e ` a un courant de mati` ere j

s’´ ecrit :

=

1

4 F

F

j

A

, (3)

o` u F

= ∂

A

∂

A

. ´ Ecrire les ´ equations du mouvement.

4. Champ scalaire complexe coupl´ e au champ ´ electromagn´ etique. On consid` ere le lagrangien

= (D

Φ)

(D

Φ)

m

1

4 F

F

(4)

o` u D

est la d´ eriv´ ee covariante D

= ∂

+ ieA

. Trouver les ´ equations du mouvement pour les champs Φ et A

.

V´ erifier que le lagrangien est invariant sous les transformations de jauge

A

A

+ ∂

Λ

Φ

Φ e

(5)

2 Electromagn´ ´ etisme dans une jauge covariante

On consid` ere une version modifi´ ee du lagrangien du champ ´ electromagn´ etique :

=

1

4 F

F

1

⁽⁵⁾