REPONSES A L’EXERCICE I

(1)

Une librairie a effectué une étude auprès de ses clients concernant leur durée de passage et leur mode de paiement ainsi qu’une étude sur le prix des livres.

Partie A

La durée de passage, en minutes, d’un client peut être modélisée par une variable aléatoire T ayant pour densité la fonctionf définie par :

( f(x) = 0 si x <0

f(x) = 0,02 e⁻^0,02^x si x≥0.

Soit t un réel strictement positif. La probabilité P(T ≤ t) que la visite d’un client dans cette librairie dure moins det minutes est alors donnée par : P(T ≤t) =

Z t 0

f(x)dx.

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻⁴ près.

I-A-1- Quelle est la loi suivie parT ? Pr´eciser son param`etre.

I-A-2-a- Déterminer, avec le calcul d’une intégrale, la probabilitéP₁qu’un client reste moins de 15minutes dans la librairie. Détailler le calcul.

I-A-2-b- Donner la probabilit´eP₂ qu’un client reste plus de 15minutes dans la librairie.

I-A-3- Déterminer la probabilitéP₃ qu’un client reste plus de 20minutes dans la librairie sachant qu’il y est déjà depuis 15minutes. Justifier le résultat.

I-A-4- Donner, en minutes, la dur´ee moyenne de passage m₀ d’un client dans la librairie.

Partie B

On estime à0,1la probabilité qu’un client règle ses achats par chèque, lorsque leur montant est inférieur à25euros. Un matin,20clients font des achats d’un montant inférieur à25euros. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de clients, parmi ceux-là, ayant réglé leurs achats par chèque.

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée

`

a 10⁻⁴ pr`es.

I-B-1- Quelle est la loi suivie parX? Pr´eciser ses param`etres.

I-B-2- Donner la probabilitéP₄que trois clients exactement règlent leurs achats par chèque.

I-B-3- Donner la probabilitéP₅ qu’au moins deux clients règlent leurs achats par chèque.

Partie C

On noteY la variable aléatoire qui, à un livre choisi au hasard dans la librairie, associe son prix, en euros. On admet que Y suit une loi normale de moyenne m= 20et d’écart-type σ = 5.

On prend au hasard un livre dans la librairie.

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée

`

a 10⁻⁴ pr`es.

I-C-1- Donner la probabilitéP₆ que le prix de ce livre soit inférieur à 25euros.

I-C-2- Donner la probabilitéP₇ que le prix de ce livre soit supérieur à 35euros.

I-C-3- Donner la probabilit´eP₈ que le prix de ce livre soit compris entre 10et15euros.

(2)

NE RIEN INSCRIRE ICI

REPONSES A L’EXERCICE I

I-A-1- Loi suivie parT et param`etre de cette loi : T suit une loi exponentielle de param`etre0,02.

I-A-2-a- P₁ = 1−e⁻^0,3 P₁ ≃0,2592 en effet : P₁ =P(T ≤15) =

Z ₁₅

0

0,02 e⁻^0,02^xdx=

−e⁻^0,02^x15 0

donc P₁ =−e⁻^0,02^×¹⁵−(−e⁰) = 1−e⁻^0,3.

I-A-2-b- P₂ =e⁻^0,3 P₂ ≃0,7408

I-A-3- P₃ =e⁻^0,1 P₃ ≃0,9048 en effet :

P₃ =P(T >15)(T >20) = P((T >15)∩(T > 20))

P(T >15) = P(T >20) P(T >15) donc P₃ = e⁻^0,02^×²⁰

e⁻^0,02^×¹⁵ =e⁻^0,02^×⁵ =e⁻^0,1.

I-A-4- m₀ = 1

0,02 = 50 minutes

I-B-1- Loi suivie parX et param`etres de cette loi :

X suit une loi binomiale de param`etresn= 20etp= 0,1.

I-B-2- P₄ ≃0,1901 I-B-3- P₅ ≃0,6083

I-C-1- P₆ ≃0,8413 I-C-2- P₇ ≃0,0013

I-C-3- P₈ ≃0,1359

(3)

pour tout r´eel x∈[0 ; +∞[, f_n(x) = n x e .

On noteCⁿla courbe représentative defndans le plan rapporté à un repère orthogonal(O;~ı, ~).

II-1-a- Donner lim

x→+∞ fn(x).

II-1-b- On en d´eduit que Cⁿ admet une asymptote∆ dont on donnera une ´equation.

II-2-a- f_n^′ désigne la dérivée def_n.

Justifier que : pour tout r´eelx∈[0 ; ∞[, f_n^′(x) = n e⁻^{n x} (1 − n x).

II-2-b- Dresser le tableau des variations de f_n.

II-2-c- fn pr´esente un maximum en un pointMn. Donner les coordonn´ees de Mn. II-3-a- Justifier que :

pour tout r´eelx∈[0 ; +∞[, f₂(x)−f₁(x) = x e⁻²^x (2 − e^x).

II-3-b- On d´eduit de la questionII-3-a-que les courbesC1 etC2 ont deux points communs P etQ d’abscisses respectivesp etq (avecp < q).

Donner les valeurs exactes de petq et une valeur approchée de qà 10⁻¹ près.

II-3-c- Donner, pour tout r´eel x∈[0 ; +∞[, le signe def₂(x)−f₁(x).

En d´eduire la position relative des courbes C1 etC2. II-4- Sur la figure est trac´ee la courbe C1.

Placer les pointsM₁,M₂,P etQ.

Tracer la tangente à la courbeC2 au point M₂, puis tracer la courbe C2. II-5- On considère la fonction F définie par :

pour tout r´eel x∈[0 ; +∞[, F(x) = −(x + 1)e⁻^x. II-5-a- Justifier que F est une primitive de la fonctionf₁.

II-5-b- On consid`ere l’int´egrale :

A = Z ln 2

0

x e⁻^xdx.

Hachurer, sur la figure de la question II-4-, le domaine dont l’aire, en unit´es d’aire, vaut A.

II-5-c- D´eterminerA. D´etailler le calcul.

Le r´esultat sera ´ecrit sous la formeA= 1

a(b−c ln 2)o`ua,betcsont des entiers

`a d´eterminer.

(4)

REPONSES A L’EXERCICE II

II-1-a lim

x→+∞ f_n(x) = 0 II-1-b- ∆ : y = 0 II-2-a- Pour toutx≥0, f_n^′(x) = ne⁻^{n x} (1 − n x) en effet :

Pour toutx≥0,f_n(x) = u(x)×v(x) avec u(x) =nx etv(x) =e⁻^nx. Comme(uv)^′ =u^′v+uv^′, on a alors :

Pour toutx≥0,f_n^′(x) = ne⁻^{n x}+nx(−ne⁻^{n x}) =ne⁻^{n x}(1 −nx).

II-2-b- x 0 _n¹ +∞

f_n^′(x) + 0 −

fn(x) ¹e

0 0

II-2-c- M_n

1 n;1

e

II-3-a- Pour toutx≥0, f₂(x)−f₁(x) = x e⁻^2x (2−e^x) en effet :

f₂(x)−f₁(x) = 2xe⁻^2x−xe⁻^x = 2xe⁻^2x−xe⁻^2xe^x =xe⁻^2x(2−e^x).

II-3-b- p= 0 q= ln 2 q ≃0,7

II-3-c- x 0 ln 2 +∞

Signe def₂(x)−f₁(x) + 0 −

Position relative deC1 etC2 C2 est au dessus de C1 C2 est en dessous deC1

II-4-

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.5 ln 2 1.0 1.5 2.0

M₁ M₂

Q

C₂

P =O

C₁

II-5-a- F est une primitive def₁ en effet :

F^′(x) =− 1×e⁻^x + (x+ 1)×(−e⁻^x)

=xe⁻^x =f₁(x).

II-5-b- Utiliser la figure de la questionII-4- II-5-c- A= 1

2(1−ln 2), en effet :A= Z ln 2

0

f₁(x)dx= [F(x)]^{ln 2}₀ =F(ln 2)−F(0).

Or F(0) =−e⁻⁰ =−1,

et F(ln 2) =−(1 + ln 2)e⁻^{ln 2} =−(1 + ln 2) 1

e^{ln 2} =−1

2(1 + ln 2).

Donc A =−1

2 − ln 2

2 + 1 = 1

2(1−ln 2).

(5)

Soit C le sym´etrique deB par rapport `a l’axe des abscisses.

Partie A

III-A-1- Tracer le triangle ABC sur la figure.

III-A-2- Donner l’affixe z_C du pointC.

III-A-3-a- Calculer le module |z_B − z_A|. D´etailler le calcul.

III-A-3-b- Donner les modules |z_C − z_A|et|z_C − z_B|. III-A-3-c- En d´eduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On consid`ere les points suivants :

I :projeté orthogonal du pointO sur la droite (BC), J : projeté orthogonal du pointOsur la droite (AC), K :projeté orthogonal du pointO sur la droite (AB).

On d´esigne par z_I,z_J etz_K leurs affixes respectives.

III-B-1- Placer les pointsI,J etK sur la figure de la questionIII-A-1-.

III-B-2-a- Justifier queJ est le milieu du segment [AC].

III-B-2-b- Calculer alors l’affixez_J de J. Donner son module|z_J|. III-B-2-c- Donner les affixesz_I etz_K ainsi que leur module|z_I| et|z_K|.

III-B-3- En d´eduire la valeur de la somme des distances : L_O =OI + OJ + OK. Justifier la r´eponse.

Partie C

Soit M un point quelconque situé à l’intérieur du triangle ABC.

On consid`ere les points suivants :

E : projeté orthogonal deM sur la droite (BC), F :projeté orthogonal de M sur la droite (AC), G : projeté orthogonal deM sur la droite (AB).

On note A1,A2,A3 etA les aires respectives des trianglesM BC,M AC,M AB et ABC.

On pose L_M = M E + M F + M G.

III-C-1- Avec le pointM déjà placé sur la figure de la questionIII-A-1-, placer les points E,F etG.

III-C-2-a- ExprimerA1 en fonction de la distanceM E.

III-C-2-b- Ecrire une relation liantA1,A2,A3 etA. III-C-2-c- Déduire des questions précédentes que : A =

√3 2 L_M .

III-C-3- L’égalité précédente montre que la valeur de L_M ne dépend pas de la position du pointM à l’intérieur du triangleABC.

Donner la valeur deL_M. Justifier la r´eponse.

(6)

REPONSES A L’EXERCICE III

III-A-1- III-A-2- z_C =−1

2 −

√3 2 i.

A B

C

+J +K

+ I

+F +G

E+ M

O

−

→v

−

→u

+ III-A-3-a- |z_B − z_A|=√

3 En effet :

zB −zA =−3 2 +

√3 2 i

|z_B −z_A| = r9

4 +3 4 =√

3.

III-A-3-b- |z_C − z_A|=√

3 |z_C −z_B|=√

3 III-A-3-c- Nature du triangleABC : ABC est un triangle ´equilat´eral.

III-B-1- Utiliser la figure deIII-A-1-.

III-B-2-a- J est le milieu de [AC] en effet : OA = 1 etOC =|z_C|= r1

4 +3 4 = 1.

CommeOA =OC, le triangle OAC est isoc`ele enO. Or (OJ) est la hauteur issue du sommet principalO. C’est donc aussi la m´ediane du segment[AC].

DoncJ est le milieu de [AC].

III-B-2-b- z_J = 1 4 −

√3

4 i |z_J|= 1

2 III-B-2-c- z_I =−1

2 z_K = 1

4 +

√3

4 i |z_I|= 1

2 |z_K|= 1 2 III-B-3- L_O = 3

2 en effet : L_O =|z_I|+|z_J|+|z_K| = 1 2 +1

2 +1 2 = 3

2 III-C-1- Utiliser la figure deIII-A-1-.

III-C-2-a- A1 =

√3 2 M E

III-C-2-b- Relation liantA1,A2,A3 etA: A1+A2+A3 =A III-C-2-c- A =

√3

2 LM en effet : A =A1+A2+A3 =

√3

2 M E+

√3

2 M F +

√3

2 M G=

√3 2 LM

III-C-3- L_M = 3

2 en effet : L_M =L_O

(7)

- le point C de coordonn´ees(−1 ; −1 ; 0), - le point D de coordonn´ees(1 ; −3 ; 2),

- le planP d’´equation cart´esienne : x+ 2y+z+ 3 = 0,

- la droite∆définie par le système d’équations paramétriques suivant :

∆ :







x = −3 + 2t

y = −6 + 5t avec t∈R. z = 0

IV-1- P et∆sont s´ecants en un pointE.

Déterminer les coordonnées(xE; yE; zE) deE. IV-2-a- Vérifiez que la droite(CD) est incluse dans le planP. IV-2-b- On noteB le point tel queABCD soit un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées(x_B; y_B; z_B) du pointB. Détailler le calcul.

IV-2-c- Justifier que le pointB appartient `a la droite∆.

IV-3-a- Donner les coordonn´ees du vecteur directeur~ude la droite (CD) d’abscisse 1.

IV-3-b- Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite(CD).

IV-3-c- On d´esigne parH le point de la droite(CD) tel que la droite(AH) soit perpen- diculaire `a la droite(CD).

Déterminer les coordonnées(xH; y_H ; z_H) de H. Détailler le calcul.

IV-4- Déterminer la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire A du parallélogramme ABCD. Détailler le calcul.

(8)

REPONSES A L’EXERCICE IV

IV-1- x_E =−1 y_E =−1 z_E = 0 en effet : E ∈∆∩ P ⇔







x_E =−3 + 2t

y_E =−6 + 5t, et x_E + 2yE+z_E + 3 = 0.

z_E = 0

Alorstest solution de (−3 + 2t) + 2(−6 + 5t)−0 + 3 = 0 ou encore 12t−12 = 0. Et donct= 1.

D’o`ux_E =−3 + 2×1 = −1, y_E =−6 + 5×1 =−1 et z_E = 0.

IV-2-a- la droite(CD)est incluse dans le planP en effet : C ∈ P car C =E et E ∈ P par d´efinition deE.

D ∈ P car x_D+ 2y_D+z_D+ 3 = 1 + 2×(−3) + 2 + 3 = 0,

IV-2-b- x_B = 1 y_B = 4 z_B = 0 en effet :

ABCDparall´elogramme⇔−→AB =−−→DC ⇔







x_B −3 =−2 y_B −2 = 2 z_B−2 =−2

⇔







x_B = 1 y_B = 4 z_B = 0

.

IV-2-c- B appartient `a la droite ∆ en effet :







x_B =−3 + 2t y_B =−6 + 5t z_B = 0

⇔







1 =−3 + 2t 4 =−6 + 5t 0 = 0

⇔t= 2.

IV-3-a- ~u (1 ; −1 ; 1)

IV-3-b- (CD) :







x=−1 +t

y=−1−t avec t∈R. z =t

IV-3-c- x_H = 0 y_H =−2 z_H = 1 en effet : H ∈(CD)doncx_H =−1 +t, y_H =−1−t et z_H =t (AH)⊥(CD) ⇔−−→AH.~u= 0

⇔ 1×(xH −x_A)−1×(yH −y_A) + 1×(zH −z_A) = 0

⇔ (t−4)−(−t−3) + (t−2) = 0

⇔ 3t−3 = 0

⇔ t= 1

D’o`u xH =−1 + 1 = 0, yH =−1−1 =−2, zH = 1

IV-4- A=√

312 = 2√

78 en effet :

(AH)⊥(CD) etH ∈(CD) doncA =CD×AH avec : CD=√

4 + 4 + 4 =√

12 = 2√

3 car −−→CD(2,−2,2), etAH =√

9 + 16 + 1 = √

26 car −−→AH(−3,−4,−1).