Dynamique du réseau monoatomique unidimensionnel anharmonique

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Submitted on 1 Jan 1964

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Dynamique du réseau monoatomique unidimensionnel anharmonique

N. Bogcara

To cite this version:

N. Bogcara. Dynamique du réseau monoatomique unidimensionnel anharmonique. Journal de

Physique, 1964, 25 (7), pp.748-750. �10.1051/jphys:01964002507074801�. �jpa-00205865�

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6lectronique, ^{mais avec un} appareil 4 scintillation.

ttant donne 1’epaisseur (environ ⁵ mm) ^{du cristal} utilise, ^{celui-ci est sensible non seulement aux} particules ^cx mais aussi ^aux rayonnements ^{beta et}

gamma. Pour determiner la contribution de ces

derniers, l’activité de la source est mesur6e alterna- tivement en absence et en presence ^{d’un écran}

d’aluminium de 5/100 de mm ; ^un tel écran est suffisant pour arreter les particules ^{a les} plus 6nergiques mais absorbe peu les ^autres rayon- nements.

Par difference des activites d6termin6es avec ou sans écran, repr6sentant respectivement ^1’acti-

vit6 globale beta-gamma (courbe ^{B) et I’activit6} alpha-beta-gamma (courbe ^{A), on} obtient la courbe C qui repr6sente ^la d6croissance de I’activit6 « due a 227Pa, ^{6 22spa et} a leurs filiations. Au d6but des mesures, le protactinium 227 n’est pas ^en 6quilibre

avec ses descendants 6tant donne la periode ^de 2,2"mn ^de l’actinium 223. Nous ^avons donc calcule

(courbe D) pour les 10 minutes qui ^{suivent la fin}

de la separation, ^{Factivite a de 227Pa et de sa} filiation, ^ce qui permet de d6duire par différence 1’activite ^a de 226 Pa et de sa filiation a 1’equilibre (courbe E). ^La p6riode de d6croissance trouv6e varie entre 1,8 ^{et 2} minutes, ^valeur compatible

avec celle donn6e par Meinke, ^{Ghiorso et Sea-} borg [3].

La moyenne de 5 experiences donne pour le

rapport 6 226pa ^{la valeur} 0,70 + 0,20. ^En prenant rapport _{(j 227p a} ^{la valeur} -0,70 + 0,20. ^En prenant

pour ⁶ 227Pa la valeur 1,4 ^mb [1], ^{celle de 6 226pa}

obtenue est de 1 :1: 0,3 ^mb.

Cette valeur est en assez bon accord avec la valeur theorique 0,9 ± 0,2 mb calcul6e par Simo- noff [4] d’apres ^le modele de Serber, ^{en intro-}

duisant la competition ^{de la fission a} chaque ^stade

de Fevaporation.

Manuscrit regu le 19 f6vrier 1964.

BIBLIOGRAPHIE

[1] BOUISSIÈRES (G.), HUSSONNOIS (M.), ^LEFORT (M.),

LEGOUX (Y.), ^SIMONOFF (G.) et TARRAGO (X.), ^{C. R.}

Acad. Sc., 1960, 251, 2155.

[2] ^LEFORT (M.), ^SIMONOFF (G.) et TARRAGO (X.), ^Nuclear Physics, ^{1961, 25, 216.}

[3] ^MEINKE (N. W.), ^GHIORSO (A.) ^{et SEABORG} (G. T.), Phys. Rev., 1951, 81, 782.

[4] ^SIMONOFF (G.), Thèse, Paris, 1961.

DYNAMIQUE ^DU RÉSEAU MONOATOMIQUE UNIDIMENSIONNEL ANHARMONIQUE

Par N. BOGCARA,

Service de Physique ^{du Solide et de Résonance} Magnétique,

Centre d’Études Nucléaires de Saclay, ^{B. P. n°} 2, Gif-sur-Yvette, Seine-et-Oise.

Résumé.

Un calcul de perturbation poussé jusqu’au ^{deuxième ordre sur les} équations ^de Lagrange ^du système permet ^d’obtenir l’expression ^{de la} variation, ^{en fonction de la} température,

de la maille du réseau ^et des pulsations ^des différents modes de vibration.

Abstract.

A second-order perturbation calculation on the Lagrange équations ^{of the} system gives the variation with the temperature ^of the lattice parameter ^{and of the} frequencies ^{of the}

different modes of vibration.

JOURNAL DE PHYSIQUE ^TOME 25, ^JUILLET 1964, ^{PAGE 748.}

La grande majorite ^{des auteurs} qui ^{ont traite}

des effets de I’anharmonicit6 du potentiel ^cris-

tallin sur les proprietes ^{des cristaux ont abord6}

le probleme ^d’un point ^{de vue} thermodynamique.

La connaissance des potentiels thermodynamiques

permet ^en effet de calculer le coefficient de dila-

tation, les chaleurs sp6cifiques, ^{les constantes}

elastiques isothermes et adiabatiques ^etc. [1]. ^Dans

le present article le probleme ^sera abord6 d’un

point ^{de vue} purement dynamique.

L’etude dynamique ^{des r6seaux} cristallins s’ef- fectue dans le cadre de l’approximation ^adiaba- tique qui permet de supposer qu’il ^{existe un} po- tentiel V fonction uniquement ^des positions ^des

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01964002507074801

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noyaux. La m6thode consiste ^en general ^a develop-

per le potentiel ^en s6rie, ^en fonction des 6carts des noyaux a partir ^{de leur} position moyenne. Si ^on

n6glige ^{dans le} d6veloppement ^{les termes d’ordre} sup6rieur ^{au second} (theorie harmonique) ^{on trouve} qu’il existe différents modes de vibration, ^autant

que le systeme comporte ^de degr6s ^de liberté, ^et

que les positions moyennes coincident ^avec les

positions d’equilibre. Lorsqu’on considere les termes de degr6 sup6rieur ^{au second} (théorie anharmonique) ^il apparait des resultats qualita-

tivement _nouveaux, en particulier ^les positions moyennes ^ne coincident plus ^{avec les} positions d’6quilibre ^{et les} pulsations ^des diff 6rents modes sont modifi6es.

Afin de simplifier, ^nous limiterons notre étude

au cas d’un reseau monoatomique unidimensionnel.

Soit donc un tel reseau comportant ^{N atomes.}

D6signons par :

a : la distance entre deux positions d’equilibre

stable successives.

un : le deplacement ^{du n ieme atome a} partir ^de

sa position d’equilibre ^stable.

(L : la masse d’un atome.

Si l’on ne tient compte que des interactions entre premiers ^{voisins on} peut écrire que le poten- tiel V est de la forme :

et les propri6t6s dynamiques ^{du reseau sont d6ter-}

min6es par les equations ^de Lagrange :

L’effet de l’anharmonicité 6tant en general faible,

on peut ^{r6soudre ces} equations par ^une methode de perturbation ^a condition de prendre ^certaines precautions [2]. La solution non perturbée ^{est :}

avec

q est le vecteur d’onde et Aa I’amplitude ^{de l’onde} plane correspondante. Nous ecrirons la solution du systeme perturbe ^{sous la forme :}

mais nous adopterons ^{pour uo.. la forme :}

ou nous avons substitué mq a _wo,Q. L’equation

d’ordre i sera du type :

La raison majeure pour laquelle nous avons

substitué coq a _woq, dans _uo,n est que, si l’on n’op6re

pas ainsi, des le deuxieme ordre il apparait ^{dans les}

deuxiemes membres des fonctions periodiques ^dont

les pulsations ^{sont des} combinaisons de trois

pulsations ^{d’ordre zero}

combinaisons qui, dans certains _cas, peuvent

coincider avec une pulsation d’ordre zero

et par suite il apparaitrait dans la solution des termes de resonance dont I’amplitude ^{croitrait avec}

le temps. Ce r6sultat est physiquement ^absurde.

Les pulsations ^varient et, comme nous allons le

voir, leurs variations sont pr6cis6ment determinees par la condition qu’il n’y ait pas de ^termes de reso-

nance. Au premier ^{ordre on a :}

ce qui ^{donne :}

En outre si on impose ^{a la} position moyenne du

premier ^{atome de ne} pas varier (U1

0) ^{on trouve}

qne u1n, ^est donne par :

Cette expression ^montre que la position moyenne

n’est plus ^{confondue avec la} position d’equilibre

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mais _{que le} reseau des positions moyennes ^est

periodique, ^{la maille 6tant 6gale a :}

Au deuxi6me ordre on a :

le coefficient du terme en cos (mqt-qan) ^{dans le}

deuxi6me membre est

ce qui ^donne finalement :

’

Ce r6sultat appelle diverses remarques : 10 Dans le d6veloppement ^de perturbation ^de

la pulsation, ^le premier ^{terme non nul est d’ordre}

deux. Ce fait est general, ^{il ne} depend pas du mod6le

adopt6.

20 Les pulsations ^des differents modes ne varient pas de la meme maniere.

30 Il n’est pas possible de calculer la variation de la pulsation ^{en ne tenant} compte que de la dilatation. En operant ^{ainsi on} n’obtiendrait _que le premier ^terme du deuxieme membre.

On ne commet certainement pas d’erreur sen-

sible si on exprime 1’6nergie ^du mode q’ par :

ce qui, compte ^{tenu de} 1’expression ^de 0 ^{donne :}

d’où :

Pour ce modele tres simple, ^{il est done} possible

de determiner explicitement ^comment varient, ^avec

la temperature T, la maille du reseau et la f re- quence des differents modes. Pour cela il suffit de

remplacer EQ, par 1’expression ^de 1’energie moyenne d’un oscillateur harmonique, ^la quantification

6tant ainsi introduite a posteriori.

Si la temperature ^est suffisamment 6lev6e

(Eq,

kT) ^{il est} possible d’effectuer élémentai- rement la sommation. On trouve :

Manuscrit regu le 1 er f6vrier 1964.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^LEIBFRIED (G.) ^{et LUDWIG} (W.), Solid State Phys., 1961,12,275.

[2] ^LANDAU (L.) ^{et LIFSHITZ} (E.), Mécanique, Moscou,

1960.