Exercices résolus de mathématiques.
TRI 31
EXTRI310-EXTRI319
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson Nicole Berckmans
Décembre 2010
EXTRI310 – Compléments.
2
2
2
2
2
2
2
Démontrer les identités suivantes : a) cos arctan 1
1 b) sin arctan
1
c) tan arccos 1 1; 0 0,1
d) tan arcsin 1,1
1
e) sin 2 arccos 2 1 1,1
f) cos 2 arcsin 1 2 1,1
g) sin 1arccos 2
x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x x
x x x
2
1 1 1,1
2
1 1
h) cos arccos 1 1,1
2 2
x x x
x x x
2
2
2 2
2
2
a) cos arctan 1
1
1 1
cos arctan
1 tan arctan 1
Comme : arctan , cos arctan 0
2 2 Donc : cos arctan 1
1 b) sin arctan
1
sin arctan tan arctan .cos arctan En vertu de a) : sin arctan . 1
1 x
x
x x x
x x
x
x x x
x
x x x
x x
x
2 2
2
2 2
1 c) tan arccos 1
1 cos arccos
sin arccos 1
tan arccos
cos arccos
x x x x
x
x x x
x x x x
2
2 2
2
2 2
2 2
2
d) tan arcsin
1
sin arcsin tan arcsin
cos arcsin 1 sin arcsin 1 e) sin 2 arccos 2 1
sin 2 arccos 2 sin arccos .cos arccos 2 1 f) cos 2 arcsin 1 2
cos 2 arcsin 1 2 sin arcsin 1 2 g) sin 1arccos
2 x x
x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x
x x x
x
2
2
1 1 2
1 cos arccos
1 1
sin arccos 1
2 2 2
1 cos arccos
1 1
h) cos arccos 1
2 2 2
x
x x x
x x x
Le 30 décembre 2010.
EXTRI311 – Compléments.
2
Calculer
a) 2 cos 2 arccos 1 arctan 3 2
b) tan arccos 2 cos 2 arctan1 2
2 4 1
c) cos arcsin 2 arctan Moscou 1972
2 5 2
1 1
d) sin arctan arctan Moscou 1972
2 3
Solution proposée par Laurent Martin
1 4
a) 2 cos 2 arccos arctan 3 2 cos 2 cos 2
2 3 3
b) tan arccos 2 cos 2 arctan1 tan cos 1
2 4 2
1 4 1
c) cos arcsin 2 arctan
2 5 2
4 4
arcsin 2 sin 2
5 5
1 1
arctan tan
2 2 2 2
u u
v v
2 2
2
2
2
On doit évaluer cos cos cos sin sin
1 tan 3
3 3
cos 2 1 sin 2 5 cos 1 tan 2 45 5
2 5 2 4
Or cos et
1 cos 2 2 cos 5 2 tan
1 4
5 sin 2
sin 5 1 tan 5 5
2 4
2 5 3 5 4
cos .
5 5 5 5
u v u v u v
v
u u v
v
u v
u u
u v v
u v
6 5 4 5 2 5
25 25
2
2
2 2
1 1
e) sin arctan arctan
2 3
1 1
arctan tan
2 2
1 1
arctan tan
3 3
2 sin 1 cos 2 2
2 2
1 4
1 tan 3 / 4 3
sin 2 cos 2
5 / 4 5 1 tan 4 / 5 5
Or et
2 / 3 3 8 / 9 4
sin 2 cos 2
10 / 9 5 10 / 9 5
E
u u
v v
u v u v
E
u u
u u
v v
3 4 4 3 1cos 2 2 . 0
5 5 5 5 2
u v E
Le 30 décembre 2010 .
EXTRI312 – EPL, UCL, Louvain.
1) La relation suivante s'exprime rationnellement en fonction de . Quelle est cette expression?
sin 2 arccot 1980
2) Calculer
sin 2 arccot 3 1977
1 1
sin arcsin arcsin 1981
4 3
x
E x
2
2 2 2
2
2
1) sin 2 arccot 2 sin arccot .cos arccot
1 1 1
sin arccot sin arccot
1 cot arccot 1 1
cos arccot cot arccot .sin arccot . 1 1 2
1
2) a) Il suffit d'appliquer la relation ci-dessus : sin 2 arc
E x x x
x x
x x x
x x x x
x E x
x
2
1 1
4 3
2 3 3
cot 3
1 3 5
1 1 1 1 1 1
b) sin arcsin arcsin sin arcsin cos arcsin cos arcsin sin arcsin
4 3 4 3 4 3
1 1 1 1 1 1
. 1 1 8 15
4 9 3 16 12 12
1 2 2 15 12
Le 20 septembre 2010
EXTRI313 – Complément .
Résoudre
arccos x 1 arcsin 0.6arctan 2
2
2 2
CE : 1 1 1 0 2
arccos 1 arcsin 0.6 arctan 2
cos arccos 1 arcsin 0.6 cos arctan 2
cos arccos 1 cos arcsin 0.6 sin arccos 1 sin arcsin 0.6 cos arctan 2
6 1
1 1 0.36 1 1 .
10 1 2
car cos arcsin sign 1 sign si
x x
x
x
x x
x x
y y y y
2
2
2
2 2
2
2 4 2
gne de et cos arctan 1
1
8 6 1
1 2
10 10 5
4 1 5 3 2
Cette relation entraîne une nouvelle condition :
4 1 5 0 1 5 1
4
4 1 5 6 2
25 50 8 5 21 8 5 0
50 8 5 100 21 8 5 720 2 3 5
50 8 5 12 5 50
y y
y
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x
1 2 5 1 A rejeter à cause de 1
25 1 2 5
5 Conclusion : 1 2 5
5
x x x
28 septembre 2010
EXTRI314 – FPMS, UMONS, Mons, Juillet 2011.
Résoudre l'équation trigonométrique suivante :
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
sin sin 3 sin 2 4cos .cos .cos3
2 2
x x
x x x x
sin sin 3 sin 2 4 cos cos cos3
2 2
2 sin 2 cos 2 sin cos 4 cos cos cos3
2 2
1) cos 0
2
Il reste : sin 2 sin 2 cos cos3
2 2
3 3
2 sin cos 2 cos cos
2 2 2 2
2) cos 0 2
2
3 3 3
Il reste : sin cos sin sin
2 2 2
x x
x x x x
x x
x x x x x
x x k
x x
x x
x x x x
x x k
x x x
3
2 2
3 3 2
2 2 2 2 6 3
3 3
2 Impossible
2 2 2
Conclusion : : ; 2 ; 2 |
2 6 3
x
x x k
k x
x x
k
S k k k k
Le 15 novembre 2010
EXTRI315 – FPMS, UMONS, Mons, Juillet 2011.
2 2
Vérifier l'identité
cos 2asin acos .cos3a a
2 2
2 2 2 3
4 2 4 2
2 2
2 2 2
3
cos 2 sin cos cos 3
2 cos 1 1 cos cos 4 cos 3cos 4 cos 3cos 4 cos 3cos
Rappel : sin 1 cos
cos 2 cos sin 2 cos 1
cos 3 4 cos 3cos
a a a a
a a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a
Le 7 septembre 2011
EXTRI316 – FPMS, UMONS, Mons, Juillet 2011.
Calculer les longueurs des côtés d'un triangle quelconque sachant que celles-ci s'expriment par trois nombres entiers consécutifs et que, par ailleurs, le plus grand angle vaut le double du plus petit.
2 2
2
Les trois angles du triangle sont tels que : 3 2 . Ce qui permet de dire que 36° 45 .
2 2 2
La formule des sinus donne : cos
sin sin 2 cos 2
La formule des cosinus donne : 1 2 a
x x x x
x x x
x x x
2 2
2
2
2 1 2 cos
Donc : 1 2 2 1 2 2
2 Qui donne : 3 4 0 4
1 A rejeter.
Ce qui donne aussi : cos 3 41.41 4
Les trois côtés sont donc : 4, 5 et 6.
x x
x x x x x x
x x x x
x
Le 7 septembre 2010
EXTRI317 – FPMS, UMONS, Mons, Juillet 2011.
Un outil (de type plantoir) conique, avec un angle d'ouverture de 30°, permet de creuser des trous de golf sur un green horizontal et parfaitement plan.
Le travail de l'outil étant supposé perpendiculaire au sol, quels doivent être le diamètre du trou (au niveau du sol) et la pénétration de l'outil, si l'on désire que la balle de golf (supposée sphérique et de 2 cm de rayon) qui s'y loge, affleure exactement à la surface du green.
2 1
; 2 2 1 9.73 cm.
sin15 sin15
2 2 tan15 2 9.73 tan15 5.21 cm
SO ON h SO ON
D NB h
Le 28 aout 2012
EXTRI318 – EPL, UCL, Louvain, juillet 2011.
Dans un demi-cercle de diamètre (dont la longueur est 2 et le milieu est ), on inscrit un trapèze (dont et sont des points de et les perpendiculaires à en et
coupent le demi-cerc
AB R O
MPQN M N AB AB M
N
le en et respectivement).
Représentez la figure géométrique
Trouvez l'angle (noté ) en fonction de , l'aire du trapèze et l'angle (noté ). (Simplifiez la relation au maximum).
Calculez
P Q
MOP R S QOP
3 3 2
l'angle pour 1 dm, dm et 60 . R S 8
Solution proposée par Nicole Berckmans
2
2
2 2 2
2
2
2
sin ; cos ; sin ; cos
1 sin sin cos cos où 180
2
1 2 sin cos .2 sin sin
2 2 2 2 2
1 cos 2
sin sin or sin
2 2
sin 1 cos 2 2
cos 2 2 1
sin p q
S m n
p m q n
R R R R
S R
R
R x x
R
S R
2
1 2
arccos 1
2 sin
Si 1 et 3 3 et 60 8
1 1 1
alors 60 arccos 60 120 30
S R
R S
EXTRI319 – EPL, UCL, Louvain, juillet 2011.
2 2
Pour quelles valeurs de comprises dans l'intervalle 0, , la fonction suivante 2
est-elle strictement positive?
2sin 3 sin 6 2
x f x
f x x x
Solution proposée par Nicole Berckmans 1ère méthode
2 2
2 2 2
2
Posons 3 et utilisons la formule cos 2 1 2 sin qui permet de diminuer le degré de sin
L'équation devient :
sin 2 1 cos 2 ; or sin 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 1 cos 2
On demande 0; or 1 c x
f x f x
f
os 2 0
cos 2 0 1
Donc on doit avoir :
1 cos 2 0 2
1 cos 2 0 2 2 3 2 or 2 6
2 2
12 3 4 3
1 ) 0
12 4
5 7
2 ) 1
12 12 12
2 1 cos 2 0 2 2
6 3
1 ) 0
6 2 ) 1
2 Conclusion :
k k x
k k
x
k x
k x
k x k
k x
k x
, \ 5 ,
12 4 6 12 2
x
2ème méthode
2 2 2
2 2
2
1 2
2 sin 3 4 sin 3 1 sin 3 2 0
Posons : sin 3 2 3 1 0
2 3 2 0 pour 1 et 1
2 Si 1 alors sin 3 1 et 3
2 c'est-à-dire ou
6 2
1 2
Si alors sin 3 et 3
2 2 4 2
c'est-à-dire , ,5 12 4 12
x x x
y x y y
y y y y
y x x k
x x
y x x k
x
4 2
Tableau de signe de 2 sin 3 3sin 3 1
0 15 20 30 40 45 50 5 75 80
12 6 4 12 2
1 0 0 0 0 0
Conclusion : , , ,
12 6 6 4 12 2
x x f x
x f x
x
15 septembre 2011. Modifié le 18 juin 2012
